אסימפטוטה אנכית ונקודה סליקה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בפונקציה רציונלית יש ערכים של xx שאסור להציב: אלה שבהם המכנה מתאפס. הם נופלים מתחום ההגדרה. אבל מה עושה הגרף ליד ערך כזה? מתברר שיש שתי תמונות שונות לגמרי. הסתכלו על שתיהן לפני שנקרא להן בשם.

בשני הגרפים x=2x=2 אינו בתחום ההגדרה. מה ההבדל בין מה שקורה ליד x=2x=2 בגרף הראשון לבין מה שקורה בשני?

להציג את התשובה והפתרון

בגרף הראשון הערכים גדלים ללא גבול — הגרף עולה לשמיים מצד אחד ויורד לתהום מהצד השני. בגרף השני הערכים מתקרבים בשקט ל-44, ורק הנקודה עצמה חסרה: חור בגרף.

אסימפטוטה אנכית: המונה לא מתאפס

נציב ב-f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2} ערכים קרובים ל-22:

x=2.1⇒f(x)=10\begin{aligned}x &= 2.1 \Rightarrow f(x) \\ &= 10\end{aligned}

קצת מימין

x=2.01⇒f(x)=100\begin{aligned}x &= 2.01 \Rightarrow f(x) \\ &= 100\end{aligned}

עוד יותר קרוב — ערך גדול פי עשרה

x=1.99⇒f(x)=−100\begin{aligned}x &= 1.99 \Rightarrow f(x) \\ &= -100\end{aligned}

קצת משמאל — שלילי וגדול בערכו המוחלט

המונה נשאר 11, והמכנה נעשה זעיר — ומספר קבוע חלקי מספר זעיר הוא ענק. כשהערכים של ff גדלים ללא גבול כאשר xx מתקרב ל-aa, הישר x=ax=a נקרא אסימפטוטה אנכית. בכתיב חצים: כש-x→2x \to 2 מימין, f(x)→∞f(x) \to \infty.

נקודה סליקה: גם המונה מתאפס

ב-g(x)=x2−4x−2g(x)=\frac{x^2-4}{x-2} גם המונה מתאפס ב-x=2x=2. מפרקים: (x−2)(x+2)x−2\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. הגורם x−2x-2 מצטמצם — אבל רק כש-x≠2x \neq 2. לכן g(x)=x+2g(x)=x+2 לכל x≠2x \neq 2: הגרף הוא ישר עם חור אחד, והחור נמצא בגובה 2+2=42+2=4.

מכנה=0 מונה≠0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה}\neq 0\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית — אין מה לבדוק עוד.

מכנה=0 מונה=0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה} &= 0\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים, ובודקים שוב את המכנה המצומצם: אם הוא עדיין מתאפס — אסימפטוטה; אם לא — נקודה סליקה.

שני ערכים אסורים, שתי תמונות

מצאו אסימפטוטות אנכיות ונקודות סליקות של f(x)=x−1x2−1f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-1}.

x2−1≠0 ⇒ x≠1, x≠−1x^2-1 \neq 0 \ \Rightarrow\ x \neq 1,\ x \neq -1

תחום ההגדרה — מהפונקציה המקורית

f(x)=x−1(x−1)(x+1)=1x+1x≠1\begin{aligned}f(x) &= \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{1}{x+1} \\ \quad x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 11+1=12\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{1}{1+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — נקודה סליקה (1,12)\left(1, \frac{1}{2}\right)

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה אנכית x=−1x=-1

האם לפונקציה f(x)=x+5x2+4f(x)=\dfrac{x+5}{x^2+4} יש אסימפטוטה אנכית?

להציג את התשובה והפתרון

לא. x2≥0x^2 \geq 0 ולכן x2+4≥4x^2+4 \geq 4: המכנה לעולם אינו מתאפס. תחום ההגדרה הוא כל xx, ואין שום ערך חשוד.

את שיעור ה-yy של נקודה סליקה מחשבים בביטוי המצומצם. בביטוי המקורי הצבה נותנת 00\frac{0}{0} — שאינו מספר.

שתי טעויות שעולות נקודות.

x2−4x−2=x+2\frac{x^2-4}{x-2}=x+2
x2−4x−2=x+2x≠2\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

הצמצום מותר רק כש-x−2≠0x-2 \neq 0. מי ששוכח את התנאי מצייר ישר שלם — בלי החור.

x−2(x−2)2: x=2 סליקה\frac{x-2}{(x-2)^2}:\ x=2\ \text{סליקה}
x−2(x−2)2=1x−2: x=2 אסימפטוטה\begin{aligned}\frac{x-2}{(x-2)^2} &= \frac{1}{x-2}:\ x \\ &= 2\ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}

מונה ומכנה מתאפסים יחד — אבל אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס. «שניהם אפס» אינו מספיק; תמיד בודקים את המצומצם.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=3xx2−5x+6f(x)=\dfrac{3x}{x^2-5x+6}?

  1. x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3
  2. כל xx
  3. x≠−2, x≠−3x \neq -2,\ x \neq -3
  4. x≠0x \neq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3

הפתרון:

x2−5x+6=0x^2-5x+6=0

המכנה אסור להתאפס

(x−2)(x−3)=0⇒x=2 x=3\begin{aligned}(x-2)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מפרקים

המלכודת היא x≠0x \neq 0: המונה מתאפס שם, וזה מותר — 06=0\frac{0}{6}=0. והתשובה עם −2-2 ו-−3-3 מתקבלת מבלבול סימנים בפירוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לפונקציה f(x)=2x+1x+4f(x)=\dfrac{2x+1}{x+4} יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x+4=0⇒x=−4\begin{aligned}x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

המכנה מתאפס

2(−4)+1=−7≠02(-4)+1=-7 \neq 0

המונה לא מתאפס שם — לכן זו אסימפטוטה

המלכודת: לענות −12-\frac{1}{2}, שורש המונה. שורש המונה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה-xx, לא אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2−9x−3f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}. מה קורה בגרף ב-x=3x=3?

  1. אסימפטוטה אנכית x=3x=3
  2. נקודה סליקה (3,0)(3, 0)
  3. נקודה סליקה (3,6)(3, 6)
  4. f(3)=6f(3)=6, הגרף רציף שם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נקודה סליקה (3,6)(3, 6)

הפתרון:

(x−3)(x+3)x−3=x+3 x≠3\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} &= x+3 \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

3+3=63+3=6

הגובה של החור — בביטוי המצומצם

שתי מלכודות: (3,0)(3,0) לוקח את 00 מהמונה המקורי, ו-«f(3)=6f(3)=6» שוכח ש-33 אינו בתחום ההגדרה. יש חור, לא נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2+x−2x2−1f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}. השלימו.

לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= ____ ו-y=y= ____, ואסימפטוטה אנכית x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= 1 ו-y=y= 1.5, ואסימפטוטה אנכית x=x= -1

הפתרון:

(x+2)(x−1)(x−1)(x+1)=x+2x+1 x≠1\begin{aligned}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)} &= \frac{x+2}{x+1} \\ \ x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 32=1.5\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — חור

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה

המלכודת: לחשב את yy של החור בהצבה במקור ולקבל 00\frac{0}{0}. הגובה נקבע אחרי הצמצום: 1.51.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו: בכל פונקציה ובערך המסומן — אסימפטוטה אנכית או נקודה סליקה?

  • אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה
  • (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4
  • x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2
  • xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5 — אסימפטוטה אנכית · x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1 — אסימפטוטה אנכית · x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4 — נקודה סליקה

הפתרון:

x2−5xx−5=x\frac{x^2-5x}{x-5}=x

חור ב-x=5x=5

x+1x2−1=1x−1\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}

חור ב-−1-1, קיר ב-11

x−2(x−2)2=1x−2\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}

המכנה המצומצם עדיין מתאפס

(x−4)2x−4=x−4\frac{(x-4)^2}{x-4}=x-4

חור ב-44

הפריט המכשיל הוא x−2(x−2)2\frac{x-2}{(x-2)^2}: מונה ומכנה מתאפסים יחד, ובכל זאת זו אסימפטוטה — הגורם במכנה מופיע פעמיים, והצמצום מוריד רק אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם המונה והמכנה של פונקציה רציונלית מתאפסים שניהם ב-x=ax=a, אז ב-x=ax=a יש לגרף נקודה סליקה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x−2(x−2)2f(x)=\frac{x-2}{(x-2)^2}

דוגמה נגדית: שניהם מתאפסים ב-x=2x=2

=1x−2=\frac{1}{x-2}

אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס

x=2x=2

אסימפטוטה אנכית, ולכן אין שם חור

הטענה אינה נכונה, ודוגמה נגדית אחת מספיקה. «שניהם אפס» רק אומר שצריך לצמצם; ההכרעה באה מהמכנה המצומצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

x = 1-3-2-10123456-4-22468xy

בציור הגרף של f(x)=2x2−6xx2−4x+3f(x)=\dfrac{2x^2-6x}{x^2-4x+3}. לגרף «חור» אחד. מהו שיעור ה-yy של הנקודה הסליקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

המכנה מתאפס ב-11 וב-33

2x(x−3)(x−1)(x−3)=2xx−1 x≠3\begin{aligned}\frac{2x(x-3)}{(x-1)(x-3)} &= \frac{2x}{x-1} \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מצמצמים

x=3: 62=3\begin{aligned}x &= 3:\ \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה של החור

המלכודת: לחפש את החור ב-x=1x=1. שם המכנה המצומצם מתאפס — זו האסימפטוטה המקווקוות שבציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תלמיד חקר את f(x)=x2−16x−4f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x2−16x−4f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}
=(x−4)(x+4)x−4=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}
=x+4=x+4
תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x → תחום ההגדרה: x≠4\text{תחום ההגדרה: } x \neq 4

הפתרון:

x−4≠0x-4 \neq 0

התנאי נקבע בפונקציה המקורית

x≠4x \neq 4

והצמצום אינו מבטל אותו

הצמצום נכון — אבל הוא מותר רק כש-x≠4x \neq 4. הגרף הוא הישר y=x+4y=x+4 עם חור ב-(4,8)(4, 8).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לאיזו מהפונקציות הבאות אין אסימפטוטה אנכית?

  1. x+3x2+3x\dfrac{x+3}{x^2+3x}
  2. xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
  3. 1x2\dfrac{1}{x^2}
  4. xx2−1\dfrac{x}{x^2-1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}

הפתרון:

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

המכנה של הראשונה לעולם אינו מתאפס

x+3x(x+3)=1x\frac{x+3}{x(x+3)}=\frac{1}{x}

ברביעית הצמצום משאיר xx במכנה — אסימפטוטה x=0x=0

המלכודת היא x+3x2+3x\frac{x+3}{x^2+3x}: מי שרואה צמצום חושב שהכול «נעלם». הצמצום מבטל את x=−3x=-3 בלבד (חור), ו-x=0x=0 נשאר קיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הביאו דוגמה: איזו פונקציה מקיימת את שני התנאים — אסימפטוטה אנכית x=2x=2, ונקודה סליקה ב-x=−3x=-3?

  1. 1(x−2)(x+3)\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}
  2. x−2(x−2)(x+3)\dfrac{x-2}{(x-2)(x+3)}
  3. x+3x−2\dfrac{x+3}{x-2}
  4. x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}

הפתרון:

x+3(x−2)(x+3)=1x−2 x≠−3\begin{aligned}\frac{x+3}{(x-2)(x+3)} &= \frac{1}{x-2} \\ \ x\neq -3\end{aligned}

הגורם x+3x+3 מצטמצם — חור ב-−3-3

x−2=0x-2=0

והגורם x−2x-2 נשאר — קיר ב-22

הגורם שמצטמצם יוצר את החור, והגורם שנשאר יוצר את הקיר. בפונקציה עם x−2x-2 במונה התפקידים הפוכים; בזו שבלי מונה משותף יש שני קירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת