פותרים יחד · חקירת פולינום ופונקציה קדומה · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה עם קטע סגור, קריאה מגרף הנגזרת, פרמטרים, «האם ייתכן», ומציאת פונקציה מתוך הנגזרת שלה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין התוכנית שלכם לשלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ . א. מצאו את נקודות הקיצון ואת סוגן. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ג. מצאו את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של $f$ בקטע $-2 \le x \le 4$ . ד. עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $f(x)=k$ שלושה פתרונות?

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא הבסיס של כל השאר — שאר הסעיפים רק קוראים ממנו.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x - 3)(x + 1)\end{aligned}

מוציאים $3$ ומפרקים את הטרינום.

חשודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

השורשים של הנגזרת.

טבלה

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

נקודה אחת מכל תחום.

\max (-1,\,10) ,\quad \min (3,\,-22)

$f(-1)=-1-3+9+5=10$ ו- $f(3)=27-27-27+5=-22$ .

\nearrow: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 3 \qquad \searrow: \ -1 < x < 3

נקרא ישר מהטבלה.

\begin{aligned}f(-2) &= 3 \\ \ f(-1) &= 10 \\ \ f(3) &= -22 \\ \ f(4) &= -15\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע, ושני הקצוות.

\begin{aligned}\max &= 10 \\ \quad \min &= -22\end{aligned}

כאן שני הערכים הקיצוניים יושבים בנקודות הקיצון, לא בקצוות.

-22 < k < 10

ישר אופקי ממש בין ערך המינימום לערך המקסימום חותך את הגרף שלוש פעמים.

סעיף ד אינו מוגבל לקטע: $f(x)=k$ נשאל על כל $x$ . ובקצוות $k=10$ ו- $k=-22$ יש רק שני פתרונות.

לעשות את הפעילות ב-elev

ובקטע $0 \le x \le 4$ — מהו הערך הגדול ביותר של אותה $f$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$5$ , ב- $x=0$ . המועמדים: $f(0)=5$ , $f(3)=-22$ , $f(4)=-15$ . החשודה $x=-1$ מחוץ לקטע ונפסלת — והפעם הקצה מנצח.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

גרף הנגזרת f′ — שאלה 2

פעילות אינטראקטיבית

קוראים את $f$ מתוך גרף $f'$

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה החותכת את ציר $x$ ב- $-1$ וב- $3$ ואת ציר $y$ ב- $-3$ . א. מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. ב. ידוע ש- $f(0)=1$ . מצאו את $f$ ואת ערך המקסימום.

מקסימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

מקסימום ב- $x=3$ , וערכו $-8$

מקסימום ב- $x=1$ , וערכו $-4$

מינימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

איפה בגרף מחפשים את נקודות הקיצון של $f$ ?

בקדקוד של הפרבולה

להציג את התשובה והפתרון

הקדקוד הוא הערך הקטן ביותר של הנגזרת — שם $f$ יורדת הכי מהר, אבל אין לה קיצון.

בנקודות שבהן הפרבולה חוצה את ציר $x$

להציג את התשובה והפתרון

כן: שם $f'=0$ והסימן מתחלף.

בנקודה שבה הפרבולה חותכת את ציר $y$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(0)=-3$ הוא שיפוע, לא קיצון.

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

מה הסוג של $x=-1$ ?

מקסימום — משמאל הגרף מעל הציר, מימין מתחת

להציג את התשובה והפתרון

מעבר מ- $+$ ל- $-$ : $f$ עלתה ואז ירדה.

מינימום — כי הפרבולה יורדת שם

להציג את התשובה והפתרון

ירידה של $f'$ לא אומרת ש- $f$ יורדת. קובע רק הסימן של $f'$ .

\begin{aligned}x &= -1: \ + \to - \ (\max) \\ \qquad x &= 3: \ - \to + \ (\min)\end{aligned}

סעיף א.

איך מוצאים את $f$ עצמה?

כותבים את $f'$ מהגרף, ומוצאים פונקציה קדומה

להציג את התשובה והפתרון

הפרבולה ידועה משורשיה ומהחיתוך עם ציר $y$ .

אי אפשר — מגרף הנגזרת לא יודעים את $f$

להציג את התשובה והפתרון

את הגובה לא יודעים מהגרף לבדו — ובשביל זה נתון $f(0)=1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (x+1)(x-3) \\ &= x^2-2x-3 \ \Rightarrow\ f(x) \\ &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+C\end{aligned}

המקדם של $x^2$ הוא $1$ , כי $f'(0)=-3$ .

מה עושים עם $f(0)=1$ ?

מציבים $x=0$ ב- $f$ : $C=1$

להציג את התשובה והפתרון

כל האיברים עם $x$ מתאפסים.

מציבים $x=0$ ב- $f'$

להציג את התשובה והפתרון

הנתון הוא על $f$ , לא על הנגזרת.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+1 \\ \quad f(-1) &= -\frac{1}{3}-1+3+1 \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום.

להציג את התשובה והפתרון

מקסימום ב- $x=-1$ וערכו $\frac{8}{3}$ ; מינימום ב- $x=3$ וערכו $f(3)=9-9-9+1=-8$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(1,\,-4)$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. קבעו את סוג הנקודה. ג. מצאו את נקודת הקיצון השנייה.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx \\ \quad f'(1) &= 0 \\ \quad f(1) &= -4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנתון «קיצון ב- $(1,\,-4)$ » הוא שתי משוואות.

משוואה 1

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b \ \Rightarrow\ 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

משוואה 2

\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -4 \ \Rightarrow\ a + b \\ &= -5\end{aligned}

הנקודה על הגרף.

\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= -3 - (-5) \ \Rightarrow\ a \\ &= 2 \\ \ b &= -7\end{aligned}

מחסרים — $b$ נעלם.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 4x - 7 \\ &= (3x + 7)(x - 1)\end{aligned}

מפרקים את הנגזרת החדשה.

\begin{aligned}f'(0) &= -7 < 0 \\ \quad f'(2) &= 13 > 0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : ב- $(1,\,-4)$ יש מינימום.

\begin{aligned}x &= -\frac{7}{3} \\ \quad f\left(-\frac{7}{3}\right) &= \frac{392}{27}\end{aligned}

השורש השני של הנגזרת; לפני $-\frac{7}{3}$ היא חיובית ואחריו שלילית — מקסימום.

הבדיקה בסעיף ב אינה קישוט: $f'(1)=0$ ו- $f(1)=-4$ קבעו את $a$ ואת $b$ , אבל אף אחת מהן לא מבטיחה החלפת סימן. רק הטבלה מבטיחה שיש שם קיצון.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»

פעילות אינטראקטיבית

האם ייתכן קיצון?

נתונה $f(x)=x^3+3x^2+3x+c$ , כאשר $c$ פרמטר. האם ייתכן שעבור ערך מסוים של $c$ יש ל- $f$ נקודת קיצון? נמקו.

לא — לכל $c$ הנגזרת אינה מחליפה סימן

כן — ב- $x=-1$ , כי שם $f'=0$

כן — עבור $c=0$

תלוי בערך של $c$

במה תלויה הנגזרת?

היא אינה תלויה ב- $c$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של מספר קבוע היא אפס. $c$ רק מזיז את הגרף למעלה ולמטה.

היא תלויה ב- $c$

להציג את התשובה והפתרון

$c$ הוא איבר חופשי — בגזירה הוא נעלם.

f'(x) = 3x^2 + 6x + 3

אותה נגזרת לכל $c$ .

איך בודקים את סימן הנגזרת?

מפרקים: $3(x+1)^2$

להציג את התשובה והפתרון

גורם משותף $3$ , ובפנים ריבוע של סכום.

פותרים $f'(x)=0$ ומסיקים שיש קיצון

להציג את התשובה והפתרון

שורש של הנגזרת הוא רק חשוד. צריך לבדוק החלפת סימן.

f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0

הנגזרת אינה שלילית לעולם.

מה המסקנה?

אין החלפת סימן — אין קיצון, לכל $c$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=-1$ משיק אופקי בלבד; $f$ עולה לכל $x$ .

יש קיצון ב- $x=-1$

להציג את התשובה והפתרון

משני צדי $-1$ הנגזרת חיובית: $f'(-2)=3$ , $f'(0)=3$ .

\begin{aligned}f'(-2) &= 3 > 0 \\ \quad f'(0) &= 3 > 0\end{aligned}

אותו סימן משני הצדדים.

להציג את התשובה והפתרון

לא ייתכן. $f'(x)=3(x+1)^2 \ge 0$ לכל $x$ ולכל $c$ , והסימן אינו מתחלף. ל- $f$ יש משיק אופקי ב- $x=-1$ , אבל היא עולה לכל $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

הביאו דוגמה לערך של $m$ שעבורו ל- $g(x)=x^3+3x^2+mx$ יש שתי נקודות קיצון.

להציג את התשובה והפתרון

למשל $m=0$ : $g'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ , שני שורשים פשוטים — מקסימום ב- $x=-2$ ומינימום ב- $x=0$ . באופן כללי $\Delta=36-12m>0$ , כלומר כל $m<3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

פעילות אינטראקטיבית

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-4x+1$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=2$ הוא $y=5x-7$ . א. מצאו את $f$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 4x + 1 \\ \quad y &= 5x - 7 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הישר $y = 5x - 7$ משיק לגרף ב- $x = 2$ . מה המשיק נותן לנו — השיפוע, הנקודה, או שניהם?

בדיקה

\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 8 + 1 \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע של המשיק מתאים לנגזרת — טוב.

הנקודה

\begin{aligned}y(2) &= 5 \cdot 2 - 7 \\ &= 3 \ \Rightarrow\ f(2) \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת גם על המשיק וגם על הגרף.

קדומה

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C

איבר-איבר.

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 8 + 2 + C \\ &= 3 \ \Rightarrow\ C \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=x^3-2x^2+x+1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (3x - 1)(x - 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= \frac{1}{3} \\ \ x &= 1\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מעלה — שלילית בין השורשים.

\max\left(\frac{1}{3},\,\frac{31}{27}\right) ,\quad \min(1,\,1)

$f(1)=1-2+1+1=1$ .

הטעות הנפוצה: להציב $x=2$ ב- $f'$ ולקבל $5$ , ואז לכתוב $f(2)=5$ . $5$ הוא שיפוע; את הגובה נותנת משוואת המשיק.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=x^3+3x^2-9x-2$ . מהו הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע $-4 \le x \le 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 1 \in [-4,\,2]\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע

\begin{aligned}f(-4) &= 18 \\ \ \ f(-3) &= 25 \\ \ \ f(1) &= -7 \\ \ \ f(2) &= 0\end{aligned}

ארבעה מועמדים

\begin{aligned}\min &= f(1) \\ &= -7\end{aligned}

הקטן ביותר

הקטן ביותר הוא $-7$ , במינימום המקומי. מי שבדק רק את הקצוות קיבל $0$ ; מי שלקח את הקטן מבין ערכי $x$ ענה $-4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף הנגזרת f′

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר $x$ ב- $-2$ וב- $2$ ואת ציר $y$ ב- $4$ . ידוע ש- $f(0)=0$ . מהו ערך המקסימום המקומי של $f$ ?

$4$
$-\frac{16}{3}$
$2$
$\frac{16}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{16}{3}$

הפתרון:

x=2: \ + \to -

מהגרף: המקסימום של $f$ ב- $x=2$

\begin{aligned}f'(x) &= -(x-2)(x+2) \\ &= -x^2+4\end{aligned}

המקדם $-1$ , כי $f'(0)=4$

\begin{aligned}f(x) &= -\frac{x^3}{3}+4x+C \\ \ \ f(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה ונקודה

\begin{aligned}f(2) &= -\frac{8}{3}+8 \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום

התשובה: $\frac{16}{3}$ . « $-\frac{16}{3}$ » הוא המינימום ב- $x=-2$ ; « $4$ » הוא הגובה של הנגזרת בקדקוד; « $2$ » הוא מקום המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(-1,\,6)$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(-1) &= 3-2a+b \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

\begin{aligned}f(-1) &= -1+a-b+1 \\ &= 6 \Rightarrow a-b \\ &= 6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

\begin{aligned}b &= a-6 \Rightarrow 3-2a+a-6 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}b &= -9 \\ \ \ f'(x) &= 3(x-3)(x+1)\end{aligned}

בדיקה: סביב $-1$ מ- $+$ ל- $-$ , מקסימום

הזהירו מ- $(-1)^2=1$ ומ- $(-1)^3=-1$ : טעות סימן אחת ב- $f(-1)$ נותנת זוג $(a,\,b)$ שגוי שעדיין «נראה» פתיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+12x$ יש נקודת קיצון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+12 \\ &= 3(x-2)^2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}f'(1) &= 3>0 \\ \ \ f'(3) &= 3>0\end{aligned}

אותו סימן משני צדי $x=2$

לא נכון. $f'(2)=0$ , אבל הנגזרת אינה מחליפה סימן: $f$ עולה לכל $x$ , ובנקודה $(2,\,8)$ יש רק משיק אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-6x$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=1$ הוא $y=-3x+5$ . מהו ערך המינימום המקומי של $f$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= -3+5 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה מהמשיק

\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x^2+C \\ \ \ f(1) &= -2+C \\ &= 2 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

פונקציה קדומה

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2):\ \min \ \text{ב-} x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= 8-12+4 \\ &= 0\end{aligned}

ערך המינימום

המינימום בגובה $0$ — הגרף משיק לציר $x$ . מי שהציב $f(1)=-3$ לקח את השיפוע של המשיק במקום את הגובה שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

4 — «האם ייתכן?»

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev