פותרים יחד · בעיות קיצון · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון בפרק: פולינום מגאומטריה, קטע סגור בתנועה, מרחק עם שורש, אילוץ שיוצר שבר, וקטע בין שני גרפים. כל שאלה נפתרת יחד, ולמטה מחכה לה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, כתבו בטיוטה מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חפשו את חמשת השלבים: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג ותשובה.

1 — תיבה מגיליון מלבני

גיליון 24 על 9, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

פעילות אינטראקטיבית

מגיליון פח שממדיו $24$ ס״מ על $9$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ , ומקפלים לתיבה פתוחה. א. הביעו את נפח התיבה באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו הנפח מקסימלי, ואת הנפח המקסימלי.

V(x) = x(24 - 2x)(9 - 2x)

לחצו «להתחיל». שימו לב: הגיליון אינו ריבועי — לכל כיוון גבול משלו.

הבעה

\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(9 - 2x) \\ &= 4x^3 - 66x^2 + 216x\end{aligned}

בסיס $(24 - 2x)$ על $(9 - 2x)$ , גובה $x$ .

תחום

0 < x < 4.5

הצלע הקצרה קובעת: $9 - 2x > 0$ .

גזירה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 132x + 216 \\ &= 12(x - 2)(x - 9)\end{aligned}

מוציאים $12$ ומפרקים.

סינון

\begin{aligned}x &= 2 \in (0, 4.5) \\ \quad x &= 9 \notin (0, 4.5)\end{aligned}

נשארת נקודה אחת. משמאל ל- $2$ הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום.

תשובה

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 20 \cdot 5 \\ &= 200\end{aligned}

נפח מקסימלי $200$ סמ״ק, ב- $x = 2$ .

מי שקובע את התחום לפי $24$ ( $x < 12$ ) משאיר את $x = 9$ — ומקבל תיבה עם «בסיס» של $-9$ ס״מ.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה התחום נקבע לפי הצלע הקצרה של הגיליון?

להציג את התשובה והפתרון

כי שני תנאים חייבים להתקיים יחד: $24 - 2x > 0$ וגם $9 - 2x > 0$ . הראשון נותן $x < 12$ והשני $x < 4.5$ — והחיתוך הוא $x < 4.5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

2 — תנועה בקטע סגור

פעילות אינטראקטיבית

גוף שחוזר לנקודת המוצא

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ , עבור $0 \le t \le 7$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

$32$ מ׳

$7$ מ׳

$0$ מ׳

$36$ מ׳

מה מחפשים?

את המקסימום של $s(t)$ בקטע $[0, 7]$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $s$ הוא המרחק, והקטע סגור.

את המקסימום של $s'(t)$

להציג את התשובה והפתרון

$s'$ היא המהירות. נשאל על מרחק, לא על מהירות.

את $t$ שבו $s(t) = 0$

להציג את התשובה והפתרון

שם הגוף בנקודת המוצא — המרחק הקטן ביותר, לא הגדול.

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 24t + 36 \\ &= 3(t - 2)(t - 6)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים.

אילו רגעים מציבים ב- $s$ ?

$t = 2$ ו- $t = 6$

להציג את התשובה והפתרון

בקטע סגור חסרים הקצוות $t = 0$ ו- $t = 7$ .

$t = 0$ , $t = 2$ , $t = 6$ , $t = 7$

להציג את התשובה והפתרון

כן: שתי הנקודות החשודות ושני הקצוות.

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \quad s(2) &= 32 \\ \quad s(6) &= 0 \\ \quad s(7) &= 7\end{aligned}

ארבעה מועמדים.

להציג את התשובה והפתרון

המרחק הגדול ביותר $32$ מ׳, אחרי $2$ שניות. $7$ מ׳ הוא ערך הקצה — הוא נכון רק בשאלה על סוף התנועה.

לעשות את הפעילות ב-elev

באיזה רגע בין $0$ ל- $7$ הגוף עומד, ואיפה הוא אז?

להציג את התשובה והפתרון

הגוף עומד כש- $s'(t) = 0$ : ב- $t = 2$ (במרחק $32$ מ׳, שם הוא מסתובב וחוזר) וב- $t = 6$ (בנקודת המוצא, $s = 0$ , ומשם הוא מתרחק שוב).

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

3 — המרחק בין שתי אוניות

ברגע היציאה A נמצאת 13 ק״מ מערבית לנמל O. A שטה מזרחה, ו-B יוצאת מ-O צפונה.

פעילות אינטראקטיבית

אונייה $A$ נמצאת $13$ ק״מ מערבית לנמל $O$ ושטה מזרחה במהירות $12$ קמ״ש. באותו רגע אונייה $B$ יוצאת מהנמל צפונה במהירות $5$ קמ״ש. מתי המרחק ביניהן הקטן ביותר, ומהו?

\begin{aligned}OA &= 13 - 12t \\ \quad OB &= 5t\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $t$ בשעות.

הבעה

\begin{aligned}d^2 &= (13 - 12t)^2 + (5t)^2 \\ &= 169t^2 - 312t + 169\end{aligned}

פיתגורס; ממזערים את $d^2$ .

תחום

t \ge 0

הזמן מרגע היציאה. גם אחרי ש- $A$ עוברת את הנמל הנוסחה נכונה, כי $(13 - 12t)^2$ הוא ריבוע.

גזירה

\begin{aligned}(d^2)' &= 338t - 312 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{12}{13}\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום.

ערך

\begin{aligned}d^2 &= 169 \cdot \frac{144}{169} - 312 \cdot \frac{12}{13} + 169 \\ &= 144 - 288 + 169 \\ &= 25\end{aligned}

מציבים בזהירות.

תשובה

d_{min} = 5

אחרי $\frac{12}{13}$ שעה (כ- $55$ דקות), במרחק $5$ ק״מ.

בקצה $t = 0$ המרחק $13$ — גדול יותר. המינימום באמת בפנים.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אונייה $A$ כבר עברה את הנמל ברגע המרחק הקטן ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $OA = 13 - 12 \cdot \frac{12}{13} = \frac{25}{13} > 0$ — היא עדיין מערבית לנמל. הן הכי קרובות לפני ש- $A$ מגיעה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

4 — גדר שמחלקת חלקה

AD = BC = EF = x. הגדר EF מחלקת את החלקה לשני חלקים שווים.

פעילות אינטראקטיבית

כמה גדר צריך לכל הפחות?

חלקה מלבנית בשטח $150$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, וגדר נוספת המקבילה לאחת הצלעות מחלקת אותה לשני חלקים שווים. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר?

נסמן ב- $x$ את אורך הצלע המקבילה לגדר האמצעית. כמה קטעים באורך $x$ יש?

שניים

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הגדר האמצעית: היא מקבילה לצלעות האלה ובאותו אורך.

שלושה

להציג את התשובה והפתרון

כן: שתי צלעות והגדר האמצעית.

\begin{aligned}L &= 3x + 2y \\ \quad xy &= 150\end{aligned}

ושני קטעים באורך $y$ .

איך מבטאים את $L$ במשתנה אחד?

$L(x) = 3x + \frac{300}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $y = \frac{150}{x}$ , ו- $2y = \frac{300}{x}$ .

$L(x) = 3x + \frac{150}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

יש שני קטעים באורך $y$ .

$L(x) = 3x + 150 - x$

להציג את התשובה והפתרון

השטח הוא מכפלה, לא סכום: $y = \frac{150}{x}$ .

\begin{aligned}L(x) &= 3x + \frac{300}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

איפה המינימום?

$x = 10$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $3 - \frac{300}{x^2} = 0$ , ולכן $x^2 = 100$ .

$x = \sqrt{150}$

להציג את התשובה והפתרון

זה היה נכון לריבוע בלי גדר אמצעית. כאן המקדמים $3$ ו- $300$ .

\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad y &= 15 \\ \quad L &= 30 + 30 \\ &= 60\end{aligned}

משמאל ל- $10$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית.

להציג את התשובה והפתרון

$60$ מ׳ גדר: שלושה קטעים של $10$ מ׳ ושני קטעים של $15$ מ׳. ושוב שני המחוברים שווים במינימום: $3x = \frac{300}{x} = 30$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם היה משתלם יותר לשים את הגדר האמצעית מקבילה לצלע האחרת?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הבעיה סימטרית: מי שמסמן אחרת מקבל את אותה פונקציה ואת אותם $60$ מ׳. הצלע שמקבילה לגדר האמצעית תמיד תצא הקצרה ( $10$ ).

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין y = √x לבין y = x/2

פעילות אינטראקטיבית

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

חיתוך

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \frac{x}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{x^2}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע. בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית — שניהם מתאימים.

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= \sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 4\end{aligned}

בתחום הזה $\sqrt{x}$ מעל $\frac{x}{2}$ : ב- $x = 1$ , $1 > 0.5$ .

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משמאל ל- $1$ חיובית, מימין שלילית.

תשובה

\begin{aligned}L(1) &= 1 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בקצוות $L(0) = L(4) = 0$ .

ובנקודה $x = 1$ השיפועים שווים: $f'(1) = \frac{1}{2}$ — בדיוק השיפוע של $g$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה צריך לבדוק את נקודות החיתוך אחרי העלאה בריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון זר. כאן שניהם טובים: $\sqrt{0} = 0$ ו- $\sqrt{4} = 2 = \frac{4}{2}$ ✓. אבל במשוואה אחרת פתרון זר היה משנה את התחום.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

תרגילים

תרגיל 1

גיליון 16 על 10, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון פח שממדיו $16$ ס״מ על $10$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח המקסימלי של התיבה (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

\begin{aligned}V(x) &= x(16 - 2x)(10 - 2x) \\ &= 4x^3 - 52x^2 + 160x \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 104x + 160 \\ &= 4(3x - 20)(x - 2)\end{aligned}

x = 2 \quad \left(x = \frac{20}{3} \notin (0, 5)\right)

מקסימום: מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 12 \cdot 6 \\ &= 144\end{aligned}

$x = \frac{20}{3}$ פותר את המשוואה, אבל $10 - 2 \cdot \frac{20}{3} < 0$ . התחום נקבע לפי הצלע הקצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ , עבור $0 \le t \le 5$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \ s(2) &= 20 \\ \ s(4) &= 16 \\ \ s(5) &= 20\end{aligned}

שתי נקודות חשודות ושני קצוות

s_{max} = 20

ב- $t = 2$ וגם ב- $t = 5$

הקצה $t = 5$ נותן בדיוק את אותו ערך כמו המקסימום המקומי. בלי להציב את הקצוות, לא יודעים שהגוף חוזר ל- $20$ מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

A נוסעת אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O בכביש המאונך.

רכב $A$ נמצא $25$ ק״מ מצומת $O$ ונוסע אליו במהירות $7$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת בכביש המאונך במהירות $24$ קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= (25 - 7t)^2 + (24t)^2 \\ &= 625t^2 - 350t + 625\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}(d^2)' &= 1250t - 350 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.28\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}d^2 &= 625 \cdot 0.0784 - 98 + 625 \\ &= 49 - 98 + 625 \\ &= 576\end{aligned}

d = 24

ממזערים את $d^2$ — אבל עונים $\sqrt{576} = 24$ , לא $576$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

AD = EF = GH = BC = x. שתי גדרות מחלקות את החלקה לשלושה חלקים.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, ושתי גדרות נוספות, המקבילות לאחת הצלעות, מחלקות אותה לשלושה חלקים, כמו בשרטוט. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במ׳)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}L &= 4x + 2y \\ \quad xy &= 200\end{aligned}

ארבעה קטעים באורך $x$

\begin{aligned}L(x) &= 4x + \frac{400}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= 4 - \frac{400}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(10) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

ספרו את הקטעים בשרטוט: ארבעה באורך $x$ (שתי צלעות ושתי גדרות) ושניים באורך $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הקטע האנכי AB בין y = 2√x לבין y = x/3

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{3}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}2\sqrt{x} &= \frac{x}{3} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 36\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{3} \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}L(9) &= 6 - 3 \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת של $2\sqrt{x}$ היא $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — ה- $2$ מתבטל עם ה- $2$ שבמכנה. מי ששוכח אותו מקבל $x = \frac{9}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — תיבה מגיליון מלבני

2 — תנועה בקטע סגור

3 — המרחק בין שתי אוניות

4 — גדר שמחלקת חלקה

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev