נגזרת של מנה · פונקציות רציונליות · כיתה י׳

עד עכשיו גזרנו פולינומים. בפרק הזה המשתנה יורד למכנה: $\frac{1}{x}$ , $\frac{x+1}{x-1}$ , $\frac{x^2}{x^2+4}$ . פונקציה שהיא מנה של שני פולינומים נקראת פונקציה רציונלית. מתחילים מהפשוטה שבהן — ומהציור שלה.

השיפוע של ההיפרבולה $y=\frac{1}{x}$

שלושה משיקים להיפרבולה y = 1/x

שלושה משיקים: ב-

x=1

, ב-

x=2

וב-

x=-1

. כולם יורדים, ובכל ענף — ככל שמתרחקים מ-

x=0

המשיק נעשה שטוח יותר.

הסתכלו על שלושת המשיקים. מה הסימן של השיפוע בכל אחד מהם? ומה קורה לשיפוע כש- $x$ מתרחק מאפס?

להציג את התשובה והפתרון

כל השיפועים שליליים — ההיפרבולה יורדת בשני הענפים. ליד $x=0$ המשיק תלול מאוד, ורחוק מאפס הוא כמעט אופקי: בנקודה $x=1$ השיפוע $-1$ , ובנקודה $x=2$ הוא רק $-\frac{1}{4}$ .

הנגזרת של $\frac{1}{x}$ — לפי ההגדרה

את השיפוע שראינו בציור אפשר לחשב בדיוק, באותה דרך שבה גזרנו $x^2$ : מנת ההפרשים, ואז $h \to 0$ . השלב שדורש זהירות הוא חיסור שברים — מכנה משותף.

פעילות אינטראקטיבית

גוזרים את $\frac{1}{x}$ שלב אחרי שלב

\begin{aligned}f(x) &= \frac{1}{x} \\ \quad f'(x) &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל שלב חשבו קודם לבד מה השורה הבאה — ורק אז לחצו.

הפרש

f(x+h)-f(x)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}

מציבים $x+h$ ו- $x$ בפונקציה ומחסרים.

מכנה משותף

=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}

המכנה המשותף הוא $x(x+h)$ . המינוס חל על כל הסוגריים, ולכן נשאר $-h$ .

מחלקים ב-h

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-1}{x(x+h)}

ה- $h$ במונה מצטמצם עם ה- $h$ של מנת ההפרשים. עכשיו אפשר להציב $h=0$ בלי לחלק באפס.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{x \cdot x} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

כש- $h \to 0$ , המכנה $x(x+h)$ מתקרב ל- $x^2$ . זו הנגזרת, לכל $x \neq 0$ .

התוצאה שלילית לכל $x \neq 0$ , כי $x^2>0$ . זה בדיוק מה שראינו בציור: ההיפרבולה יורדת בשני הענפים.

לעשות את הפעילות ב-elev

\begin{aligned}\left(\frac{1}{x}\right)' &= -\frac{1}{x^2} \\ \qquad x \neq 0\end{aligned}

חשבו את השיפוע של המשיק ל- $y=\frac{1}{x}$ בנקודה שבה $x=2$ , והשוו לציור.

להציג את התשובה והפתרון

$f'(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}$ — בדיוק השיפוע של המשיק האמצעי בציור.

אותה תוצאה יוצאת מכלל החזקה: $\frac{1}{x}=x^{-1}$ , ולכן הנגזרת היא $-1 \cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ . שתי דרכים, תשובה אחת — סימן טוב.

כלל המנה

כלל המנה דומה לכלל המכפלה — עם שני הבדלים שעולים הכי הרבה נקודות: מינוס במקום פלוס, ומכנה בריבוע.

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

f'(x)\,g(x)

קודם נגזרת המונה כפול המכנה.

- \ f(x)\,g'(x)

ואז מחסרים את המונה כפול נגזרת המכנה.

\left[g(x)\right]^2

והכול מחולק במכנה בריבוע.

בכלל המכפלה הסדר לא חשוב — חיבור הוא חילופי. כאן הוא קריטי: חיסור אינו חילופי, והחלפת הסדר הופכת את סימן התוצאה כולה.

מנה פשוטה

גזרו: $h(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$

\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \quad g(x) &= x+1\end{aligned}

מזהים מונה ומכנה

\begin{aligned}f'(x) &= 2x \\ \quad g'(x) &= 1\end{aligned}

וגוזרים כל אחד

\frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}

מציבים בכלל

\frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2}

פותחים את המונה

\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

מכנסים

את המכנה לא פותחים. $(x+1)^2$ נשאר כך: אחר כך משווים את הנגזרת לאפס, ואז רק המונה חשוב — מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס.

מתי הנגזרת $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ מתאפסת?

להציג את התשובה והפתרון

כשהמונה מתאפס: $x^2 + 2x = 0$ , כלומר $x(x+2) = 0$ ולכן $x = 0$ או $x = -2$ . המכנה לא יכול להתאפס — $x = -1$ אינו בתחום ההגדרה מלכתחילה.

תחום ההגדרה — לפני הכול

במנה יש תמיד תנאי: המכנה שונה מאפס. הוא נקבע לפני הגזירה ונשאר בתוקף אחריה — גם הנגזרת אינה מוגדרת שם.

מנה עם מינוס במכנה

גזרו: $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$

x \neq 1

תחום ההגדרה

\frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}

הכלל

\frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2}

פותחים — שימו לב למינוס לפני הסוגריים

\frac{-2}{(x-1)^2}

ומקבלים

התוצאה שלילית תמיד (המכנה ריבוע, ולכן חיובי). כלומר הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה — מסקנה שלמה, מנגזרת אחת.

בשלב הפתיחה קיבלנו $x - 1 - x - 1$ . מאיפה בא המינוס השני?

להציג את התשובה והפתרון

מהמינוס שלפני הסוגריים: $-(x+1) = -x - 1$ . זו הטעות הנפוצה ביותר בכלל המנה — לחסר רק את האיבר הראשון בסוגריים.

שלוש הטעויות של כלל המנה.

\frac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}

\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

סדר הפוך — והתוצאה כולה מקבלת סימן הפוך. נגזרת חיובית הופכת לשלילית, וכל מסקנה על עלייה וירידה מתהפכת איתה.

\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}

\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

המכנה בריבוע. בלי הריבוע אפילו המעלה של התוצאה שגויה.

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)}{g'(x)}

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הנגזרת אינה מתחלקת בין המונה למכנה. בדיקה: $\frac{x^2}{x}=x$ ונגזרתו $1$ , אבל $\frac{2x}{1}=2x$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו הכלל לגזירת $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ?

$\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}$
$\dfrac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}$
$\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
$\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$

הפתרון:

\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הכלל

שתי המלכודות בתשובות האחרות: סדר הפוך בחיסור, ומכנה בלי ריבוע. והנוסחה $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ — גזירה נפרדת של מונה ומכנה — שגויה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גזרו: $f(x) = \dfrac{1}{x}$

$\dfrac{1}{x^2}$
$-\dfrac{1}{x^2}$
$-\dfrac{1}{2x}$
$0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-\dfrac{1}{x^2}$

הפתרון:

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

-\frac{1}{x^2}

התוצאה

אפשר גם בלי הכלל: $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , ולפי כלל החזקה $-1 \cdot x^{-2}$ . אותה תשובה. המלכודת היא לשכוח את המינוס — אבל הציור מזכיר: ההיפרבולה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון $f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f'(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

הנגזרת

\frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}

מציבים

$0.75$ . עם פלוס במקום מינוס היה יוצא $\frac{5}{4}$ — תשובה שונה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גזרו: $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$

$\dfrac{2}{(x-1)^2}$
$\dfrac{2x}{(x-1)^2}$
$\dfrac{-2}{(x-1)^2}$
$1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\dfrac{-2}{(x-1)^2}$

הפתרון:

\frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2}

הכלל

\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

המינוס חל על שני האיברים

התשובה $\frac{2}{(x-1)^2}$ מתקבלת בדיוק כשמחסרים רק את האיבר הראשון בסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$ . חשבו את $f'(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

\frac{-2}{1} = -2

מציבים

שלילי — ואכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{x^2}{x-3}$ ושל נגזרתה?

$x \neq 3$ בפונקציה בלבד
כל $x$
$x \neq 3$ בשתיהן
$x > 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x \neq 3$ בשתיהן

הפתרון:

x - 3 \neq 0

המכנה

(x-3)^2 \neq 0

וגם במכנה של הנגזרת

הגזירה אינה מרחיבה את תחום ההגדרה. הערך הפסול נשאר פסול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון $f(x) = \dfrac{3x}{x^2+1}$ . חשבו את $f'(0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{3(x^2+1) - 3x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

הכלל

\frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}

מכנסים

\frac{3}{1} = 3

מציבים $x=0$

כאן המכנה $x^2+1$ לעולם אינו אפס — תחום ההגדרה הוא כל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f'(x) = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

-2 \neq 0

המונה קבוע ואינו מתאפס

אין נקודות קיצון בכלל. נגזרת שהמונה שלה קבוע לא מתאפסת לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$f(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ , ונתון $g(1) = 4$ ו- $g'(1) = 2$ . מהו $f'(1)$ ?

$2$
$-2$
$6$
$-6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-2$

הפתרון:

f'(x) = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

\frac{2 \cdot 1 - 4}{1} = -2

מציבים

המלכודת: להפוך את הסדר ולקבל $+2$ . בלי לדעת מהי $g$ — מספיקים הערכים בנקודה, וכך זה מופיע בבגרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון $f(x) = \dfrac{1}{g(x)}$ , כאשר $g$ גזירה ו- $g(x) \neq 0$ . הוכיחו: $f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$ .

כלל המנה: $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}$
$u(x) = 1$ ו- $v(x) = g(x)$

$f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x) = \dfrac{(1)' \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$ — הצבה בכלל המנה עם מונה $1$
$(1)' = 0$ — נגזרת של מספר קבוע היא אפס
$f'(x) = \dfrac{0 - g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$ — הצבת נגזרת המונה
$f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$ — פישוט המונה

הפתרון:

f'(x)=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

כלל המנה עם מונה $1$

f'(x)=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}

נגזרת של קבוע היא אפס

המלכודת: לכתוב $\frac{1}{g'(x)}$ . נגזרת של $\frac{1}{g}$ איננה אחד חלקי הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיפוע של ההיפרבולה y=1xy=\frac{1}{x}y=x1​

הנגזרת של 1x\frac{1}{x}x1​ — לפי ההגדרה

כלל המנה

תחום ההגדרה — לפני הכול

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

השיפוע של ההיפרבולה $y=\frac{1}{x}$

הנגזרת של $\frac{1}{x}$ — לפי ההגדרה