סדרה 5 — לקראת הבגרות · בעיות קיצון · כיתה י׳

עשר שאלות ברמת הבגרות: פרמטרים, נקודה חשודה שנופלת מחוץ לתחום, מינימום שיושב בקצה, ושאלות «האם נכון ש…».

בבגרות הנימוק שווה נקודות: כתבו במילים מה $x$ , מה התחום ולמה, ואיך סיווגתם. תשובה נכונה בלי טבלת סימנים אינה תשובה מלאה.

תרגילים

תרגיל 1

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון שממדיו $24$ ס״מ על $15$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 486

הפתרון:

\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(15 - 2x) \\ &= 4x^3 - 78x^2 + 360x \\ \quad 0 < x < 7.5\end{aligned}

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 156x + 360 \\ &= 12(x - 3)(x - 10)\end{aligned}

x = 3 \quad (x = 10 \notin (0, 7.5))

מקסימום

\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 18 \cdot 9 \\ &= 486\end{aligned}

$x = 10$ «מתאים» לצלע של $24$ , אבל $15 - 20 < 0$ . תמיד הצלע הקצרה קובעת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5

בחצי מעגל שרדיוסו $5$ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הגדול ביותר של המלבן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.36

הפתרון:

\begin{aligned}P(x) &= 4x + 2\sqrt{25 - x^2} \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

בסיס $2x$ פעמיים, גובה פעמיים

\begin{aligned}P'(x) &= 4 - \frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sqrt{25 - x^2} \\ &= x\end{aligned}

\begin{aligned}4(25 - x^2) &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

בדיקה: $2\sqrt{5} = 2\sqrt{25 - 20}$ ✓

\begin{aligned}P &= 8\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\ &= 10\sqrt{5} \approx 22.36\end{aligned}

כאן אין טריק של ריבוע: $P$ הוא סכום, לא מכפלה. והמלבן עם ההיקף הגדול אינו המלבן עם השטח הגדול ( $x \approx 3.54$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרחק מראשית הצירים לנקודה P על y = x² − 6

מהו המרחק הקצר ביותר מראשית הצירים לגרף $y = x^2 - 6$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 6)^2 \\ &= x^4 - 11x^2 + 36\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x(2x^2 - 11) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 5.5\end{aligned}

\begin{aligned}d^2(0) &= 36 \\ \quad d^2(\pm\sqrt{5.5}) &= 30.25 - 60.5 + 36 \\ &= 5.75\end{aligned}

d = \sqrt{5.75} \approx 2.40

הקודקוד $(0, -6)$ במרחק $6$ — מקסימום מקומי של המרחק. הנקודות הקרובות: $(\pm\sqrt{5.5}, -0.5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האם נכון ש: לכל $0 < a < \frac{1}{2}$ , הנקודה על הגרף $y = \sqrt{x}$ הקרובה ביותר לנקודה $(a, 0)$ היא ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= (x - a)^2 + x \\ &= x^2 + (1 - 2a)x + a^2 \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

(d^2)' = 2x + 1 - 2a > 0

כי $1 - 2a > 0$ ו- $x \ge 0$

\begin{aligned}d^2_{min} &= d^2(0) \\ &= a^2\end{aligned}

המינימום בקצה

נכון. $d^2$ עולה בכל התחום, ולכן המינימום בקצה $x = 0$ — שם הנגזרת אינה אפס. אין נקודה חשודה, ובכל זאת יש מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיסה ריבוע שצלעו $x$ ונפחה $V$ , כמו בשרטוט. שטח הפח הקטן ביותר האפשרי הוא $75$ סמ״ר. מצאו את $V$ (בסמ״ק).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62.5

הפתרון:

S(x) = x^2 + \frac{4V}{x}

$h = \frac{V}{x^2}$

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{4V}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 2V\end{aligned}

\begin{aligned}S_{min} &= x^2 + \frac{4V}{x} \\ &= x^2 + 2x^2 \\ &= 3x^2\end{aligned}

$4V = 2x^3$

\begin{aligned}3x^2 &= 75 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \quad V &= \frac{125}{2} \\ &= 62.5\end{aligned}

הפרמטר $V$ נשאר בפנים עד הסוף: $\frac{4V}{x} = 2x^2$ במינימום. מי שמנסה למצוא $x$ לפני שמשווה ל- $75$ נתקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש OAP, P על הגרף y = √(18 − x)

$P$ נקודה על הגרף $y = \sqrt{18 - x}$ עם $0 < x < 18$ , ו- $A$ היטלה על ציר ה- $x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ( $O$ ראשית הצירים), כמו בשרטוט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.7

הפתרון:

S(x) = \frac{x\sqrt{18 - x}}{2}

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{1}{2}\left(\sqrt{18 - x} - \frac{x}{2\sqrt{18 - x}}\right) \\ &= \frac{36 - 3x}{4\sqrt{18 - x}}\end{aligned}

\begin{aligned}36 - 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מקסימום: המונה עובר מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}S(12) &= \frac{12\sqrt{6}}{2} \\ &= 6\sqrt{6} \approx 14.70\end{aligned}

הנגזרת הפנימית של $18 - x$ היא $-1$ — ממנה בא המינוס. ובקצוות השטח $0$ , כך שהמקסימום באמת בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x) = x^3 - 3x$ בקטע $[0, a]$ , כאשר $a > 2$ . הערך הגדול ביותר של $f$ בקטע הוא $18$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

בקטע: מינימום $f(1) = -2$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(a) &= a^3 - 3a\end{aligned}

המקסימום בקצה

\begin{aligned}a^3 - 3a &= 18 \ \Rightarrow \ (a - 3)(a^2 + 3a + 6) \\ &= 0\end{aligned}

a = 3

לגורם הריבועי אין פתרונות

הנקודה החשודה היחידה היא מינימום, ולכן המקסימום בקצה $a$ . מי שמחפש את המקסימום ב- $f'(x) = 0$ לא ימצא אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

PQ = 3, QB = 2. חותרים מ-P אל נקודה על הקטע QB, והולכים משם אל B.

סירה נמצאת $3$ ק״מ מחוף ישר, מול הנקודה $Q$ . עיירה $B$ נמצאת על החוף $2$ ק״מ מ- $Q$ , כמו בשרטוט. חותרים ב- $3$ קמ״ש והולכים ב- $5$ קמ״ש. לאיזו נקודה על הקטע $QB$ כדאי לחתור כדי להגיע מהר ביותר?

לנקודה במרחק $1$ ק״מ מ- $Q$
לנקודה במרחק $2.25$ ק״מ מ- $Q$
ישירות לעיירה $B$
לנקודה $Q$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ישירות לעיירה $B$

הפתרון:

\begin{aligned}T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{2 - x}{5} \\ \quad 0 \le x \le 2\end{aligned}

\begin{aligned}T'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.25 \notin [0, 2]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לקטע

T'(x) < 0, \quad 0 \le x \le 2

$T$ יורדת בכל הקטע

\begin{aligned}T(2) &= \frac{\sqrt{13}}{3} \approx 1.20 < T(0) \\ &= 1.4\end{aligned}

הנכונה: ישירות לעיירה $B$ . $2.25$ פותר את $T'(x) = 0$ — אבל הוא מעבר לעיירה, מחוץ לקטע. כש- $T$ יורדת כל הדרך, המינימום בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הקטע האנכי AB בין y = 4x לבין y = x³

נתונות $f(x) = 4x$ ו- $g(x) = x^3$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך אותן ב- $A$ וב- $B$ , עבור $0 \le x \le 2$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.08

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= 4x - x^3 \\ \quad 0 \le x \le 2\end{aligned}

בקטע הזה $4x \ge x^3$

\begin{aligned}L'(x) &= 4 - 3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\end{aligned}

\begin{aligned}L &= \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{8}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{16}{3\sqrt{3}} \approx 3.08\end{aligned}

\begin{aligned}L(0) &= L(2) \\ &= 0\end{aligned}

הקצוות

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8}{3\sqrt{3}}$ , לא $\frac{8}{\sqrt{3}}$ . חשבו חזקה של שבר עם שורש לאט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

סדרו את שורות הפתרון: תיבה פתוחה עם בסיס ריבועי, ששטח הפח המינימלי שלה $75$ . מצאו את הנפח $V$ .

$S_{min} = 3x^2 = 75$
$S'(x) = 2x - \frac{4V}{x^2} = 0$
$S(x) = x^2 + \frac{4V}{x}$
$x = 5, \ V = 62.5$
$x^3 = 2V$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S(x) = x^2 + \frac{4V}{x}$ · $S'(x) = 2x - \frac{4V}{x^2} = 0$ · $x^3 = 2V$ · $S_{min} = 3x^2 = 75$ · $x = 5, \ V = 62.5$

הפתרון:

S \to S' \to x^3 = 2V \to S_{min} \to V

הפונקציה, הנגזרת, הקשר, ההשוואה לנתון, התשובה

אי אפשר להשוות ל- $75$ לפני שיודעים איפה המינימום: קודם $x^3 = 2V$ , ורק אז $S_{min} = 3x^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev