סקיצה לפני שגוזרים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לפני שגוזרים פונקציה רציונלית — מציירים סקיצה. ארבעה נתונים שמחושבים בלי נגזרת בונים שלד כמעט שלם של הגרף. הנגזרת תבוא אחר כך, כדי לאשר ולדייק, לא כדי לגלות מאפס.

11

תחום הגדרה — אילו ערכים אסורים.

22

נקודות חיתוך עם הצירים — המונה מתאפס; ו-f(0)f(0) אם 00 בתחום.

33

אסימפטוטות — אנכיות מהערכים האסורים, אופקית מההתנהגות רחוק.

44

סימן ff בכל תחום — איפה הגרף מעל ציר ה-xx ואיפה מתחתיו.

דוגמה אחת, מההתחלה עד הציור

לפי הסקיצה בלבד: האם בענף האמצעי, −1<x<1-1<x<1, יש נקודת קיצון? מאיזה סוג?

להציג את התשובה והפתרון

כן — מינימום. הגרף יורד מלמעלה ליד x=−1x=-1 ועולה חזרה ליד x=1x=1, ולכן באמצע יש נקודה נמוכה ביותר. הנגזרת f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2} מאשרת: היא מתאפסת ב-x=0x=0.

מאיזה צד הגרף מתקרב לקיר?

ליד אסימפטוטה אנכית הגרף הולך ל-∞\infty או ל-−∞-\infty — והסימן של ff ליד הקיר מכריע. כשהגורם במכנה בריבוע, הסימן אינו מתחלף בשני צדי הקיר.

מה יודעים בלי לגזור?

מה אפשר לומר על הגרף של f(x)=xx2+4f(x)=\dfrac{x}{x^2+4} לפני כל נגזרת?

x2+4≥4x^2+4 \geq 4

המכנה חיובי תמיד: תחום ההגדרה כל xx, ואין אסימפטוטה אנכית

f(x)=0  ⟺  x=0\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת חיתוך יחידה — הראשית

y=0y=0

מעלת המונה קטנה — אסימפטוטה אופקית

x>0⇒f(x)>0,x<0⇒f(x)<0x>0 \Rightarrow f(x)>0,\quad x<0 \Rightarrow f(x)<0

הסימן — כמו הסימן של המונה

ל-x>0: 0↗ ↘0\text{ל-}x>0:\ 0 \nearrow \ \searrow 0

הגרף יוצא מאפס, חיובי, וחוזר לאפס — ולכן יש מקסימום

למה בדוגמה חייבת להיות נקודת מקסימום כש-x>0x>0?

להציג את התשובה והפתרון

כי f(0)=0f(0)=0, כל הערכים ל-x>0x>0 חיוביים, ורחוק הם שוב מתקרבים ל-00. גרף שעולה מאפס וחוזר לאפס חייב להגיע לגובה מקסימלי באמצע.

השורה הראשונה בכל פתרון היא תחום ההגדרה. כל מסקנה אחרת — שורש, סימן, קיצון — נבדקת מולו.

שתי טעויות סקיצה.

1(x+1)2:− ∣−1 +\frac{1}{(x+1)^2}:\quad -\ \big|_{-1}\ +
1(x+1)2:+ ∣−1 +\frac{1}{(x+1)^2}:\quad +\ \big|_{-1}\ +

גורם בריבוע לא מחליף סימן. ליד קיר כזה שני הענפים הולכים לאותו כיוון.

f(0)<0 f(2)>0⇒f(x0)=0  0<x0<2\begin{aligned}f(0)<0 \\ \ f(2)>0 \Rightarrow f(x_0) &= 0 \\ \ \ 0<x_0<2\end{aligned}
x=1∉Dx=1 \notin D

אין בהכרח שורש בין 00 ל-22: x=1x=1 מחוץ לתחום, והסימן התחלף בקיר. ב-f(x)=x+2x−1f(x)=\frac{x+2}{x-1} הסימן מתחלף באסימפטוטה, לא בשורש. מעבר מסימן לסימן מבטיח שורש רק כשהפונקציה מוגדרת בכל הקטע.

תרגילים

תרגיל 1

באיזו נקודה חותך הגרף של f(x)=2x−6x+3f(x)=\dfrac{2x-6}{x+3} את ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(0)=−63f(0)=\frac{-6}{3}

מציבים x=0x=0

=−2=-2

מחשבים

המלכודת: להציב y=0y=0 ולקבל x=3x=3 — זו נקודת החיתוך עם ציר ה-xx. עם ציר ה-yy מציבים x=0x=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x−5x+2f(x)=\dfrac{x-5}{x+2}. השלימו את נתוני הסקיצה.

חיתוך עם ציר ה-xx: x=x= ____. חיתוך עם ציר ה-yy: y=y= ____. אסימפטוטה אנכית: x=x= ____. אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חיתוך עם ציר ה-xx: x=x= 5. חיתוך עם ציר ה-yy: y=y= -2.5. אסימפטוטה אנכית: x=x= -2. אסימפטוטה אופקית: y=y= 1

הפתרון:

x−5=0⇒x=5\begin{aligned}x-5 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

המונה מתאפס

f(0)=−52f(0)=-\frac{5}{2}

הצבת אפס

x+2=0⇒x=−2\begin{aligned}x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

המכנה מתאפס

xx=1\frac{x}{x}=1

מעלות שוות

ארבעה נתונים, ושתי מלכודות סימן: x=−5x=-5 במקום 55, ו-x=2x=2 במקום −2-2. שורש של x+2x+2 הוא −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x−2x+1f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}. מה סימן ff בתחום −1<x<2-1<x<2?

  1. חיובי
  2. משתנה בתוך התחום
  3. אפס
  4. שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שלילי

הפתרון:

f(0)=−21=−2<0\begin{aligned}f(0) &= \frac{-2}{1} \\ &= -2<0\end{aligned}

נקודת בדיקה אחת מתוך התחום

−1, 2-1,\ 2

הסימן יכול להתחלף רק בקצוות התחום

בתוך תחום שאין בו שורש ואין בו ערך אסור, הסימן אינו משתנה — לכן נקודת בדיקה אחת מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=(x+3)(x−2)(x−1)2f(x)=\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-1)^2}. מיינו את התחומים.

  • הגרף מעל ציר ה-xx
  • הגרף מתחת לציר ה-xx
  • −3<x<1-3<x<1
  • 1<x<21<x<2
  • x<−3x<-3
  • x>2x>2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<−3x<-3 — הגרף מעל ציר ה-xx · −3<x<1-3<x<1 — הגרף מתחת לציר ה-xx · 1<x<21<x<2 — הגרף מתחת לציר ה-xx · x>2x>2 — הגרף מעל ציר ה-xx

הפתרון:

f(−4)=625>0f(-4)=\frac{6}{25}>0

בודקים

f(0)=−6<0f(0)=-6<0

בודקים

f(1.5)=−9<0f(1.5)=-9<0

בודקים

f(3)=1.5>0f(3)=1.5>0

בודקים

המלכודת היא לחשוב שהסימן מתחלף ב-x=1x=1. הגורם (x−1)2(x-1)^2 בריבוע — משני צדי הקיר הסימן זהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

-5-4-3-2-10123456-5-4-3-2-1123xy

איזו פונקציה מתאימה לגרף שבציור?

  1. x−1x−2\dfrac{x-1}{x-2}
  2. x−1x+2\dfrac{x-1}{x+2}
  3. x+1x−2\dfrac{x+1}{x-2}
  4. 2x−2x+2\dfrac{2x-2}{x+2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x−1x+2\dfrac{x-1}{x+2}

הפתרון:

x=−2x=-2

האסימפטוטה האנכית בציור — מכנה x+2x+2

y=1y=1

האסימפטוטה האופקית — מקדמים מובילים שווים

(1,0)(1,0)

החיתוך עם ציר ה-xx — מונה x−1x-1

2x−2x+2\frac{2x-2}{x+2} מתאימה לשני נתונים מתוך שלושה — אבל האסימפטוטה האופקית שלה y=2y=2. בודקים את כל הנתונים, לא רק את הקירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אפשר לדעת בלי לגזור שלפונקציה f(x)=x2x2+1f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1} יש נקודת מינימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2≥0, x2+1>0⇒f(x)≥0x^2 \geq 0,\ x^2+1>0 \Rightarrow f(x) \geq 0

הפונקציה אינה שלילית

f(0)=0f(0)=0

והיא מקבלת את הערך 00

(0,0)(0,0)

לכן זו נקודה נמוכה ביותר

הטענה נכונה. כשידוע ש-f≥0f \geq 0 וש-ff מגיעה ל-00, הנקודה הזו היא מינימום — בלי נגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איך נראה הגרף של f(x)=1(x−3)2f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2} ליד x=3x=3?

  1. יורד משמאל ועולה מימין
  2. עולה ל-∞\infty משני הצדדים
  3. יורד ל-−∞-\infty משני הצדדים
  4. עולה משמאל ויורד מימין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב עולה ל-∞\infty משני הצדדים

הפתרון:

(x−3)2>0(x-3)^2>0

המכנה חיובי משני הצדדים

x→3:(x−3)2→0+⇒f(x)→∞x \to 3:\quad (x-3)^2 \to 0^{+} \Rightarrow f(x) \to \infty

מספר חיובי קבוע חלקי מספר חיובי שמתקרב לאפס — ערך חיובי ענק

התמונה של 1x−3\frac{1}{x-3} — עלייה מצד אחד וירידה מהשני — אינה נכונה כאן: הריבוע מבטל את החלפת הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה נקודות חיתוך עם הצירים (עם שני הצירים יחד) יש לגרף של f(x)=x2−x−6x2+1f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x^2+1}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−x−6=(x−3)(x+2)=0\begin{aligned}x^2-x-6 &= (x-3)(x+2) \\ &= 0\end{aligned}

שני שורשים: 33 ו-−2-2

f(0)=−6f(0)=-6

חיתוך אחד עם ציר ה-yy

2+1=32+1=3

סך הכול

המלכודת: לשכוח את ציר ה-yy, או לחשוב שהמכנה מתאפס. x2+1x^2+1 חיובי תמיד, ו-00 בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד בדק את f(x)=x+2x−1f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(0)=−2<0f(0)=-2<0
f(2)=4>0f(2)=4>0
יש ל-f שורש בין 0 ל-2\text{יש } \text{ל-}f\text{ שורש בין } 0 \text{ ל-} 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש ל-f שורש בין 0 ל-2\text{יש } \text{ל-}f\text{ שורש בין } 0 \text{ ל-} 2 → x=1: אסימפטוטה, לא שורשx=1:\ \text{אסימפטוטה, לא שורש}

הפתרון:

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x-1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בין 00 ל-22 יש ערך אסור

x+2=0⇒x=−2\begin{aligned}x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

השורש היחיד — מחוץ לקטע

שני החישובים נכונים, המסקנה לא. הסימן התחלף בקיר x=1x=1. שינוי סימן מבטיח שורש רק כשהפונקציה מוגדרת בכל הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם ייתכן שלגרף של פונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית y=2y=2, והגרף חותך אותה?

  1. לא, כי הערך 22 מתקבל רק באינסוף
  2. כן, למשל 2x2+xx2+1\dfrac{2x^2+x}{x^2+1} חותכת אותה ב-x=2x=2
  3. לא, גרף לעולם אינו נוגע באסימפטוטה
  4. כן, אבל רק אם יש גם אסימפטוטה אנכית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן, למשל 2x2+xx2+1\dfrac{2x^2+x}{x^2+1} חותכת אותה ב-x=2x=2

הפתרון:

2x2x2=2\frac{2x^2}{x^2}=2

האסימפטוטה האופקית y=2y=2

2x2+x=2x2+2⇒x=2\begin{aligned}2x^2+x &= 2x^2+2 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משווים ל-22

f(2)=105=2\begin{aligned}f(2) &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה

הגבלת «לא נוגע» נכונה לאסימפטוטה אנכית בלבד. אסימפטוטה אופקית מתארת את הקצוות — ובאמצע מותר לחצות אותה, גם בלי שום קיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת