סדרה 4 — מתקדם · בעיות קיצון · כיתה י׳

עשר שאלות מתקדמות: פרמטר שנקבע מתוך תשובה, ביטויים כלליים במקום מספרים, קצה שמנצח בתנועה, ונימוק «בדרך השלילה».

כשיש פרמטר, פתרו את הבעיה כאילו הוא מספר — עד הסוף. רק אז השוו את התוצאה לנתון ומצאו את הפרמטר.

תרגילים

תרגיל 1

מלבן מתחת לגרף y = a − x²

נתונה $y = a - x^2$ , כאשר $a > 0$ . הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף, והאחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. השטח הגדול ביותר של המלבן הוא $32$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 2x(a - x^2) \\ &= 2ax - 2x^3\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 2a - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{\frac{a}{3}}\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S_{max} &= 2\sqrt{\frac{a}{3}} \cdot \frac{2a}{3} \\ &= \frac{4a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}\end{aligned}

$a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$

\begin{aligned}\frac{4a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} &= 32 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

בדיקה: $16 \cdot 2 = 32$ ✓

פותרים עם $a$ כמו עם מספר, ורק בסוף משווים ל- $32$ . מי שמציב $a$ מוקדם מדי נתקע עם שני נעלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק מ-A(7, 0) לנקודה P על הגרף y = √x

מהו שיעור ה- $x$ של הנקודה על הגרף $y = \sqrt{x}$ הקרובה ביותר לנקודה $A(7, 0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.5

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= (x - 7)^2 + x \\ &= x^2 - 13x + 49 \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x - 13 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6.5\end{aligned}

מינימום; $d^2(0) = 49$ גדול יותר

הנקודה הקרובה אינה $(7, \sqrt{7})$ שמעל $A$ : הגרף עולה, ולכן היא מעט שמאלה. $(\sqrt{x})^2 = x$ הופך את הבעיה לפרבולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

AB = AC = 6, BD = DC = x.

במשולש שווה-שוקיים $ABC$ השוקיים $AB = AC = 6$ , והבסיס $BC$ משתנה, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}BD &= x \\ \quad AD &= \sqrt{36 - x^2} \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{36 - x^2} \\ \quad S^2 &= 36x^2 - x^4\end{aligned}

\begin{aligned}(S^2)' &= 72x - 4x^3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}S^2 &= 648 - 324 \\ &= 324 \ \Rightarrow \ S \\ &= 18\end{aligned}

הבסיס הוא $2x$ , ולכן השטח $\frac{2x \cdot AD}{2} = x \cdot AD$ . וב- $x^2 = 18$ המשולש ישר-זווית — $6^2 + 6^2 = (2\sqrt{18})^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x) = x + 2\sqrt{4 - x}$ בקטע $[0, 4]$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{1}{\sqrt{4 - x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{4 - x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \quad f(3) &= 5 \\ \quad f(4) &= 4\end{aligned}

עם הקצוות

f_{max} = 5

הנגזרת של $2\sqrt{4 - x}$ היא $\frac{-1}{\sqrt{4 - x}}$ — המינוס בא מהנגזרת הפנימית של $4 - x$ . וב- $x = 4$ הנגזרת לא מוגדרת, אבל הקצה עדיין מועמד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

CB = a, CA = b, CD = x. הקודקוד E על היתר.

במשולש ישר-זווית שניצביו $a$ ו- $b$ חסום מלבן שקודקוד אחד שלו בזווית הישרה וקודקוד אחר על היתר, כמו בשרטוט. איזה חלק משטח המשולש הוא השטח הגדול ביותר של המלבן?

$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{4}$
תלוי ב- $a$ וב- $b$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{1}{2}$

הפתרון:

DE = \frac{b(a - x)}{a}

דמיון

\begin{aligned}S(x) &= \frac{b}{a}(ax - x^2) \\ \quad S'(x) &= \frac{b}{a}(a - 2x) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \frac{a}{2} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{ab}{4}\end{aligned}

\frac{ab}{4} : \frac{ab}{2} = \frac{1}{2}

הנכונה: $\frac{1}{2}$ — לכל $a$ ו- $b$ . המלבן המקסימלי תמיד בנקודות האמצע של הניצבים. «תלוי» נשמע זהיר, אבל הפרמטרים מתבטלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שתי מכוניות צעצוע יוצאות יחד מאותה נקודה על מסילה ישרה, באותו כיוון. אחרי $t$ שניות מכונית $A$ נמצאת במרחק $6t^2 - t^3$ מטרים מנקודת היציאה, ומכונית $B$ במרחק $9t$ מטרים ממנה, עבור $0 \le t \le 5$ . מהו המרחק הגדול ביותר בין המכוניות (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}D(t) &= 9t - (6t^2 - t^3) \\ &= t^3 - 6t^2 + 9t\end{aligned}

$B$ פחות $A$ . ו- $D(t) = t(t - 3)^2 \ge 0$ , כך ש- $B$ אף פעם לא מאחור

\begin{aligned}D'(t) &= 3t^2 - 12t + 9 \\ &= 3(t - 1)(t - 3)\end{aligned}

\begin{aligned}D(0) &= 0 \\ \ D(1) &= 4 \\ \ D(3) &= 0 \\ \ D(5) &= 20\end{aligned}

עם הקצוות

D_{max} = 20

בקצה $t = 5$

המקסימום המקומי ב- $t = 1$ ( $4$ ) הוא מלכודת: בסוף הקטע $B$ מוביל ב- $20$ . בלי הקצה $t = 5$ — התשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

AD = EF = GH = BC = x. שתי גדרות מחלקות את החלקה לשלושה חלקים.

חלקה מלבנית בשטח $128$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, ושתי גדרות המקבילות לאחת הצלעות מחלקות אותה לשלושה חלקים, כמו בשרטוט. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במ׳)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

\begin{aligned}L &= 4x + 2y \\ \quad xy &= 128\end{aligned}

\begin{aligned}L(x) &= 4x + \frac{256}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= 4 - \frac{256}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}L(8) &= 32 + 32 \\ &= 64\end{aligned}

ארבעה קטעים באורך $x$ ושניים באורך $y$ . מי שסופר שלושה קטעים מפספס גדר פנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 6

בחצי מעגל שרדיוסו $6$ חסום מלבן, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה.

S = 2x\sqrt{36 - x^2}

S^2 = 144x^2 - 4x^4

\begin{aligned}(S^2)' &= 288x - 16x^3 \\ &= 0\end{aligned}

x^2 = 18

\begin{aligned}S_{max} &= S^2(\sqrt{18}) \\ &= 1296\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_{max} = S^2(\sqrt{18}) = 1296$ → $S_{max} = \sqrt{1296} = 36$

הפתרון:

\begin{aligned}S^2(\sqrt{18}) &= 2592 - 1296 \\ &= 1296\end{aligned}

זה ערך הריבוע

\begin{aligned}S &= \sqrt{1296} \\ &= 36\end{aligned}

$1296$ גדול יותר מפי $20$ משטח חצי המעגל כולו ( $18\pi \approx 56.5$ ) — סימן מיידי שמשהו לא בסדר. בדיקת גודל תופסת את השורש שנשכח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פונקציה גזירה בקטע פתוח, שיש לה בקטע נקודה חשודה אחת בלבד והיא מקסימום מקומי — מקבלת שם את הערך הגדול ביותר שלה בקטע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x_1) > f(x_0)

נניח בדרך השלילה: יש $x_1$ עם ערך גדול יותר

x_0 < x_1

למשל מימין; ליד $x_0$ הפונקציה יורדת

\begin{aligned}f'(c) &= 0 \\ \quad x_0 < c < x_1\end{aligned}

כדי לעלות שוב אל $f(x_1)$ היא חייבת לעבור במינימום — נקודה חשודה שנייה

\Rightarrow \Leftarrow

סתירה: הייתה רק נקודה חשודה אחת

נכון — וזה מה שמתיר לענות בקטע פתוח בלי להשוות לכלום. אבל רק כשהנקודה החשודה יחידה; עם שתיים חייבים לבדוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נקודה P על הגרף y = 4/x

מהו המרחק הקצר ביותר מראשית הצירים $O$ לנקודה $P$ על הגרף $y = \frac{4}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.83

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= x^2 + \frac{16}{x^2} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x - \frac{32}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}d^2 &= 4 + 4 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\sqrt{2} \approx 2.83\end{aligned}

הנגזרת של $16x^{-2}$ היא $-32x^{-3}$ . והנקודה $(2, 2)$ יושבת על הישר $y = x$ — ציר הסימטריה של הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev