אסימפטוטה אופקית · פונקציות רציונליות · כיתה י׳

אסימפטוטה אנכית עונה על השאלה «מה קורה ליד ערך אסור». השאלה השנייה של הפרק היא «מה קורה רחוק»: כש- $x$ גדל מאוד, או קטן מאוד — לאן הולכים ערכי הפונקציה?

f(x) = (2x + 3)/(x − 1), מקרוב

שני קווים מקווקווים:

x=1

, שם המכנה מתאפס, ו-

y=2

— הקו שהגרף נצמד אליו בשני הקצוות.

ליד $x=1$ הגרף בורח — שם יש אסימפטוטה אנכית, כמו ביחידה הקודמת. אבל בקצוות משהו אחר קורה: הגרף נרגע ומתקרב לקו $y=2$ . כדי לראות את זה באמת צריך להתרחק.

חשבו את $f(100)$ עבור $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . האם התוצאה גדולה מ- $2$ או קטנה ממנו?

להציג את התשובה והפתרון

$f(100)=\frac{203}{99} \approx 2.051$ — קצת יותר מ- $2$ . המרחק מ- $2$ קטן, אבל אינו אפס.

טבלת ערכים

\begin{aligned}x &= 10 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{23}{9}\approx 2.556\end{aligned}

עדיין רחוק מ- $2$

\begin{aligned}x &= 100 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{203}{99}\approx 2.051\end{aligned}

מתקרב

\begin{aligned}x &= 1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{2003}{999}\approx 2.005\end{aligned}

כמעט $2$ — מלמעלה

\begin{aligned}x &= -1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{-1997}{-1001}\approx 1.995\end{aligned}

בצד השלילי — כמעט $2$ מלמטה

כש- $x \to \infty$ , $f(x) \to 2$ , וגם כש- $x \to -\infty$ , $f(x) \to 2$ . ישר אופקי $y=k$ שאליו ערכי הפונקציה מתקרבים כש- $x$ מתרחק נקרא אסימפטוטה אופקית. כאן: $y=2$ .

למה דווקא $2$ ?

כש- $x$ הוא מיליון, ה- $+3$ שבמונה וה- $-1$ שבמכנה הם פירורים לעומת $2x$ ו- $x$ . המונה הוא «בערך $2x$ », המכנה «בערך $x$ », והמנה — בערך $2$ . את הביטוי מכריעים האיברים עם החזקה הגבוהה ביותר.

\frac{3x+1}{x^2+2}

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: המכנה גדל מהר יותר, והמנה מתקרבת ל- $0$ . אסימפטוטה $y=0$ .

\frac{4x-1}{2x+5}

המעלות שוות: המנה מתקרבת ליחס בין המקדמים המובילים, $\frac{4}{2}$ . אסימפטוטה $y=2$ .

\frac{x^2+1}{x-3}

מעלת המונה גדולה: הערכים גדלים ללא גבול. אין אסימפטוטה אופקית.

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{5-2x}{x+1}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$y=-2$ . האיבר המוביל במונה הוא $-2x$ — לא $5$ , אף שהוא כתוב ראשון. היחס $\frac{-2x}{x}=-2$ .

פעילות אינטראקטיבית

מוצאים אסימפטוטה אופקית

f(x)=\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5}

לחצו «להתחיל» — ארבעה שלבים, ובלי לחשב אף פעם עם אינסוף.

מעלות

x^2 \text{ במונה},\quad x^2 \text{ במכנה}

המעלות שוות — ולכן יש אסימפטוטה אופקית שאינה $y=0$ .

איברים מובילים

\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5} \approx \frac{6x^2}{3x^2}

כש- $x$ גדול מאוד, השאר זניח לעומת האיברים עם $x^2$ .

היחס

\frac{6x^2}{3x^2}=2

ה- $x^2$ מצטמצם, ונשאר יחס המקדמים.

בדיקה

f(100)=\frac{59900}{30205}\approx 1.983

מספר גדול אחד כבדיקת שפיות: אכן קרוב ל- $2$ . מסקנה: $y=2$ .

שימו לב: בשום שלב לא כתבנו $\frac{\infty}{\infty}$ . מחשבים עם מספרים גדולים ועם חצים — לא עם אינסוף.

לעשות את הפעילות ב-elev

אסימפטוטות — ואם הגרף חוצה אחת מהן

מצאו את כל האסימפטוטות של $f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x^2+x}$ , ובדקו אם הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית.

\begin{aligned}2x^2+x &= x(2x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

הערכים האסורים

\begin{aligned}x &= 0:\ -1\neq 0;\quad x \\ &= -\frac{1}{2}:\ -\frac{3}{4}\neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס בהם — שתי אסימפטוטות אנכיות

\begin{aligned}\frac{x^2}{2x^2} &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מעלות שוות — אסימפטוטה אופקית

\begin{aligned}\frac{x^2-1}{2x^2+x} &= \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2-2 \\ &= 2x^2+x \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים לגובה האסימפטוטה

\left(-2, \frac{1}{2}\right)

הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית בנקודה הזו

אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה בקצוות. באמצע הגרף מותר לו לחצות אותה — כמו בדוגמה. אסימפטוטה אנכית, לעומת זאת, הגרף לעולם אינו חוצה: שם הפונקציה אינה מוגדרת.

שתי טעויות קלאסיות.

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{3}{-1}=-3

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{2}{1}=2

המספרים החופשיים הם מה שקובע ליד $x=0$ — לא רחוק. רחוק מכריעים האיברים המובילים.

\frac{5-2x}{x+1} \to 5

\frac{5-2x}{x+1} \to -2

האיבר המוביל הוא זה עם החזקה הגבוהה, לא זה שכתוב ראשון.

תרגילים

תרגיל 1

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ ?

$y=3$
$y=-\frac{1}{2}$
$y=0$
$x=-2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y=3$

הפתרון:

\frac{3x}{x}=3

מעלות שוות — יחס המקדמים המובילים

$y=-\frac{1}{2}$ הוא יחס המספרים החופשיים — הערך $f(0)$ , לא ההתנהגות רחוק. ו- $x=-2$ היא האסימפטוטה האנכית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{4x^2+1}{2x^2-x}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\frac{4x^2}{2x^2}=2

האיברים המובילים

המלכודת: לחשוב שכי יש $-x$ במכנה «אין אסימפטוטה». קובעת רק החזקה הגבוהה, $x^2$ , שמופיעה משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{7x+2}{x^2+1}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

7x+2:\ 1,\quad x^2+1:\ 2

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{702}{10001}\approx 0.07

בדיקה: קרוב לאפס

המלכודת: לענות $7$ , יחס המקדמים. יחס מקדמים נכון רק כשהמעלות שוות; כאן המכנה גדל מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזו פונקציה אין אסימפטוטה אופקית?

$\dfrac{x^2+1}{x-1}$
$\dfrac{x}{x^2-1}$
$\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$
$\dfrac{1-x^2}{3x^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\dfrac{x^2+1}{x-1}$

הפתרון:

x^2+1:\ 2,\quad x-1:\ 1

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{10001}{99}\approx 101

הערכים גדלים ללא גבול

הפונקציה $\frac{1-x^2}{3x^2}$ מבלבלת בגלל המינוס — אבל יש לה אסימפטוטה $y=-\frac{1}{3}$ . רק כשהמונה «חזק» מהמכנה אין אסימפטוטה אופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . חשבו את $f(50)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.102

הפתרון:

f(50)=\frac{103}{49}

מציבים

\approx 2.102

מחלקים ומעגלים

התשובה $2$ היא המלכודת: הערך קרוב לאסימפטוטה, אבל אינו שווה לה. רחוק ככל שנלך, $f(x) \neq 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\dfrac{6-3x}{2x+4}$ . השלימו.

האסימפטוטה האנכית היא $x=$ ____, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטה האנכית היא $x=$ -2, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ -1.5

הפתרון:

\begin{aligned}2x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

המונה שם $12 \neq 0$

\frac{-3x}{2x}=-\frac{3}{2}

האיברים המובילים — עם הסימן

המלכודת: $y=\frac{3}{2}$ או $y=\frac{6}{4}$ . האיבר המוביל במונה הוא $-3x$ והמינוס שלו נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של פונקציה רציונלית אינו יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=\frac{2x}{x^2+1}

דוגמה נגדית: אסימפטוטה $y=0$

f(0)=0

והגרף עובר בנקודה $(0,0)$ שעל האסימפטוטה

הטענה אינה נכונה. אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה כש- $x \to \pm\infty$ בלבד; באמצע מותר לגרף לחצות אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x^2+1}$ . באיזה $x$ הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית שלו? תנו תשובה עשרונית, מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333333333333333

הפתרון:

y=1

מעלות שוות, יחס מקדמים $1$

x^2+3x=x^2+1

משווים את $f$ ל- $1$

\begin{aligned}3x &= 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{3}\approx 0.333\end{aligned}

האיבר $x^2$ מצטמצם

המלכודת: לחשוב שאין פתרון «כי לא נוגעים באסימפטוטה». ה- $x^2$ מצטמצם, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון יחיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האופקית שלה.

$\dfrac{2x+1}{x-3}$
$\dfrac{x+1}{x^2-3}$
$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$
$\dfrac{x^2}{x+1}$

$y=-2$
$y=0$
$y=2$
אין אסימפטוטה אופקית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\dfrac{2x+1}{x-3}$ — $y=2$ · $\dfrac{x+1}{x^2-3}$ — $y=0$ · $\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$ — $y=-2$ · $\dfrac{x^2}{x+1}$ — אין אסימפטוטה אופקית

הפתרון:

\frac{2x}{x}=2

מעלות שוות

1<2 \Rightarrow y=0

מעלת המונה קטנה

\frac{-4x^2}{2x^2}=-2

האיבר המוביל שלילי

2>1

מעלת המונה גדולה

ב- $\frac{1-4x^2}{2x^2+x}$ המוביל הוא $-4x^2$ , והמינוס שלו קובע את הסימן: $y=-2$ ולא $y=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

עבור איזה ערך של $a$ האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{ax-3}{2x+1}$ היא $y=4$ ?

$a=8$
$a=2$
$a=-12$
$a=4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $a=8$

הפתרון:

\frac{ax}{2x}=\frac{a}{2}

האסימפטוטה האופקית

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 4 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים ל- $4$

$a=4$ שוכח לחלק במקדם של המכנה, ו- $a=2$ מחלק במקום לכפול. ו- $a=-12$ מערב את המספר החופשי $-3$ בחישוב — אבל רחוק הוא אינו משפיע: קובעים רק $ax$ ו- $2x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

טבלת ערכים

למה דווקא 222?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

למה דווקא $2$ ?