חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הסקיצה נתנה שלד: תחום, צירים, אסימפטוטות וסימן. עכשיו הנגזרת מוסיפה את מה שהשלד לא יודע: איפה בדיוק הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת, ובאיזה גובה.

טבלת הסימנים של f′f'

נתחיל בפונקציה בלי ערכים אסורים: f(x)=4xx2+4f(x)=\frac{4x}{x^2+4}. לפי כלל המנה f′(x)=4(x2+4)−4x⋅2x(x2+4)2=16−4x2(x2+4)2f'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x \cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}. המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן f′f' הוא סימן המונה 16−4x216-4x^2.

למה מותר להתעלם מהמכנה (x2+4)2(x^2+4)^2 כשקובעים את סימן הנגזרת?

להציג את התשובה והפתרון

כי הוא ריבוע של מספר חיובי — תמיד חיובי. חלוקה במספר חיובי אינה משנה סימן. אותו נימוק עובד בכל נגזרת של מנה: המכנה g2g^2 לעולם אינו שלילי.

כשיש אסימפטוטה אנכית בפנים

כשיש ערך אסור, הוא נכנס לטבלה כעמודה משלו — גם אם f′f' אינה מתאפסת בו. הוא מחלק את הציר, והסימן יכול להתחלף בו. אבל ערך אסור לעולם אינו קיצון: אין שם נקודה.

f(x) = x²/(x − 1): מקסימום ומינימום בשני ענפים
x = 1maxmin-4-3-2-10123456-8-6-4-224681012xy
המקסימום (0,0)(0,0) נמצא בענף השמאלי, והמינימום (2,4)(2,4) בענף הימני. המינימום גבוה מהמקסימום — וזה לא סותר כלום.

המינימום (2,4)(2,4) גבוה מהמקסימום (0,0)(0,0). איך זה ייתכן?

להציג את התשובה והפתרון

קיצון הוא מקומי: הוא הגבוה או הנמוך ביותר רק בסביבה שלו. שתי הנקודות יושבות בענפים שונים, משני צדי הקיר x=1x=1, ואין שום סיבה שהמקסימום של ענף אחד יהיה מעל המינימום של ענף אחר.

עוד חקירה, שלב אחר שלב

מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של f(x)=x2+3x+1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}.

x≠−1x \neq -1

תחום ההגדרה

f′(x)=2x(x+1)−(x2+3)(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+1)-(x^2+3)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x+3)(x−1)=0⇒x=−3 x=1\begin{aligned}(x+3)(x-1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

המונה מתאפס

x<−3: +−3<x<−1: −−1<x<1: −x>1: +x<-3:\ +\quad -3<x<-1:\ -\quad -1<x<1:\ -\quad x>1:\ +

סימן f′f' — ארבעה תחומים, כולל הקיר −1-1

max⁡ (−3,−6),min⁡ (1,2)\max\ (-3,-6),\quad \min\ (1,2)

f(−3)=12−2=−6f(-3)=\frac{12}{-2}=-6 ו-f(1)=42=2f(1)=\frac{4}{2}=2

↗: x<−3, x>1↘: −3<x<−1, −1<x<1\nearrow:\ x<-3,\ x>1 \qquad \searrow:\ -3<x<-1,\ -1<x<1

תחומי עלייה וירידה

את שיעור ה-yy של נקודת קיצון מחשבים בפונקציה ff, לא בנגזרת. הצבה ב-f′f' תמיד תיתן 00 — זו בדיוק ההגדרה של הנקודה.

שתי טעויות של טבלה עם קיר.

f(x)=1x2: ↗ ∣0 ↘⇒max⁡f(x)=\frac{1}{x^2}:\ \nearrow\ \big|_0\ \searrow \Rightarrow \max
x=0∉Dx=0 \notin D

הנגזרת −2x3-\frac{2}{x^3} מחליפה סימן ב-00 — אבל 00 אינו בתחום. אין נקודה, ולכן אין קיצון.

↘: 0<x<2\searrow:\ 0<x<2
↘: 0<x<1, 1<x<2\searrow:\ 0<x<1,\ 1<x<2

תחום ירידה אינו יכול לכלול ערך אסור. כותבים שני תחומים.

תרגילים

תרגיל 1

מהן נקודות הקיצון של f(x)=x2x−3f(x)=\dfrac{x^2}{x-3}?

  1. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (3,0)(3,0), מקסימום (6,12)(6,12)
  2. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,12)(6,12)
  3. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,0)(6,0)
  4. מינימום (0,0)(0,0), מקסימום (6,12)(6,12)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,12)(6,12)

הפתרון:

f′(x)=x2−6x(x−3)2f'(x)=\frac{x^2-6x}{(x-3)^2}

כלל המנה

x(x−6)=0⇒x=0 x=6\begin{aligned}x(x-6) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

המונה מתאפס

x<0:+, 0<x<3:−, 3<x<6:−, x>6:+x<0:+,\ 0<x<3:-,\ 3<x<6:-,\ x>6:+

טבלת סימנים

f(0)=0 f(6)=363=12\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(6) &= \frac{36}{3} \\ &= 12\end{aligned}

ערכים ב-ff

שתי מלכודות: (6,0)(6,0) מציב את x=6x=6 בנגזרת במקום בפונקציה, ו-x=3x=3 אינו נקודה בכלל — שם יש אסימפטוטה. המינימום (6,12)(6,12) גבוה מהמקסימום, והוא עדיין מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+9xf(x)=\dfrac{x^2+9}{x}. מהו שיעור ה-yy של נקודת המינימום שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+9)x2=x2−9x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+9)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-9}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±3x=\pm 3

המונה מתאפס

−3<x<0: −,0<x<3: −,x>3: +-3<x<0:\ -,\quad 0<x<3:\ -,\quad x>3:\ +

המעבר מ-−- ל-++ הוא ב-x=3x=3

f(3)=183=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

ערך המינימום

המלכודת: לענות −6-6, כי הוא «קטן יותר». (−3,−6)(-3,-6) היא נקודת מקסימום — בענף השמאלי; המינימום (3,6)(3,6) נמצא בענף הימני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2+8x−1f(x)=\dfrac{x^2+8}{x-1}. מיינו את התחומים.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −2<x<1-2<x<1
  • 1<x<41<x<4
  • x<−2x<-2
  • x>4x>4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<−2x<-2 — ff עולה · −2<x<1-2<x<1 — ff יורדת · 1<x<41<x<4 — ff יורדת · x>4x>4 — ff עולה

הפתרון:

f′(x)=x2−2x−8(x−1)2=(x−4)(x+2)(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} \\ &= \frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}\end{aligned}

הנגזרת

x=−2 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=−8<0f′(5)=716>0\begin{aligned}f'(0) &= -8<0 \\ \quad f'(5) &= \frac{7}{16}>0\end{aligned}

נקודות בדיקה

המלכודת: להפוך את הסימן בקיר x=1x=1. המכנה של f′f' בריבוע, ולכן f′f' שלילית משני צדי x=1x=1 — הפונקציה יורדת בשני התחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה f(x)=x+2x−3f(x)=\dfrac{x+2}{x-3} אין נקודות קיצון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=(x−3)−(x+2)(x−3)2=−5(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-5}{(x-3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

−5≠0-5 \neq 0

המונה קבוע — הנגזרת לא מתאפסת לעולם

הטענה נכונה. ff יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה. השינוי «מלמטה למעלה» בקיר x=3x=3 אינו קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך הגדול ביותר שמקבלת הפונקציה f(x)=2xx2+1f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x^2+1)-2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±1x=\pm 1

המונה מתאפס

−: x<−1,+: −1<x<1,−: x>1-:\ x<-1,\quad +:\ -1<x<1,\quad -:\ x>1

מקסימום ב-x=1x=1

f(1)=22=1\begin{aligned}f(1) &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

הערך

המלכודת: לענות x=1x=1 — זה המקום של המקסימום. השאלה שואלת על הערך, f(1)=1f(1)=1. ורחוק הפונקציה מתקרבת ל-00, כך שאין ערך גבוה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

תלמיד חקר את f(x)=1x2f(x)=\dfrac{1}{x^2}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=−2x3f'(x)=-\frac{2}{x^3}
x<0: f′(x)>0x<0:\ f'(x)>0
x>0: f′(x)<0x>0:\ f'(x)<0
ולכן ב-x=0 יש מקסימום\text{ולכן } \text{ב-} x=0 \text{ יש מקסימום}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ולכן ב-x=0 יש מקסימום\text{ולכן } \text{ב-} x=0 \text{ יש מקסימום} → x=0∉D: אין קיצוןx=0 \notin D:\ \text{אין קיצון}

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום ההגדרה

x→0: f(x)→∞x \to 0:\ f(x) \to \infty

ליד 00 הגרף עולה לשמיים — אסימפטוטה

הטבלה נכונה, המסקנה לא. שינוי סימן של f′f' מעיד על קיצון רק בנקודה שבתחום ההגדרה. ב-x=0x=0 אין נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2−x+4x−1f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{x-1}. השלימו.

נקודת המקסימום: x=x= ____, y=y= ____. נקודת המינימום: x=x= ____, y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת המקסימום: x=x= -1, y=y= -3. נקודת המינימום: x=x= 3, y=y= 5

הפתרון:

f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+4)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+4)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0

המונה מתאפס

f(−1)=6−2=−3\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-2} \\ &= -3\end{aligned}

מקסימום

f(3)=102=5\begin{aligned}f(3) &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

מינימום

המלכודת בפתיחה: −(x2−x+4)-(x^2-x+4) נותן −x2+x−4-x^2+x-4. מי שמחסר רק את x2x^2 מקבל מונה אחר ונקודות אחרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפונקציה f(x)=x2+axf(x)=\dfrac{x^2+a}{x} יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מהו aa?

  1. a=4a=4
  2. a=8a=8
  3. a=−4a=-4
  4. a=2a=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א a=4a=4

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+a)x2=x2−ax2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+a)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-a}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(2)=0⇒4−a=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow 4-a \\ &= 0\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

a=4a=4

פותרים

a=−4a=-4 בא מטעות סימן במונה, ו-a=8a=8 ממי ששוכח לחסר את x2x^2 ומקבל מונה 2x2−a2x^2-a. והתנאי על קיצון הוא תנאי על הנגזרת, לא על ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את נקודות הקיצון שלה.

  • xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
  • 1x2+1\dfrac{1}{x^2+1}
  • x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1}
  • x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1}
  • אין קיצון
  • מינימום בלבד
  • מקסימום בלבד
  • מקסימום ומינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} — מקסימום ומינימום · 1x2+1\dfrac{1}{x^2+1} — מקסימום בלבד · x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1} — מינימום בלבד · x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1} — אין קיצון

הפתרון:

(xx2+1)′=1−x2(x2+1)2\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

שני שורשים

(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\left(\frac{1}{x^2+1}\right)'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}

מ-++ ל-−- ב-00

(x2x2+1)′=2x(x2+1)2\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)'=\frac{2x}{(x^2+1)^2}

מ-−- ל-++ ב-00

(x+1x−1)′=−2(x−1)2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{-2}{(x-1)^2}

לא מתאפסת

1x2+1\frac{1}{x^2+1} ו-x2x2+1\frac{x^2}{x^2+1} נראות דומות — אבל הסימן של המונה בנגזרת הפוך, ולכן אחת מגיעה לשיא ב-00 והשנייה לשפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}. הוכיחו כי ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

  • f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}
  • תחום ההגדרה: x≠−1x \neq -1

ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2} — כלל המנה
  2. f′(x)=1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2} — פישוט המונה
  3. (x+1)2>0(x+1)^2>0 — ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠−1x \neq -1
  4. f′(x)>0f'(x)>0 — מנה של שני מספרים חיוביים
  5. ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה — נגזרת חיובית בתחום — הפונקציה עולה בו

הפתרון:

f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2}

כלל המנה

f′(x)=1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}

פישוט המונה

(x+1)2>0(x+1)^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠−1x \neq -1

f′(x)>0f'(x)>0

מנה של שני מספרים חיוביים

המלכודת: לכתוב «ff עולה לכל xx». f(−2)=2f(-2)=2 גדול מ-f(0)=0f(0)=0 — הפונקציה עולה בכל ענף בנפרד, לא על פני הקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת