תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: בעיות מספרים ותנועה, קטע סגור, גדר ותיבה, נקודה שזזה על גרף, אילוץ שיוצר שבר, ושורש שנכנס דרך פיתגורס. בכל שאלה: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג — ותשובה למה שנשאל.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+2y=20x + 2y = 20. מהי המכפלה xyxy הגדולה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

x=20−2y0<y<10\begin{aligned}x &= 20 - 2y \\ \quad 0 < y < 10\end{aligned}

מבטאים משתנה אחד, ורושמים תחום

P(y)=y(20−2y)=20y−2y2\begin{aligned}P(y) &= y(20 - 2y) \\ &= 20y - 2y^2\end{aligned}
P′(y)=20−4y=0⇒y=5\begin{aligned}P'(y) &= 20 - 4y \\ &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

P′P' עובר מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10P=50\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad P &= 50\end{aligned}

המכפלה הגדולה ביותר היא 5050, עבור x=10x = 10 ו-y=5y = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ילד בגן סאקר בירושלים זורק כדור ישר למעלה. גובה הכדור (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2, עבור 0≤t≤40 \le t \le 4. מהו הגובה הגדול ביותר של הכדור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

h′(t)=20−10t=0⇒t=2\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}
h(0)=0h(2)=40−20=20h(4)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 40 - 20 \\ &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הגובה הגדול ביותר הוא 2020 מטרים, אחרי 22 שניות. שאלו על הגובה — לא על הזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [0,3][0, 3].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x = -2 מחוץ לקטע

f(0)=0f(2)=8−24=−16f(3)=27−36=−9\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16 \\ \quad f(3) &= 27 - 36 \\ &= -9\end{aligned}

המועמדים: הנקודה החשודה והקצוות

הערך הקטן ביותר בקטע הוא −16-16, ב-x=2x = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במושב בעמק יזרעאל רוצים לגדר ערוגה מלבנית שצלע אחת שלה צמודה לקיר של מחסן, ולכן מגדרים רק שלוש צלעות. יש 6060 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של הערוגה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 450

הפתרון:

x , 60−2xx \ ,\ 60 - 2x

שתי צלעות מאונכות לקיר, xx, והצלע המקבילה לקיר

S(x)=x(60−2x)0<x<30\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 2x) \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}
S′(x)=60−4x=0⇒x=15\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 15\end{aligned}

מקסימום

S(15)=15⋅30=450\begin{aligned}S(15) &= 15 \cdot 30 \\ &= 450\end{aligned}

השטח הגדול ביותר הוא 450450 מ״ר: 1515 מ׳ על 3030 מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מלבן חסום מתחת לגרף y=27−x2y = 27 - x^2: הבסיס שלו על ציר ה-xx, ושני הקודקודים העליונים P(x, 27−x2)P(x,\,27 - x^2) ו-Q(−x, 27−x2)Q(-x,\,27 - x^2) על הגרף. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

S(x)=2x(27−x2)=54x−2x30<x<27\begin{aligned}S(x) &= 2x(27 - x^2) \\ &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

רוחב 2x2x, גובה — שיעור ה-yy של הנקודה

S′(x)=54−6x2=0⇒x=3\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
S(3)=6⋅18=108\begin{aligned}S(3) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

השטח המקסימלי הוא 108108.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו xx ס״מ. נפח התיבה 500500 סמ״ק. מהו שטח הפח הקטן ביותר הדרוש (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

x2h=500⇒h=500x2\begin{aligned}x^2 h &= 500 \Rightarrow h \\ &= \frac{500}{x^2}\end{aligned}

האילוץ מסלק משתנה

S(x)=x2+4xh=x2+2000xx>0\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{2000}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

בסיס וארבע דפנות

S′(x)=2x−2000x2=0⇒x3=1000⇒x=10\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{2000}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1000 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

S′S' עובר מ-−- ל-++

S(10)=100+200=300\begin{aligned}S(10) &= 100 + 200 \\ &= 300\end{aligned}

שטח הפח הקטן ביותר 300300 סמ״ר: בסיס 1010 על 1010 וגובה 55 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ו-g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x. ישר המאונך לציר ה-xx חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של ABAB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

−x2+8x=x2−4x⇒x=0 x=6\begin{aligned}-x^2 + 8x &= x^2 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך — התחום

AB=f(x)−g(x)=−2x2+12x0<x<6\begin{aligned}AB &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

בתחום ff מעל gg

−4x+12=0⇒x=3AB=−18+36=18\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \quad AB &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

האורך המקסימלי הוא 1818, ב-x=3x = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה A(0,3)A(0, 3) לגרף y=x2y = x^2? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.66

הפתרון:

d2=x2+(x2−3)2=x4−5x2+9\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 9\end{aligned}

ממזערים את מה שמתחת לשורש

4x3−10x=2x(2x2−5)=0\begin{aligned}4x^3 - 10x &= 2x(2x^2 - 5) \\ &= 0\end{aligned}
x2=2.5⇒d2=6.25−12.5+9=2.75\begin{aligned}x^2 &= 2.5 \Rightarrow d^2 \\ &= 6.25 - 12.5 + 9 \\ &= 2.75\end{aligned}

ב-x=0x = 0 מקסימום מקומי, d2=9d^2 = 9

d=2.75≈1.66d = \sqrt{2.75} \approx 1.66

המרחק הקצר ביותר הוא בקירוב 1.661.66, בנקודות x=±2.5x = \pm\sqrt{2.5}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מציל בחוף בתל אביב עומד על קו המים. שחיין נמצא 3030 מ׳ בתוך הים, מול נקודה על החוף שמרוחקת 4040 מ׳ מהמציל. המציל רץ לאורך החוף xx מטרים במהירות 55 מ׳ לשנייה, ומשם שוחה בקו ישר אל השחיין במהירות 33 מ׳ לשנייה. מהו הזמן הקצר ביותר (בשניות) שבו הוא מגיע לשחיין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

T(x)=x5+(40−x)2+90030≤x≤40\begin{aligned}T(x) &= \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{(40 - x)^2 + 900}}{3} \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

דרך השחייה — לפי פיתגורס

T′(x)=15−40−x3(40−x)2+900=0\begin{aligned}T'(x) &= \frac{1}{5} - \frac{40 - x}{3\sqrt{(40 - x)^2 + 900}} \\ &= 0\end{aligned}
u=40−x: 3u2+900=5u⇒16u2=8100⇒u=22.5\begin{aligned}u &= 40 - x:\ 3\sqrt{u^2 + 900} \\ &= 5u \Rightarrow 16u^2 \\ &= 8100 \Rightarrow u \\ &= 22.5\end{aligned}
T(17.5)=3.5+37.53=16\begin{aligned}T(17.5) &= 3.5 + \frac{37.5}{3} \\ &= 16\end{aligned}
T(0)=503≈16.7T(40)=8+10=18\begin{aligned}T(0) &= \frac{50}{3} \approx 16.7 \\ \quad T(40) &= 8 + 10 \\ &= 18\end{aligned}

הקצוות — ארוכים יותר

הזמן הקצר ביותר הוא 1616 שניות: רצים 17.517.5 מ׳ ושוחים 37.537.5 מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעותיו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=a−x2y = a - x^2, כאשר a>0a > 0 פרמטר. השטח המקסימלי של המלבן הוא 1616. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

S(x)=x(a−x2)=ax−x30<x<a\begin{aligned}S(x) &= x(a - x^2) \\ &= ax - x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{a}\end{aligned}

פותרים כאילו aa מספר

S′(x)=a−3x2=0⇒x2=a3\begin{aligned}S'(x) &= a - 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{a}{3}\end{aligned}
Smax=x(a−x2)=x⋅2a3=x⋅2x2=2x3\begin{aligned}S_{max} &= x(a - x^2) \\ &= x \cdot \frac{2a}{3} \\ &= x \cdot 2x^2 \\ &= 2x^3\end{aligned}

כי a=3x2a = 3x^2

2x3=16⇒x=2⇒a=12\begin{aligned}2x^3 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

משווים לנתון

a=12a = 12. בדיקה: S(2)=2(12−4)=16S(2) = 2(12 - 4) = 16.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת