פונקציה קדומה של פולינום

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו הלכנו בכיוון אחד: נתונה פונקציה — מוצאים את הנגזרת. עכשיו הפוך: יודעים את השיפוע בכל נקודה, f′(x)=2xf'(x)=2x, ורוצים לדעת מי הפונקציה.

מצאו פונקציה אחת שהנגזרת שלה היא 2x2x. יש עוד אחת?

להציג את התשובה והפתרון

x2x^2, כי (x2)′=2x(x^2)'=2x. ויש עוד — אינסוף: x2+5x^2+5, x2−1x^2-1, x2+12x^2+\frac{1}{2}. הנגזרת של מספר קבוע היא אפס, ולכן הוא «נעלם» בגזירה.

שלוש פונקציות קדומות של 2x
-2-1012-3-2-11234567xy
הגרפים הם x²−2, x² ו־x²+2. ב־x=1 המשיקים (מקווקווים) מקבילים זה לזה: לשלושתם אותו שיפוע, 2.

הזזה אנכית לא משנה שום שיפוע. לכן גרף הנגזרת קובע את צורת הפונקציה, אבל לא את הגובה שלה — בדיוק מה שראינו כשקראנו את ff מתוך גרף של f′f'.

ההגדרה והכלל

FF היא פונקציה קדומה של ff אם F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). אם FF היא פונקציה קדומה אחת, אז כל הפונקציות הקדומות הן F(x)+CF(x)+C, כאשר CC מספר קבוע כלשהו.

איך מוצאים אותה? הופכים את כלל החזקה: בגזירה מורידים את החזקה וכופלים בה; בפונקציה קדומה מעלים את החזקה באחד ומחלקים בחזקה החדשה.

f(x)=xn⇒F(x)=xn+1n+1+C\begin{aligned}f(x) &= x^n \quad \Rightarrow \quad F(x) \\ &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\end{aligned}
5 → 5x+C5 \ \to \ 5x + C

מספר קבוע — כי (5x)′=5(5x)'=5

x → x22+Cx \ \to \ \frac{x^2}{2} + C

החזקה 11 עולה ל-22, ומחלקים ב-22

3x2 → x3+C3x^2 \ \to \ x^3 + C

מעלים ל-33 ומחלקים ב-33: 3x33=x3\frac{3x^3}{3}=x^3

4x3−6x+1 → x4−3x2+x+C4x^3 - 6x + 1 \ \to \ x^4 - 3x^2 + x + C

איבר-איבר, ו-CC אחד בסוף

תמיד אפשר לבדוק: גוזרים את התשובה, וצריך לחזור בדיוק לפונקציה הנתונה. (x4−3x2+x)′=4x3−6x+1(x^4-3x^2+x)'=4x^3-6x+1 ✓. שתי שניות בטיוטה חוסכות טעות בכל השאלה.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של f(x)=6x2−4x+5f(x)=6x^2-4x+5.

להציג את התשובה והפתרון

F(x)=2x3−2x2+5x+CF(x)=2x^3-2x^2+5x+C. בדיקה: (2x3)′=6x2(2x^3)'=6x^2, (−2x2)′=−4x(-2x^2)'=-4x, (5x)′=5(5x)'=5 ✓.

נקודה אחת קובעת את CC

מכל המשפחה F(x)+CF(x)+C רק גרף אחד עובר בנקודה נתונה — הזזה אנכית אחת בדיוק מביאה אותו לשם. לכן שאלה מהסוג «נתון f′f' ונקודה על הגרף» תמיד נפתרת בשני צעדים: פונקציה קדומה, ואז הצבה.

מוצאים את ff מתוך f′f' ונקודה

נתון f′(x)=6x2−4x+1f'(x)=6x^2-4x+1, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). מצאו את ff.

f(x)=2x3−2x2+x+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C

פונקציה קדומה, איבר-איבר

f(1)=2−2+1+C=1+C\begin{aligned}f(1) &= 2 - 2 + 1 + C \\ &= 1 + C\end{aligned}

מציבים את xx של הנקודה

1+C=5 ⇒ C=4\begin{aligned}1 + C &= 5 \ \Rightarrow\ C \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל-yy של הנקודה

f(x)=2x3−2x2+x+4f(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 4

הפונקציה היחידה במשפחה שעוברת ב-(1, 5)(1,\,5)

נתון f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, והגרף של ff עובר בראשית. מהי ff, ומהן נקודות הקיצון שלה?

להציג את התשובה והפתרון

f(x)=x3−3x2+Cf(x)=x^3-3x^2+C, ו-f(0)=0f(0)=0 נותן C=0C=0. זו f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 — הפונקציה של החקירה המלאה: מקסימום ב-(0, 0)(0,\,0) ומינימום ב-(2, −4)(2,\,-4). את מקום הקיצונים ידענו כבר מ-f′f'; את הגובה נתנה הנקודה.

שלוש הטעויות של הפונקציה הקדומה.

f(x)=x2 ⇒ F(x)=2x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \ \Rightarrow\ F(x) \\ &= 2x\end{aligned}
F(x)=x33+CF(x)=\frac{x^3}{3}+C

זו גזירה, לא פונקציה קדומה. בדיקה: (2x)′=2≠x2(2x)'=2 \ne x^2.

f(x)=5 ⇒ F(x)=0\begin{aligned}f(x) &= 5 \ \Rightarrow\ F(x) \\ &= 0\end{aligned}
F(x)=5x+CF(x)=5x+C

הנגזרת של 55 היא 00; הפונקציה הקדומה של 55 היא 5x5x.

f′(x)=4x f(0)=3 ⇒ f(x)=2x2\begin{aligned}f'(x) &= 4x \\ \ f(0) &= 3 \ \Rightarrow\ f(x) \\ &= 2x^2\end{aligned}
f(x)=2x2+3f(x)=2x^2+3

שכחו את CC — ולכן גם את הנקודה. f(0)=0≠3f(0)=0 \ne 3.

תרגילים

תרגיל 1

מהן כל הפונקציות הקדומות של f(x)=3x2−4xf(x)=3x^2-4x?

  1. x3−2x2+Cx^3-2x^2+C
  2. 6x−4+C6x-4+C
  3. x3−4x2+Cx^3-4x^2+C
  4. 3x3−4x2+C3x^3-4x^2+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x3−2x2+Cx^3-2x^2+C

הפתרון:

3x2→3x33=x33x^2 \to \frac{3x^3}{3} = x^3

מעלים חזקה ומחלקים

−4x→−4x22=−2x2-4x \to -\frac{4x^2}{2} = -2x^2

אותו כלל על האיבר השני

(x3−2x2)′=3x2−4x(x^3-2x^2)' = 3x^2-4x

בדיקה בגזירה

התשובה: x3−2x2+Cx^3-2x^2+C. «6x−46x-4» היא הנגזרת; «x3−4x2x^3-4x^2» לא חילקה ב-22; «3x3−4x23x^3-4x^2» העלתה חזקה בלי לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 6)(1,\,6). חשבו את f(2)f(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f(x)=x2+3x+Cf(x)=x^2+3x+C

פונקציה קדומה

f(1)=4+C=6⇒C=2\begin{aligned}f(1) &= 4+C \\ &= 6 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה קובעת את CC

f(2)=4+6+2=12\begin{aligned}f(2) &= 4+6+2 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים

מי שדילג על CC קיבל f(2)=10f(2)=10. בלי הנקודה אין תשובה אחת — ולכן היא נתונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון f′(x)=6x2−2f'(x)=6x^2-2, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 5)(2,\,5). מהי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

f(x)=2x3−2x+Cf(x)=2x^3-2x+C

פונקציה קדומה

f(2)=16−4+C=12+C=5\begin{aligned}f(2) &= 16-4+C \\ &= 12+C \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את הנקודה

C=−7⇒f(0)=−7\begin{aligned}C &= -7 \Rightarrow f(0) \\ &= -7\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy: x=0x=0

שימו לב: f(0)=Cf(0)=C תמיד בפולינום, אבל CC אינו 55 — הנקודה הנתונה איננה על ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה f(x)=4x3f(x)=4x^3 יש פונקציה קדומה אחת בלבד, והיא x4x^4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(x4)′=4x3(x^4)'=4x^3

x4x^4 אכן פונקציה קדומה

(x4+7)′=4x3(x^4+7)'=4x^3

גם x4+7x^4+7 — וכך לכל מספר קבוע

לא נכון. יש אינסוף פונקציות קדומות, x4+Cx^4+C. הן נבדלות בהזזה אנכית, ונקודה נתונה בוחרת אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו לכל פונקציה את משפחת הפונקציות הקדומות שלה.

  • 2x2x
  • x2x^2
  • 55
  • 4x3−14x^3-1
  • x33+C\frac{x^3}{3}+C
  • 5x+C5x+C
  • x2+Cx^2+C
  • x4−x+Cx^4-x+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x2x — x2+Cx^2+C · x2x^2 — x33+C\frac{x^3}{3}+C · 55 — 5x+C5x+C · 4x3−14x^3-1 — x4−x+Cx^4-x+C

הפתרון:

(x33)′=x2\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2

בודקים כל זוג בגזירה

(5x)′=5(x4−x)′=4x3−1\begin{aligned}(5x)' &= 5 \\ \quad (x^4-x)' &= 4x^3-1\end{aligned}

גם שני הזוגות האחרים חוזרים בגזירה לפונקציה הנתונה

המלכודת: לזווג את x2x^2 עם 2x2x — זה כיוון הגזירה, ההפוך ממה שנשאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השיפוע של המשיק לגרף ff בכל נקודה הוא 3x2−6x3x^2-6x. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה (1, 0)(1,\,0). מהו f(0)f(0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x

«שיפוע המשיק בכל נקודה» הוא הנגזרת

f(x)=x3−3x2+Cf(x)=x^3-3x^2+C

פונקציה קדומה

f(1)=1−3+C=0⇒C=2\begin{aligned}f(1) &= 1-3+C \\ &= 0 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה (1, 0)(1,\,0)

f(0)=2f(0)=2

מציבים x=0x=0

הניסוח «שיפוע המשיק» הוא דרך אחרת לומר f′f'. מי שהציב את הנקודה בביטוי 3x2−6x3x^2-6x עצמו קיבל −3≠0-3 \ne 0 ונתקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון f′(x)=x2−4f'(x)=x^2-4 ו-f(0)=1f(0)=1. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

  1. 11
  2. −2-2
  3. 193\frac{19}{3}
  4. −133-\frac{13}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 193\frac{19}{3}

הפתרון:

f′(x)=(x−2)(x+2)f'(x)=(x-2)(x+2)

החשודות: x=±2x=\pm 2

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

מקסימום ב-x=−2x=-2

f(x)=x33−4x+1f(x)=\frac{x^3}{3}-4x+1

פונקציה קדומה, ו-f(0)=1f(0)=1 נותן C=1C=1

f(−2)=−83+8+1=193\begin{aligned}f(-2) &= -\frac{8}{3}+8+1 \\ &= \frac{19}{3}\end{aligned}

מציבים

התשובה: 193\frac{19}{3}. «−133-\frac{13}{3}» הוא ערך המינימום (x=2x=2); «−2-2» הוא מקום המקסימום ולא ערכו; «11» הוא f(0)f(0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=6x2f(x)=6x^2, והגרף שלה עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). השלימו.

F(x)=2x3+F(x)=2x^3+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(x)=2x3+F(x)=2x^3+ 3

הפתרון:

F(x)=2x3+CF(x)=2x^3+C

פונקציה קדומה של 6x26x^2

F(1)=2+C=5⇒C=3\begin{aligned}F(1) &= 2+C \\ &= 5 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

מי שכתב 55 הניח ש-CC הוא ה-yy של הנקודה. זה נכון רק לנקודה על ציר ה-yy, שבה x=0x=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו כי F(x)=(x+1)3F(x)=(x+1)^3 היא פונקציה קדומה של f(x)=3x2+6x+3f(x)=3x^2+6x+3.

  • F(x)=(x+1)3F(x)=(x+1)^3
  • f(x)=3x2+6x+3f(x)=3x^2+6x+3

FF היא פונקציה קדומה של ff

להציג את התשובה והפתרון
  1. F′(x)=3(x+1)2F'(x)=3(x+1)^2 — נגזרת של פונקציה מורכבת: הנגזרת הפנימית היא 11
  2. 3(x+1)2=3x2+6x+33(x+1)^2=3x^2+6x+3 — פתיחת ריבוע של סכום
  3. F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) לכל xx — שני הביטויים שווים לאותו ביטוי
  4. FF היא פונקציה קדומה של ff — הגדרת פונקציה קדומה: F′=fF'=f
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גוף נע לאורך ישר. מקומו אחרי tt שניות הוא s(t)s(t) מטרים, ומהירותו היא s′(t)=4t+1s'(t)=4t+1 מטרים לשנייה. ברגע t=0t=0 הגוף נמצא ב-s=2s=2. היכן הגוף אחרי 33 שניות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23

הפתרון:

s(t)=2t2+t+Cs(t)=2t^2+t+C

המקום הוא פונקציה קדומה של המהירות

s(0)=C=2\begin{aligned}s(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

המקום ההתחלתי

s(3)=18+3+2=23\begin{aligned}s(3) &= 18+3+2 \\ &= 23\end{aligned}

מציבים t=3t=3

הגוף ב-2323 מטרים. מי שהציב t=3t=3 במהירות קיבל 1313 — אבל זו מהירות ברגע, לא מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת