סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סימן הנגזרת ועלייה-ירידה, נקודות קיצון, קריאה מגרף הנגזרת, קטע סגור, פרמטר ופונקציה קדומה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים מקום (xx) או ערך (yy)? ומדובר ב-ff או ב-f′f'? רוב הטעויות בסדרה הזאת הן תשובה נכונה לשאלה אחרת.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x2−6x+1f(x)=x^2-6x+1. באיזה ערך של xx יש ל-ff נקודת מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f′(2)=−2<0 f′(4)=2>0\begin{aligned}f'(2) &= -2<0 \\ \ f'(4) &= 2>0\end{aligned}

מ-−- ל-++ — מינימום

השאלה מבקשת את מקום המינימום, x=3x=3. ערך המינימום הוא f(3)=−8f(3)=-8 — תשובה לשאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לפונקציה ff נתונה הנגזרת f′(x)=2x−8f'(x)=2x-8. באיזה תחום ff יורדת?

  1. x<8x<8
  2. x>−4x>-4
  3. x<4x<4
  4. x>4x>4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<4x<4

הפתרון:

2x−8<02x-8<0

ff יורדת כשהנגזרת שלילית

x<4x<4

פותרים

התשובה: x<4x<4. «x>4x>4» הוא תחום העלייה; «x<8x<8» שכח לחלק ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע, אז f(x)>0f(x)>0 לכל xx בקטע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x−10  0<x<5\begin{aligned}f(x) &= x-10 \\ \ \ 0<x<5\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1>0  f(1)=−9<0\begin{aligned}f'(x) &= 1>0 \\ \ \ f(1) &= -9<0\end{aligned}

עולה, ובכל זאת שלילית

לא נכון. סימן הנגזרת קובע את הכיוון — עלייה או ירידה — ולא את סימן הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים

f′(−2)=9>0 f′(0)=−3<0\begin{aligned}f'(-2) &= 9>0 \\ \ f'(0) &= -3<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1: מ-++ ל-−-

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב-ff

ערך המקסימום 22. מי שענה −1-1 נתן את המקום; מי שענה 00 הציב בנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהן כל הפונקציות הקדומות של f(x)=8x3f(x)=8x^3?

  1. 2x4+C2x^4+C
  2. 24x2+C24x^2+C
  3. 8x4+C8x^4+C
  4. 8x43+C\frac{8x^4}{3}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2x4+C2x^4+C

הפתרון:

8⋅x44=2x48 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4

מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה

(2x4)′=8x3(2x^4)'=8x^3

בדיקה

התשובה: 2x4+C2x^4+C. «24x224x^2» היא הנגזרת; «8x48x^4» לא חילקה; «8x43\frac{8x^4}{3}» חילקה בחזקה הישנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f′(x)=2xf'(x)=2x ו-f(0)=5f(0)=5. חשבו את f(3)f(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

f(x)=x2+Cf(x)=x^2+C

פונקציה קדומה

f(0)=C=5\begin{aligned}f(0) &= C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9+5=14\begin{aligned}f(3) &= 9+5 \\ &= 14\end{aligned}

מציבים

בלי CC התשובה הייתה 99 — נכונה רק לגרף שעובר בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גרף הנגזרת f′
-1012345-6-5-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר החותך את ציר xx ב-x=2x=2. מה יש ל-ff ב-x=2x=2?

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. נקודת חיתוך עם ציר xx
  4. אין קיצון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום

הפתרון:

x<2: f′>0x<2: \ f'>0

משמאל הישר מעל הציר

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

מימין מתחת

+→−+ \to -

עלייה ואז ירידה

התשובה: מקסימום. הישר יורד, אבל זה לא אומר ש-ff יורדת: קובע רק הסימן. ו-f(2)f(2) כלל אינו ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפונקציה f(x)=x2+axf(x)=x^2+ax יש מינימום ב-x=3x=3. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f′(x)=2x+af'(x)=2x+a

גוזרים

f′(3)=6+a=0\begin{aligned}f'(3) &= 6+a \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

a=−6a=-6

פותרים

הסימן: 6+a=06+a=0 נותן a=−6a=-6, לא 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל נתון על הנגזרת את המסקנה על ff.

  • f′>0f'>0 בקטע
  • f′<0f'<0 בקטע
  • f′f' עוברת מ-++ ל-−-
  • f′f' עוברת מ-−- ל-++
  • ff יורדת בקטע
  • ff עולה בקטע
  • נקודת מינימום
  • נקודת מקסימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′>0f'>0 בקטע — ff עולה בקטע · f′<0f'<0 בקטע — ff יורדת בקטע · f′f' עוברת מ-++ ל-−- — נקודת מקסימום · f′f' עוברת מ-−- ל-++ — נקודת מינימום

הפתרון:

+→−: ↗↘+ \to - : \ \nearrow \searrow

עלייה ואז ירידה — פסגה

−→+: ↘↗- \to + : \ \searrow \nearrow

ירידה ואז עלייה — שפל

המלכודת היא להפוך את שני המעברים. דמיינו את הגרף: עלה ואז ירד — פסגה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤30 \le x \le 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x-2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

החשודה — מינימום של הפרבולה

f(0)=0  f(1)=−1  f(3)=3\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -1 \\ \ \ f(3) &= 3\end{aligned}

הקצוות והחשודה

max⁡=f(3)=3\begin{aligned}\max &= f(3) \\ &= 3\end{aligned}

בקצה

לפרבולה הזאת אין מקסימום מקומי כלל, ובכל זאת בקטע סגור יש ערך גדול ביותר — בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת