סדרה 3 — מאתגר · בעיות קיצון · כיתה י׳

עשר שאלות מאתגרות: שורשים ומרחקים, קצוות שמנצחים, זמן הגעה קצר ביותר, ושאלת «האם ייתכן».

כשיש שורש של סכום ריבועים — ממזערים את מה שמתחת לשורש. וכשהקטע סגור — שורה אחת בטבלה לכל קצה.

תרגילים

תרגיל 1

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 6

בחצי מעגל שרדיוסו $6$ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 2x\sqrt{36 - x^2} \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

$x$ — חצי הבסיס

S^2 = 144x^2 - 4x^4

\begin{aligned}(S^2)' &= 288x - 16x^3 \\ &= 16x(18 - x^2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

\begin{aligned}S^2 &= 144 \cdot 18 - 4 \cdot 324 \\ &= 1296 \ \Rightarrow \ S \\ &= 36\end{aligned}

שוב ריבוע הרדיוס: $6^2 = 36$ . מי שעוצר ב- $1296$ שכח שמיקסם את $S^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק מ-A(0, 5) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה $A(0, 5)$ לגרף $y = x^2$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.18

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 5)^2 \\ &= x^4 - 9x^2 + 25\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x(2x^2 - 9) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 4.5\end{aligned}

\begin{aligned}d^2(0) &= 25 \\ \quad d^2(\pm\sqrt{4.5}) &= 20.25 - 40.5 + 25 \\ &= 4.75\end{aligned}

d = \sqrt{4.75} \approx 2.18

$x = 0$ נותן מרחק $5$ — מקסימום מקומי. הנקודות הקרובות הן $(\pm\sqrt{4.5}, 4.5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

A נוסעת מזרחה אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O צפונה.

רכב $A$ נמצא $50$ ק״מ מערבית לצומת $O$ ונוסע מזרחה אליו במהירות $30$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת צפונה במהירות $40$ קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= (50 - 30t)^2 + (40t)^2 \\ &= 2500t^2 - 3000t + 2500\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 5000t - 3000 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.6\end{aligned}

\begin{aligned}d^2 &= 900 - 1800 + 2500 \\ &= 1600\end{aligned}

d = 40

$d^2 = 1600$ , ולכן $d = 40$ . ובקצה $t = 0$ המרחק $50$ — גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

EFGH — אזור ההדפסה. שוליים של 2 ס״מ מימין ומשמאל, ו-3 ס״מ למעלה ולמטה.

על כרזה מדפיסים אזור מלבני בשטח $150$ סמ״ר. משמאל ומימין שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 294

הפתרון:

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{150}{x} + 6\right) \\ &= 174 + 6x + \frac{600}{x}\end{aligned}

$x$ — רוחב אזור ההדפסה

\begin{aligned}A'(x) &= 6 - \frac{600}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}A(10) &= 14 \cdot 21 \\ &= 294\end{aligned}

$150 + 24 = 174$ : מכפלת השוליים $4 \cdot 6$ היא חלק מהשטח. מי שפותח את הסוגריים בחיפזון מאבד אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באילו נקודות מקבלת $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ את הערך הגדול ביותר שלה בקטע $[0, 4]$ ?

ב- $x = 4$ בלבד
ב- $x = 1$ בלבד
ב- $x = 3$
ב- $x = 1$ וב- $x = 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ב- $x = 1$ וב- $x = 4$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x - 1)(x - 3)\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(1) &= 4 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(4) &= 4\end{aligned}

הנכונה: ב- $x = 1$ וב- $x = 4$ — שתיהן נותנות $4$ . $x = 3$ הוא מינימום. מי שבודק רק נגזרת מפספס את הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש OAP, P על הגרף y = 12 − x²

$P$ נקודה על הגרף $y = 12 - x^2$ ברביע הראשון, $A$ היטלה על ציר ה- $x$ , ו- $O$ ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(12 - x^2)}{2} \\ \quad 0 < x < \sqrt{12}\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{12 - 3x^2}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}S(2) &= \frac{2 \cdot 8}{2} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה של המשולש הוא שיעור ה- $y$ של $P$ : $12 - x^2$ . ובלי החצי יוצא שטח המלבן, $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הקטע האנכי AB בין y = √x לבין y = x/4

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{4}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \frac{x}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ 16\end{aligned}

התחום $0 \le x \le 16$

L(x) = \sqrt{x} - \frac{x}{4}

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{4} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}L(4) &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

הנגזרת של $\sqrt{x}$ היא $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — לא $\frac{1}{\sqrt{x}}$ . בלי ה- $2$ יוצא $x = 16$ , שם $L = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האם ייתכן שבקטע סגור הערך הקטן ביותר של פונקציה מתקבל בשתי נקודות שונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= -x^2 \\ \quad [-1, 1]\end{aligned}

דוגמה

\begin{aligned}f(-1) &= f(1) \\ &= -1\end{aligned}

שני הקצוות

f(0) = 0

ובפנים מקסימום

ייתכן. ערך קיצון מוחלט הוא ערך אחד, אבל הוא יכול להתקבל בכמה נקודות. לכן עונים «המינימום $-1$ , ב- $x = \pm 1$ ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

PQ = 4, QB = 10, QC = x. חותרים מ-P אל C, והולכים מ-C אל B.

סירה נמצאת $4$ ק״מ מחוף ישר, מול הנקודה $Q$ . עיירה $B$ נמצאת על החוף $10$ ק״מ מ- $Q$ , כמו בשרטוט. חותרים ב- $4$ קמ״ש אל נקודה $C$ על החוף, והולכים ב- $5$ קמ״ש אל $B$ . מהו זמן ההגעה הקצר ביותר (בשעות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.6

הפתרון:

\begin{aligned}T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{4} + \frac{10 - x}{5} \\ \quad 0 \le x \le 10\end{aligned}

\begin{aligned}T'(x) &= \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 16}} - \frac{1}{5} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 4\sqrt{x^2 + 16}\end{aligned}

\begin{aligned}9x^2 &= 256 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

בדיקה: $5 \cdot \frac{16}{3} = 4 \cdot \frac{20}{3}$ ✓

\begin{aligned}T\left(\frac{16}{3}\right) &= \frac{20/3}{4} + \frac{14/3}{5} \\ &= \frac{5}{3} + \frac{14}{15} \\ &= 2.6\end{aligned}

\begin{aligned}T(0) &= 3 \\ \quad T(10) \approx 2.69\end{aligned}

הקצוות גדולים יותר

אחרי העלאה בריבוע בודקים את הפתרון במשוואה, ובקטע סגור משווים לקצוות. חתירה ישר לעיירה ( $2.69$ ) כמעט טובה — אבל לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את הערך הקטן ביותר של $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ בתחום $x > 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x - \frac{16}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

f'(1) < 0, \quad f'(3) > 0

מינימום

\begin{aligned}f(2) &= 4 + 8 \\ &= 12\end{aligned}

כאן המחוברים אינם שווים במינימום ( $4$ ו- $8$ ): הכלל «שווים» שייך ל- $ax + \frac{b}{x}$ בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev