סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שבהן הדרך הקצרה מטעה: שורש כפול של הנגזרת, קצה של קטע שמנצח את הקיצון, פרמטר שנמצא דרך ערך הקיצון, והוכחה.

כאן כדאי לעצור לפני כל תשובה ולשאול: האם בדקתי החלפת סימן? האם בדקתי את הקצוות? שתי השאלות האלה שוות את רוב הנקודות.

תרגילים

תרגיל 1

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=3x4−4x3f(x)=3x^4-4x^3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=12x3−12x2=12x2(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 12x^3-12x^2 \\ &= 12x^2(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

f′(−1)=−24<0 f′(0.5)=−1.5<0\begin{aligned}f'(-1) &= -24<0 \\ \ f'(0.5) &= -1.5<0\end{aligned}

סביב x=0x=0 אין החלפת סימן

f′(0.5)<0 f′(2)=48>0\begin{aligned}f'(0.5)<0 \\ \ f'(2) &= 48>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מינימום

יש אחת — מינימום ב-x=1x=1. הגורם x2x^2 מתאפס ב-00 בלי להחליף סימן, ולכן x=0x=0 אינו קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף הפונקציה f
-101-112xy

בציור גרף הפונקציה ff. יש לה מינימום ב-x=−1x=-1 וב-x=1x=1 ומקסימום ב-x=0x=0. באיזה תחום f′(x)>0f'(x)>0?

  1. x>0x>0
  2. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
  3. x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4
  4. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1

הפתרון:

f′>0  ⟺  f עולהf'>0 \iff f \ \text{עולה}

מחפשים בגרף את תחומי העלייה

−1<x<0,x>1-1<x<0 ,\quad x>1

מהשפל לפסגה, ומהשפל הימני והלאה

התשובה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1. «x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4» הם בערך התחומים שבהם ff חיובית — סימן הפונקציה, לא סימן הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x3−3ax2+4f(x)=x^3-3ax^2+4, כאשר a>0a>0. ערך המינימום המקומי של ff הוא 00. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=3x2−6ax=3x(x−2a)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6ax \\ &= 3x(x-2a)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

a>0:  min⁡ ב-x=2aa>0:\ \ \min \ \text{ב-} x=2a

מ-−- ל-++ סביב 2a2a

f(2a)=8a3−12a3+4=4−4a3\begin{aligned}f(2a) &= 8a^3-12a^3+4 \\ &= 4-4a^3\end{aligned}

מציבים

4−4a3=0⇒a=1\begin{aligned}4-4a^3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

פותרים

המינימום ב-x=2ax=2a, לא ב-x=ax=a. ב-x=0x=0 יש מקסימום, וערכו 44 — הוא לא תלוי ב-aa ולא יכול להתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12. ערך המקסימום המקומי של ff הוא 2020. מהו ערך המינימום המקומי של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -12

הפתרון:

f(x)=x3−12x+Cf(x)=x^3-12x+C

פונקציה קדומה

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

המקסימום ב-x=−2x=-2

f(−2)=16+C=20⇒C=4\begin{aligned}f(-2) &= 16+C \\ &= 20 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

ערך המקסימום נותן את CC

f(2)=8−24+4=−12\begin{aligned}f(2) &= 8-24+4 \\ &= -12\end{aligned}

המינימום

הקיצונים במקומם עוד לפני ש-CC ידוע. CC מזיז את שניהם באותה מידה: ההפרש ביניהם תמיד 3232.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם ב-x0x_0 יש לפונקציה ff נקודת מקסימום מקומי, אז f(x0)f(x_0) הוא הערך הגדול ביותר של ff בכל קטע סגור שמכיל את x0x_0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x3−3x  [−2, 3]\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x \\ \ \ [-2,\,3]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f(−1)=2f(3)=18\begin{aligned}f(-1) &= 2 \\ \quad f(3) &= 18\end{aligned}

בקצה הערך גדול יותר

לא נכון. מקסימום מקומי גדול רק מהערכים הקרובים אליו. בקטע סגור צריך להשוות גם לקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤50 \le x \le 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

החשודות בתוך הקטע

f(0)=0 f(1)=4 f(3)=0 f(5)=20\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(1) &= 4 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 20\end{aligned}

ארבעה מועמדים

max⁡=f(5)=20\begin{aligned}\max &= f(5) \\ &= 20\end{aligned}

בקצה

המקסימום המקומי f(1)=4f(1)=4 קטן בהרבה מהערך בקצה. f(5)=125−150+45=20f(5)=125-150+45=20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x3−3x2+kf(x)=x^3-3x^2+k. עבור אילו ערכי kk יש ל-ff בדיוק שני שורשים?

  1. k=0k=0 או k=4k=4
  2. k<0k<0 או k>4k>4
  3. k=4k=4 בלבד
  4. 0<k<40<k<4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א k=0k=0 או k=4k=4

הפתרון:

max⁡=f(0)=kmin⁡=f(2)=k−4\begin{aligned}\max &= f(0) \\ &= k \\ \quad \min &= f(2) \\ &= k-4\end{aligned}

הקיצונים

k=0 או k−4=0\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k-4 \\ &= 0\end{aligned}

שני שורשים: אחד הקיצונים נוגע בציר

התשובה: k=0k=0 או k=4k=4. «0<k<40<k<4» נותן שלושה שורשים; «k<0k<0 או k>4k>4» — שורש אחד. ומי שבחר «k=4k=4 בלבד» שכח את המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי מציאת הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פולינום בקטע סגור.

  • בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע
  • גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס
  • מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע
  • מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע
  • משווים את כל הערכים שהתקבלו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס · בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע · מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע · מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע · משווים את כל הערכים שהתקבלו

הפתרון:

f′=0→[a, b]→f(xi)→f(a) f(b)→השוואה\begin{aligned}f' &= 0 \to [a,\,b] \to f(x_i) \to f(a) \\ \ f(b) \to \text{השוואה}\end{aligned}

חמשת השלבים

בדיקת השייכות לקטע באה לפני ההצבה — חשודה מחוץ לקטע עלולה לתת ערך «מנצח» שאינו חלק מהשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גרף הנגזרת f′
-101234-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר העובר בנקודות (0, −2)(0,\,-2) ו-(1, 0)(1,\,0). ידוע ש-f(1)=−3f(1)=-3. חשבו את f(3)f(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=2x−2f'(x)=2x-2

שיפוע 22, חותך את ציר yy ב-−2-2

f(x)=x2−2x+Cf(x)=x^2-2x+C

פונקציה קדומה

f(1)=−1+C=−3⇒C=−2\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9−6−2=1\begin{aligned}f(3) &= 9-6-2 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

קודם כותבים את משוואת הישר של הנגזרת, ורק אז פונקציה קדומה. מי שקרא מהגרף «f(3)=4f(3)=4» קרא את f′(3)f'(3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2. הוכיחו כי ff יורדת לכל xx.

  • f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2

ff יורדת לכל xx

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=−3x2−3f'(x)=-3x^2-3 — גזירה איבר-איבר
  2. −3x2≤0-3x^2 \le 0 לכל xx — ריבוע אינו שלילי, והכפל ב-−3-3 הופך את הסימן
  3. f′(x)≤−3<0f'(x) \le -3 < 0 לכל xx — מחסרים 33 משני האגפים
  4. ff יורדת לכל xx — נגזרת שלילית בכל תחום — הפונקציה יורדת בו
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת