משפחות של פונקציות עם פרמטר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות הפונקציה מגיעה לעתים קרובות עם אות: f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. האות aa היא פרמטר — מספר קבוע שעוד לא ידוע. כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת, וכולן יחד הן משפחה. יש שני סוגי שאלות: «מצאו את aa לפי נתון», ו«עבור אילו aa קורה משהו».

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה

אם ff ממעלה שלישית, אז f′(x)=Ax2+Bx+Cf'(x)=Ax^2+Bx+C — פרבולה. מספר נקודות הקיצון של ff תלוי רק בשאלה כמה פעמים הפרבולה הזאת חוצה את ציר ה-xx. בווידג'ט למטה, חשבו על הפרבולה כעל הגרף של f′f'.

בווידג'ט, כשהפרבולה f′f' נוגעת בציר בנקודה אחת בדיוק — כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

להציג את התשובה והפתרון

אפס. בנקודת הנגיעה f′=0f'=0, אבל משני הצדדים הפרבולה באותו צד של הציר, והסימן לא מתחלף. לכן לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת — לעולם לא אחת בדיוק.

Δ>0\Delta > 0

לפרבולה f′f' שני שורשים — שתי נקודות קיצון ל-ff.

Δ=0\Delta = 0

נגיעה בציר — אין קיצון, ff מונוטונית.

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים — אין קיצון, ff מונוטונית.

כאן Δ\Delta הוא הדיסקרימיננטה של הנגזרת f′f', לא של ff. «ff עולה לכל xx» פירושו f′≥0f' \ge 0 לכל xx: פרבולה פתוחה כלפי מעלה עם Δ≤0\Delta \le 0 — כולל השוויון.

מצאו את הפרמטר: שני נתונים, שתי משוואות

המשפט «ל-ff יש נקודת קיצון בנקודה (1, 5)(1,\,5)» מכיל שני נתונים: הנגזרת מתאפסת ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה. כל נתון נותן משוואה.

f′(x0)=0f(x0)=y0\begin{aligned}f'(x_0) &= 0 \qquad f(x_0) \\ &= y_0\end{aligned}

למה צריך את שני הנתונים? מה היה קורה אם היה נתון רק «ל-ff יש קיצון ב-x=1x=1»?

להציג את התשובה והפתרון

היינו מקבלים משוואה אחת בשני נעלמים, 2a+b=−32a+b=-3, ואינסוף זוגות (a, b)(a,\,b). כל נעלם דורש משוואה משלו — ולכן הגובה 55 הכרחי.

עבור אילו aa הפונקציה עולה לכל xx?

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. מצאו את כל ערכי aa שעבורם ff עולה לכל xx.

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

גוזרים — פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)≥0 לכל x  ⟺  Δ≤0f'(x) \ge 0 \ \text{לכל} \ x \iff \Delta \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

Δ=(2a)2−4⋅3⋅3=4a2−36\begin{aligned}\Delta &= (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &= 4a^2 - 36\end{aligned}

הדיסקרימיננטה של f′f'

4a2−36≤0 ⇒ a2≤94a^2 - 36 \le 0 \ \Rightarrow\ a^2 \le 9

פותרים

−3≤a≤3-3 \le a \le 3

הקצוות נכללים: שם f′f' נוגעת בציר בלבד

שלוש הטעויות של שאלות הפרמטר.

f(1)=0f(1) = 0
f′(1)=0f'(1) = 0

«קיצון ב-x=1x=1» הוא נתון על הנגזרת. f(1)=0f(1)=0 פירושו שהגרף חותך את ציר xx — משהו אחר לגמרי.

Δf<0\Delta_f < 0
Δf′≤0\Delta_{f'} \le 0

הדיסקרימיננטה שקובעת את מספר הקיצונים היא של הנגזרת. ובשאלת «עולה לכל xx», גם Δ=0\Delta=0 מתקבל.

f′(1)=0 ⇒ קיצוןf'(1)=0 \ \Rightarrow\ \text{קיצון}
f′(1)=0 ⇒ ?f'(1)=0 \ \Rightarrow\ ?

מ-f′(1)=0f'(1)=0 ממשיכים לבדיקת סימנים: אחרי שמצאתם את הפרמטר, בודקים שבאמת יש החלפת סימן. לפעמים הערך שמתקבל נותן נגיעה בלבד.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax−9f'(x)=3x^2+2ax-9

גוזרים; aa הוא מספר קבוע

f′(1)=3+2a−9=0\begin{aligned}f'(1) &= 3+2a-9 \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

2a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}2a &= 6 \ \Rightarrow\ a \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

מי שהציב f(1)=0f(1)=0 קיבל a=7a=7 — אבל הנתון הוא על הנגזרת. «קיצון» אומר משיק אופקי, לא חיתוך עם הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3+3x2−9x+1f(x)=x^3+3x^2-9x+1 (הערך a=3a=3 מהשאלה הקודמת). מה סוג נקודת הקיצון ב-x=1x=1, והיכן נקודת הקיצון השנייה?

  1. מקסימום; השנייה ב-x=3x=3
  2. מקסימום; השנייה ב-x=−3x=-3
  3. מינימום; השנייה ב-x=3x=3
  4. מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3

הפתרון:

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

מפרקים

f′(0)=−9<0  f′(2)=15>0\begin{aligned}f'(0) &= -9<0 \\ \ \ f'(2) &= 15>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-−- ל-++

x=−3x=-3

השורש השני של הנגזרת — שם מקסימום

התשובה: מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3. «השנייה ב-x=3x=3» נובעת מקריאת הגורם (x+3)(x+3) עם סימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה המשפחה f(x)=x3−3axf(x)=x^3-3ax. עבור אילו ערכי aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון?

  1. a>0a>0
  2. לכל aa
  3. a≥0a \ge 0
  4. a<0a<0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א a>0a>0

הפתרון:

f′(x)=3x2−3af'(x)=3x^2-3a

גוזרים

f′(x)=0  ⟺  x2=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x^2 \\ &= a\end{aligned}

משווים לאפס

a>0⇒x=±aa>0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{a}

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן

התשובה: a>0a>0. ב-a=0a=0 מתקבל f(x)=x3f(x)=x^3: הנגזרת 3x23x^2 נוגעת בציר ואינה מחליפה סימן — אין קיצון. לכן a≥0a \ge 0 שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קיים פולינום ממעלה שלישית שיש לו בדיוק נקודת קיצון אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=Ax2+Bx+C A≠0\begin{aligned}f'(x) &= Ax^2+Bx+C \\ \ A \ne 0\end{aligned}

הנגזרת היא פרבולה

Δ>0: 2Δ≤0: 0\Delta>0: \ 2 \qquad \Delta \le 0: \ 0

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן; אחרת אין החלפה

לא נכון. לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת. שורש כפול של הנגזרת נותן משיק אופקי בלי קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. ff עולה לכל xx בדיוק כאשר aa נמצא בקטע סגור. השלימו את קצות הקטע.

הערך הקטן ביותר של aa הוא ____, והערך הגדול ביותר של aa הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הקטן ביותר של aa הוא -3, והערך הגדול ביותר של aa הוא 3

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

Δ=4a2−36≤0\Delta=4a^2-36 \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

a2≤9  ⟺  −3≤a≤3a^2 \le 9 \iff -3 \le a \le 3

פותרים

בשני הקצוות Δ=0\Delta=0: הנגזרת נוגעת בציר בנקודה אחת, ו-ff עדיין עולה. מי שכתב אי-שוויון חזק איבד את a=±3a=\pm 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=ax3+bxf(x)=ax^3+bx. ל-ff יש נקודת קיצון ב-(1, −2)(1,\,-2). מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון: הנגזרת מתאפסת

f(1)=a+b=−2\begin{aligned}f(1) &= a+b \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=2⇒a=1  b=−3\begin{aligned}2a &= 2 \Rightarrow a \\ &= 1 \\ \ \ b &= -3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

השאלה מבקשת את bb, לא את a=1a=1. ובדיקה: f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, ו-f(1)=−2f(1)=-2 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

תלמיד חיפש kk כך שלפונקציה f(x)=x3+kx2f(x)=x^3+kx^2 תהיה נקודת קיצון ב-x=2x=2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2+2kxf'(x) = 3x^2 + 2kx
f′(2)=12+4kf'(2) = 12 + 4k
12+4k=012 + 4k = 0
k=3k = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=3k = 3 → k=−3k = -3

הפתרון:

4k=−12⇒k=−3\begin{aligned}4k &= -12 \Rightarrow k \\ &= -3\end{aligned}

מעבירים אגף — הסימן מתהפך

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x \\ &= 3x(x-2)\end{aligned}

בדיקה: סביב x=2x=2 מ-−- ל-++, מינימום

הטעות בהעברת אגף: 4k=−124k=-12, ולכן k=−3k=-3. עם k=3k=3 הנגזרת 3x2+6x3x^2+6x מתאפסת ב-x=−2x=-2, לא ב-x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה המשפחה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. מצאו את הערך החיובי של kk שעבורו גרף ff משיק לציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

הקיצונים לא תלויים ב-kk

f(1)=−2+k  f(−1)=2+k\begin{aligned}f(1) &= -2+k \\ \ \ f(-1) &= 2+k\end{aligned}

הגבהים של המינימום ושל המקסימום

f(1)=0⇒k=2\begin{aligned}f(1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

המינימום על הציר — הגרף נוגע בו

f(−1)=0⇒k=−2\begin{aligned}f(-1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= -2\end{aligned}

הערך השני, השלילי

kk מזיז את הגרף למעלה ולמטה בלי לשנות את מקום הקיצונים. גרף משיק לציר xx = נקודת קיצון בגובה 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. עבור אילו kk יש ל-ff שלושה שורשים?

  1. k<−2k<-2 או k>2k>2
  2. k>2k>2
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −2<k<2-2<k<2

הפתרון:

max⁡=f(−1)=2+k  min⁡=f(1)=−2+k\begin{aligned}\max &= f(-1) \\ &= 2+k \\ \ \ \min &= f(1) \\ &= -2+k\end{aligned}

הגבהים של הקיצונים

2+k>0 וגם −2+k<02+k>0 \ \text{וגם} \ -2+k<0

המקסימום מעל הציר והמינימום מתחתיו

−2<k<2-2<k<2

שלוש נקודות חיתוך

התשובה: −2<k<2-2<k<2. בקצוות k=±2k=\pm2 אחד הקיצונים נוגע בציר, ונשארים שני שורשים — לכן אי-שוויון חזק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x. הוכיחו כי לכל ערך של aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון.

  • f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x
  • aa מספר ממשי כלשהו

ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=3x2+2ax−1f'(x)=3x^2+2ax-1 — גזירה איבר-איבר
  2. Δ=4a2+12\Delta=4a^2+12 — הדיסקרימיננטה של הנגזרת
  3. Δ>0\Delta>0 לכל aa — 4a2≥04a^2 \ge 0, ולכן 4a2+12≥124a^2+12 \ge 12
  4. ל-f′f' שני שורשים שונים, ובכל אחד מהם היא מחליפה סימן — לפרבולה עם Δ>0\Delta>0 שני שורשים פשוטים
  5. ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa — החלפת סימן של הנגזרת — נקודת קיצון
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת