סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שדורשות שלושה-ארבעה צעדים: טבלת סימנים מלאה, הצבה של נקודה בפונקציה קדומה, פרמטר אחד, ומספר הפתרונות של f(x)=kf(x)=k.

בכל שאלה של קיצון — טבלה, גם כשנראה שאין צורך. ובכל פונקציה קדומה — +C+C בשורה הראשונה, לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3−12x+4f(x)=x^3-12x+4. מהו ערך המינימום המקומי של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -12

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(0)=−12<0 f′(3)=15>0\begin{aligned}f'(0) &= -12<0 \\ \ f'(3) &= 15>0\end{aligned}

סביב x=2x=2: מ-−- ל-++

f(2)=8−24+4=−12\begin{aligned}f(2) &= 8-24+4 \\ &= -12\end{aligned}

מציבים ב-ff

המינימום ב-x=2x=2, וערכו −12-12. ב-x=−2x=-2 יש מקסימום (f(−2)=20f(-2)=20) — אל תבחרו לפי «השמאלית קטנה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2. באיזה תחום ff יורדת?

  1. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
  2. x<0x<0
  3. −1<x<1-1<x<1
  4. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1

הפתרון:

f′(x)=4x3−4x=4x(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-4x \\ &= 4x(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(−2)<0, f′(−0.5)>0, f′(0.5)<0, f′(2)>0f'(-2)<0,\ f'(-0.5)>0,\ f'(0.5)<0,\ f'(2)>0

מציבים מכל תחום

f′<0: x<−1 או 0<x<1f'<0: \ x<-1 \ \text{או} \ 0<x<1

תחומי הירידה

התשובה: x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1. «−1<x<0-1<x<0 או x>1x>1» הם תחומי העלייה. «−1<x<1-1<x<1» מתעלם מהשורש x=0x=0 של הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גרף הנגזרת f′
-2-1012-5-4-3-2-112345xy

בציור גרף הנגזרת f′f', החותך את ציר xx ב-−2-2, ב-00 וב-22. כמה נקודות מינימום יש ל-ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x<−2:−,  −2<x<0:+,  0<x<2:−,  x>2:+x<-2: -,\ \ -2<x<0: +,\ \ 0<x<2: -,\ \ x>2: +

קוראים סימנים מהגרף

x=−2:−→+x=2:−→+\begin{aligned}x &= -2: - \to + \\ \quad x &= 2: - \to +\end{aligned}

שני מעברים ממינוס לפלוס

x=0:+→−x=0: + \to -

שם מקסימום

שתי נקודות מינימום, ב-x=±2x=\pm2. מי שספר 33 ספר את כל נקודות הקיצון — אבל ב-x=0x=0 יש מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיינו: אילו מהפונקציות הן פונקציה קדומה של f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2?

  • פונקציה קדומה
  • לא פונקציה קדומה
  • 3x3+2x3x^3+2x
  • 6x6x
  • x3+2x^3+2
  • x3+2x−5x^3+2x-5
  • x3+2x+7x^3+2x+7
  • x3+2xx^3+2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x3+2xx^3+2x — פונקציה קדומה · x3+2x−5x^3+2x-5 — פונקציה קדומה · x3+2x+7x^3+2x+7 — פונקציה קדומה · x3+2x^3+2 — לא פונקציה קדומה · 6x6x — לא פונקציה קדומה · 3x3+2x3x^3+2x — לא פונקציה קדומה

הפתרון:

(x3+2x+C)′=3x2+2(x^3+2x+C)'=3x^2+2

כל CC מתאים

(x3+2)′=3x2(3x3+2x)′=9x2+2\begin{aligned}(x^3+2)' &= 3x^2 \\ \quad (3x^3+2x)' &= 9x^2+2\end{aligned}

גוזרים את הפסולות

הפונקציה הקדומה של המספר 22 היא 2x2x, לא 22. ו-6x6x היא הנגזרת של ff, כיוון הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f′(x)=4x−3f'(x)=4x-3, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 1)(2,\,1). חשבו את f(−1)f(-1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(x)=2x2−3x+Cf(x)=2x^2-3x+C

פונקציה קדומה

f(2)=8−6+C=1⇒C=−1\begin{aligned}f(2) &= 8-6+C \\ &= 1 \Rightarrow C \\ &= -1\end{aligned}

הנקודה

f(−1)=2+3−1=4\begin{aligned}f(-1) &= 2+3-1 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

בהצבת −1-1: 2(−1)2=22(-1)^2=2 ו-−3(−1)=+3-3(-1)=+3. טעות סימן אחת נותנת −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3+kxf(x)=x^3+kx. עבור אילו ערכי kk הפונקציה עולה לכל xx?

  1. k>0k>0
  2. לכל kk
  3. k≤0k \le 0
  4. k≥0k \ge 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד k≥0k \ge 0

הפתרון:

f′(x)=3x2+kf'(x)=3x^2+k

גוזרים

k≥0⇒f′(x)≥0k \ge 0 \Rightarrow f'(x) \ge 0

אפס רק לכל היותר בנקודה אחת

k<0⇒f′(0)=k<0k<0 \Rightarrow f'(0)=k<0

יש תחום ירידה

התשובה: k≥0k \ge 0. ב-k=0k=0 מתקבלת x3x^3, שעולה לכל xx אף ש-f′(0)=0f'(0)=0 — לכן «k>0k>0» מחמיצה ערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−2f(x)=-2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

max⁡=f(0)=0  min⁡=f(2)=−4\begin{aligned}\max &= f(0) \\ &= 0 \\ \ \ \min &= f(2) \\ &= -4\end{aligned}

מהחקירה

−4<−2<0-4<-2<0

הישר y=−2y=-2 בין שני ערכי הקיצון

33

שלוש נקודות חיתוך

לא פותרים משוואה ממעלה שלישית: משווים את kk לערכי הקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תלמיד חיפש את נקודת המינימום של f(x)=x3−6x2f(x)=x^3-6x^2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2−12xf'(x) = 3x^2 - 12x
3x(x−4)=03x(x - 4) = 0
x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}
f(4)=64−48=16\begin{aligned}f(4) &= 64 - 48 \\ &= 16\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(4)=64−48=16f(4) = 64 - 48 = 16 → f(4)=64−96=−32f(4) = 64 - 96 = -32

הפתרון:

6⋅42=6⋅16=96\begin{aligned}6 \cdot 4^2 &= 6 \cdot 16 \\ &= 96\end{aligned}

החזקה לפני הכפל

min⁡(4, −32)\min(4,\,-32)

המינימום

הטעות: 6x26x^2 ב-x=4x=4 הוא 6⋅16=966 \cdot 16=96, ולא (6⋅4)2(6 \cdot 4)^2 או 12⋅412 \cdot 4. 4848 הוא ערך של 12x12x — איבר מהנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤20 \le x \le 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1)

החשודות ±1\pm1

x=−1∉[0, 2]x=-1 \notin [0,\,2]

נפסלת

f(0)=0  f(1)=−2  f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -2 \\ \ \ f(2) &= 2\end{aligned}

המועמדים

max⁡=f(2)=2\begin{aligned}\max &= f(2) \\ &= 2\end{aligned}

בקצה

המקסימום המקומי f(−1)=2f(-1)=2 מחוץ לקטע. כאן הערך יוצא אותו מספר — אבל מגיעים אליו בקצה x=2x=2, ורק ההשוואה מראה זאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גרף הנגזרת f′f' חותך את ציר xx ב-x=−3x=-3 (ממינוס לפלוס) וב-x=1x=1 (מפלוס למינוס). השלימו.

ל-ff יש מינימום ב-x=x= ____ ומקסימום ב-x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ל-ff יש מינימום ב-x=x= -3 ומקסימום ב-x=x= 1

הפתרון:

x=−3:−→+⇒min⁡x=-3: - \to + \Rightarrow \min

ירידה ואז עלייה

x=1:+→−⇒max⁡x=1: + \to - \Rightarrow \max

עלייה ואז ירידה

המעבר ממינוס לפלוס הוא מינימום. להפוך את השניים זו הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת