סדרה 2 — בינוני · בעיות קיצון · כיתה י׳

עשר שאלות בינוניות: בונים את הפונקציה משרטוט, מסננים פתרונות לפי התחום, משווים ארבעה מועמדים בקטע סגור, וממקסמים ריבוע במקום שורש.

לפני שגוזרים, בדקו שבביטוי נשאר משתנה אחד. אם יש שניים — חפשו את הנתון הקבוע (שטח, נפח, היקף) או את הדמיון שקושר ביניהם.

תרגילים

תרגיל 1

CB = 12, CA = 6, CD = x. הקודקוד E על היתר.

במשולש ישר-זווית $ABC$ שניצביו $CB = 12$ ו- $CA = 6$ חסום מלבן $CDEF$ : $D$ על $CB$ , $F$ על $CA$ ו- $E$ על היתר, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{DE}{6} &= \frac{12 - x}{12} \ \Rightarrow \ DE \\ &= \frac{12 - x}{2}\end{aligned}

דמיון; $x = CD$

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(12 - x)}{2} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 6 - x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(6) &= 6 \cdot 3 \\ &= 18\end{aligned}

הגובה יורד כש- $x$ עולה — ולכן $(12 - x)$ בביטוי. והמלבן המקסימלי שוב חצי משטח המשולש ( $36$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון $30 \times 30$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2000

הפתרון:

\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x)

גורם משותף

x = 5 \quad (x = 15 \notin (0, 15))

מקסימום

\begin{aligned}V(5) &= 5 \cdot 20^2 \\ &= 2000\end{aligned}

$x = 15$ מאפס את הנגזרת — ואת התיבה. רק $x = 5$ בתוך התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיסה ריבוע שצלעו $x$ ונפחה $108$ סמ״ק, כמו בשרטוט. מהו שטח הפח הקטן ביותר (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

h = \frac{108}{x^2}

האילוץ

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} \\ &= x^2 + \frac{432}{x}\end{aligned}

בסיס אחד

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{432}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 216 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}S(6) &= 36 + 72 \\ &= 108\end{aligned}

התיבה פתוחה: $x^2$ ולא $2x^2$ . וזה צירוף מקרים ששטח הפח $108$ שווה למספר של הנפח — היחידות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך הקטן ביותר של $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ בקטע $[-2, 3]$ ?

$-20$
$7$
$-9$
$-4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-20$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2 - 6x - 12 \\ &= 6(x - 2)(x + 1)\end{aligned}

\begin{aligned}f(-2) &= -4 \\ \ f(-1) &= 7 \\ \ f(2) &= -20 \\ \ f(3) &= -9\end{aligned}

ארבעה מועמדים

f_{min} = -20

הנכונה: $-20$ , ב- $x = 2$ . $-9$ ו- $-4$ הם ערכי הקצוות, ו- $7$ הוא המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיקומו של גוף (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = -2t^3 + 24t^2$ , עבור $0 \le t \le 8$ . מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (במ׳ לשנייה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

v(t) = -6t^2 + 48t

המהירות

\begin{aligned}v'(t) &= -12t + 48 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

גוזרים את $v$

\begin{aligned}v(0) &= 0 \\ \quad v(4) &= 96 \\ \quad v(8) &= 0\end{aligned}

עם הקצוות

v_{max} = 96

$v(8) = 0$ : ב- $t = 8$ הגוף נעצר. מי שפותר $s'(t) = 0$ מוצא את הרגע הזה — שם המהירות הקטנה ביותר, לא הגדולה. את $v$ עצמה גוזרים: $v_{max} = v(4) = 96$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את הערך הקטן ביותר של $f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 8x + 25 = (x - 4)^2 + 9

\begin{aligned}g'(x) &= 2x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

ממזערים את הביטוי הפנימי

\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

השורש עולה, ולכן המינימום באותו $x = 4$ . הערך הוא $\sqrt{9} = 3$ , לא $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 288 מ״ר.

חלקה מלבנית בשטח $288$ מ״ר צמודה לקיר, וגודרים את שלושת הצדדים האחרים, כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במ׳)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= 2x + \frac{288}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

$x$ — הצלע הניצבת לקיר

\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{288}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}L(12) &= 24 + 24 \\ &= 48\end{aligned}

הצד שלאורך הקיר ( $24$ מ׳) נספר פעם אחת, והצד הניצב פעמיים. במינימום שני המחוברים שווים: $24 = 24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה $S$ , הפונקציות $S$ ו- $S^2$ מקבלות את הערך הגדול ביותר שלהן באותו $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x^2 - 4 \\ \quad [-1, 1]\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}S_{max} &= S(\pm 1) \\ &= -3\end{aligned}

\begin{aligned}S^2(0) &= 16 > S^2(\pm 1) \\ &= 9\end{aligned}

$S^2$ מקסימלית ב- $x = 0$

מופרך. הטריק עובד רק כש- $S \ge 0$ . כאן $S$ שלילית, והריבוע הופך את הסדר: $-4 < -3$ אבל $16 > 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מלבן מתחת לגרף y = 16 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 16 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49.27

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 2x(16 - x^2) \\ &= 32x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < 4\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 32 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{\frac{16}{3}} \approx 2.31\end{aligned}

S = 2 \cdot 2.309 \cdot \frac{32}{3} \approx 49.27

$16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

הרוחב $2x$ והגובה $16 - x^2 = \frac{32}{3}$ — לא $16$ . ועגלו רק בסוף החישוב, לא את $x$ באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיס ריבועי שצלעו $x$ , נפח $32$ סמ״ק, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה.

x^2 h = 32

h = \frac{32}{x^2}

S(x) = x^2 + \frac{128}{x}

S'(x) = 2x + \frac{128}{x^2}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S'(x) = 2x + \frac{128}{x^2}$ → $S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}$

הפתרון:

\left(128x^{-1}\right)' = -128x^{-2}

נגזרת של חזקה שלילית

בלי המינוס $S'(x) = 0$ אין פתרון חיובי. אם המשוואה «לא נפתרת» — חפשו קודם סימן שאבד בגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev