סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קלות: פונקציה שכבר נתונה, בעיות מספרים, גדר ותיבה עם שלב הבעה אחד, גובה של כדור, וקטע סגור ראשון.

גם בשאלה קלה כתבו את התחום לפני הגזירה, וענו בסוף על מה שנשאל: ה-xx, או הערך.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=−x2+10x+3f(x) = -x^2 + 10x + 3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

f′(x)=−2x+10=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= -2x + 10 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}
f′(4)>0,f′(6)<0f'(4) > 0, \quad f'(6) < 0

מקסימום

f(5)=−25+50+3=28\begin{aligned}f(5) &= -25 + 50 + 3 \\ &= 28\end{aligned}

הערך המקסימלי הוא f(5)=28f(5) = 28, לא x=5x = 5. והאיבר החופשי 33 לא נעלם בהצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סכום שני מספרים חיוביים הוא 1616. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

P(x)=x(16−x)0<x<16\begin{aligned}P(x) &= x(16 - x) \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}
P′(x)=16−2x=0 ⇒ x=8\begin{aligned}P'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}
P(8)=8⋅8=64\begin{aligned}P(8) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

המספר השני הוא 16−x16 - x, לא xx. במקסימום שני המספרים שווים — ונשאלה המכפלה, 6464.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD
גינה שמגודרת מכל ארבעת צדדיה. AB = x.

לגינה מלבנית, המגודרת מכל ארבעת צדדיה, יש 4040 מ׳ גדר, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של הגינה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

2x+2y=40 ⇒ y=20−x\begin{aligned}2x + 2y &= 40 \ \Rightarrow \ y \\ &= 20 - x\end{aligned}

ההיקף

S(x)=x(20−x)0<x<20\begin{aligned}S(x) &= x(20 - x) \\ \quad 0 < x < 20\end{aligned}
S′(x)=20−2x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 20 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום

S(10)=100S(10) = 100

חצי היקף הוא 2020, לא 4040. מי שכותב y=40−xy = 40 - x שוכח שיש שתי צלעות מכל סוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גיליון 20 על 20, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx020020

מגיליון 20×2020 \times 20 גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו התחום של xx?

  1. 0<x<200 < x < 20
  2. 0<x<100 < x < 10
  3. 0≤x≤50 \le x \le 5
  4. x>0x > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0<x<100 < x < 10

הפתרון:

20−2x>0 ⇒ x<1020 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 10

צלע הבסיס חיובית

x>0x > 0

יש גובה

הנכונה: 0<x<100 < x < 10. 0<x<200 < x < 20 שוכח שנגזרות שתי פינות מכל צלע, ו-x>0x > 0 שוכח את הגבול העליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=40t−5t2h(t) = 40t - 5t^2, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. מהו הגובה המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

h′(t)=40−10t=0 ⇒ t=4\begin{aligned}h'(t) &= 40 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}
h(0)=0h(4)=80h(8)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(4) &= 80 \\ \quad h(8) &= 0\end{aligned}

עם הקצוות

hmax=80h_{max} = 80

נשאל הגובה (8080 מ׳), לא הרגע (44 שניות).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ייתכן שלפונקציה בקטע פתוח אין ערך גדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x)=x(0,1)\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad (0, 1)\end{aligned}

דוגמה

f(x)<1f(x) < 1

לכל xx בקטע

f(0.99)<f(0.999)<…f(0.99) < f(0.999) < \ldots

תמיד יש ערך גדול יותר

נכון. הערכים מתקרבים ל-11 ואינם מגיעים אליו, כי 11 אינו בקטע. בקטע פתוח לא מציבים קצוות — הם לא שייכים לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 בקטע [1,4][1, 4].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x - 2)\end{aligned}
x=2∈[1,4]x=0∉[1,4]\begin{aligned}x &= 2 \in [1, 4] \\ \quad x &= 0 \notin [1, 4]\end{aligned}
f(1)=−2f(2)=−4f(4)=16\begin{aligned}f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= -4 \\ \quad f(4) &= 16\end{aligned}

המועמדים

fmax=16f_{max} = 16

בקצה

הנקודה החשודה x=2x = 2 היא מינימום. המקסימום בקצה x=4x = 4 — ולכן מציבים תמיד את הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x+25xf(x) = x + \frac{25}{x} בתחום x>0x > 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=1−25x2=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{25}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

x=−5x = -5 מחוץ לתחום

f(5)=5+5=10\begin{aligned}f(5) &= 5 + 5 \\ &= 10\end{aligned}

הערך 1010, והמקום x=5x = 5. בדיקה מהירה: במינימום שני המחוברים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בבעיית קיצון, איזה גודל יכול לקבל ערך שלילי ואיזה לא?

  • יכול להיות שלילי
  • אינו שלילי
  • אורך צלע
  • זמן מרגע היציאה
  • מהירות של גוף שנע הלוך וחזור
  • נפח של תיבה
  • שיעור ה-xx של נקודה על גרף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורך צלע — אינו שלילי · נפח של תיבה — אינו שלילי · שיעור ה-xx של נקודה על גרף — יכול להיות שלילי · זמן מרגע היציאה — אינו שלילי · מהירות של גוף שנע הלוך וחזור — יכול להיות שלילי

הפתרון:

x>0x > 0

אורך, נפח

t≥0t \ge 0

זמן מרגע היציאה

v<0v < 0

תנועה בכיוון ההפוך

התחום בא מהמשמעות: אורך ונפח חיוביים, זמן מתחיל ב-00. שיעור של נקודה ומהירות יכולים להיות שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+2y=12x + 2y = 12. מהו הערך הגדול ביותר של xyxy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

y=12−x2y = \frac{12 - x}{2}

מבטאים את yy

P(x)=x(12−x)20<x<12\begin{aligned}P(x) &= \frac{x(12 - x)}{2} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}
P′(x)=12−2x2=0 ⇒ x=6\begin{aligned}P'(x) &= \frac{12 - 2x}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}
P(6)=6⋅3=18\begin{aligned}P(6) &= 6 \cdot 3 \\ &= 18\end{aligned}

כאן xx ו-yy אינם שווים במקסימום (66 ו-33), כי yy מופיע עם מקדם 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת