משיק לגרף של פונקציה רציונלית · פונקציות רציונליות · כיתה י׳

משיק לגרף של פונקציה רציונלית נמצא בדיוק כמו משיק לפולינום — שלושה צעדים. ההבדל היחיד: הנגזרת באה מכלל המנה, והנקודה חייבת להיות בתחום ההגדרה.

y_0=f(x_0)

הנקודה: מציבים את $x_0$ בפונקציה.

m=f'(x_0)

השיפוע: גוזרים, ומציבים את $x_0$ בנגזרת.

y-y_0=m(x-x_0)

המשוואה: ישר דרך נקודה בשיפוע נתון.

פעילות אינטראקטיבית

המשיק בנקודה שבה $x=3$

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x+3}{x-1} \\ \quad x_0 &= 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שלושת הצעדים — וכל אחד מציב במקום אחר.

נקודה

\begin{aligned}f(3) &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה $(3,3)$ . מציבים בפונקציה.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1 \cdot (x-1)-(x+3) \cdot 1}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-4}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה — והמינוס חל על שני האיברים.

שיפוע

\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= \frac{-4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

מציבים בנגזרת. השיפוע הוא מספר, לא ביטוי.

משוואה

\begin{aligned}y-3 &= -1 \cdot (x-3) \Rightarrow y \\ &= -x+6\end{aligned}

הצבה בנוסחת הישר ופישוט.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר למצוא משיק לגרף של $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ בנקודה שבה $x=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $x=1$ אינו בתחום ההגדרה — אין שם נקודה על הגרף, ולכן אין במה לגעת. שם עוברת האסימפטוטה האנכית.

משיק בשיפוע נתון

לפעמים נתון הכיוון של המשיק ולא הנקודה: «מקביל לישר», «מאונך לישר», «אופקי». אז התנאי הוא על הנגזרת: $f'(x)=m$ , ופותרים כדי למצוא את $x$ .

פעילות אינטראקטיבית

משיקים המקבילים לישר

מצאו את משוואות המשיקים לגרף של $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ המקבילים לישר $y=-x$ .

איזו משוואה פותרים?

$f'(x)=-1$

להציג את התשובה והפתרון

ישרים מקבילים — שיפועים שווים. השיפוע של $y=-x$ הוא $-1$ .

$f(x)=-x$

להציג את התשובה והפתרון

זו משוואה של נקודות חיתוך בין הגרף לישר, לא של משיקים מקבילים.

$f'(x)=1$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע $1$ מאונך ל- $y=-x$ , לא מקביל לו.

משווים את הנגזרת לשיפוע.

\frac{-4}{(x-1)^2}=-1

איך פותרים את המשוואה?

$(x-1)^2=4$ , ולכן $x-1=\pm 2$

להציג את התשובה והפתרון

כופלים במכנה ומוציאים שורש — שני סימנים.

$x-1=2$ , ולכן $x=3$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

שוכחים את $x-1=-2$ . לריבוע יש שני שורשים.

$-4=-1$ — אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

המכנה אינו «נעלם»: כופלים בו את שני האגפים.

שתי נקודות השקה — אחת בכל ענף.

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad x &= -1\end{aligned}

מה השלב הבא?

מציבים כל $x$ בפונקציה כדי למצוא את הנקודות

להציג את התשובה והפתרון

$f(3)=3$ ו- $f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$ .

מציבים כל $x$ בנגזרת

להציג את התשובה והפתרון

בנגזרת נקבל $-1$ בשתיהן — את זה כבר ידענו.

כותבים $y=-x+3$

להציג את התשובה והפתרון

חסר $y_0$ : עוד לא ידוע באיזה גובה המשיק נוגע.

נקודות ההשקה.

(3,3),\quad (-1,-1)

להציג את התשובה והפתרון

שני משיקים: $y=-x+6$ דרך $(3,3)$ , ו- $y=-x-2$ דרך $(-1,-1)$ . שניהם בשיפוע $-1$ , אחד בכל ענף.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם לגרף של $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ יש משיק המקביל לישר $y=x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. צריך $f'(x)=1$ , אבל $f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}$ שלילית תמיד. אין אף נקודה על הגרף שבה השיפוע חיובי.

משיק להיפרבולה והמשולש שלו

מצאו את המשיק ל- $y=\dfrac{1}{x}$ בנקודה שבה $x=2$ , ואת שטח המשולש שהוא יוצר עם הצירים.

\begin{aligned}y_0 &= \frac{1}{2} \\ \quad m &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{4}x+1\end{aligned}

המשוואה

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1;\quad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שטח המשולש

המשיק ל-y = 1/x בנקודה שבה x = 2

חזרו על החישוב בנקודה שבה $x=1$ . מה השטח עכשיו?

להציג את התשובה והפתרון

המשיק $y=-x+2$ חותך את הצירים ב- $(2,0)$ וב- $(0,2)$ , והשטח $\frac{2 \cdot 2}{2}=2$ — שוב $2$ . למשיקים ל- $\frac{1}{x}$ יש תכונה מיוחדת: השטח הזה אינו תלוי בנקודה.

בכל שאלת משיק, כתבו בצד שתי הצבות: $x_0$ בפונקציה (לגובה), $x_0$ בנגזרת (לשיפוע). ערבוב ביניהן הוא הטעות השכיחה ביותר.

שתי טעויות במשוואת המשיק.

y-3=\frac{-4}{(x-1)^2}(x-3)

y-3=-1 \cdot (x-3)

השיפוע הוא מספר — הנגזרת בנקודה. ביטוי עם $x$ במקום השיפוע אינו משוואת ישר.

\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מקביל — אותו שיפוע; מאונך — מכפלת השיפועים $-1$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו השיפוע של המשיק לגרף של $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ בנקודה שבה $x=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים בנגזרת

המלכודת: לענות $1$ — זה $f(1)$ , הגובה של הנקודה. השיפוע הוא $f'(1)=0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי משוואת המשיק לגרף של $y=\dfrac{1}{x}$ בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=-x+1$
$y=-x$
$y=x$
$y=-x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=-x+2$

הפתרון:

\begin{aligned}y_0 &= 1 \\ \quad m &= -1\end{aligned}

הנקודה $(1,1)$ והשיפוע $-\frac{1}{1^2}$

\begin{aligned}y-1 &= -(x-1) \Rightarrow y \\ &= -x+2\end{aligned}

המשוואה

$y=-x$ שוכח את הנקודה לגמרי, ו- $y=-x+1$ נובע מטעות בפתיחת הסוגריים. בדיקה: המשיק חייב לעבור ב- $(1,1)$ — ורק $y=-x+2$ עובר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ . מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x=-1$ . מהו המספר החופשי במשוואה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2} \\ &= \frac{3}{(x+2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f'(-1)=3

השיפוע

\begin{aligned}y+2 &= 3(x+1) \Rightarrow y \\ &= 3x+1\end{aligned}

המשוואה

המלכודת: לענות $-2$ — הגובה של הנקודה. המספר החופשי מתקבל רק אחרי הפישוט: $y=3x+3-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את הנקודות על הגרף של $f(x)=\dfrac{x}{x-2}$ שבהן המשיק מקביל לישר $y=-2x+5$ . השלימו (הנקודה עם ה- $x$ הקטן ראשונה).

הנקודה הראשונה: $x=$ ____, $y=$ ____. הנקודה השנייה: $x=$ ____, $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנקודה הראשונה: $x=$ 1, $y=$ -1. הנקודה השנייה: $x=$ 3, $y=$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-2)-x}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}\frac{-2}{(x-2)^2} &= -2 \Rightarrow (x-2)^2 \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע $-2$

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}f(1) &= -1 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

הצבה בפונקציה

המלכודת: לפתור $x-2=1$ בלבד. ריבוע שווה ל- $1$ פירושו $x-2=1$ או $x-2=-1$ — שתי נקודות, אחת בכל ענף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לגרף של $f(x)=\dfrac{1}{x}$ יש משיק המקביל לישר $y=2x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

הנגזרת

-\frac{1}{x^2}<0

שלילית לכל $x \neq 0$

-\frac{1}{x^2}=2

אין פתרון

הטענה אינה נכונה. כל המשיקים להיפרבולה יורדים — שיפוע חיובי אינו מתקבל לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $y=\dfrac{1}{x}$ . בנקודה $P$ שעל הגרף, שבה $x=3$ , מעבירים משיק. המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ , ו- $O$ היא ראשית הצירים (ראו שרטוט). מהו השטח של $\triangle AOB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y(3)=\frac{1}{3} \;\Rightarrow\; P\left(3,\frac{1}{3}\right)

נקודת ההשקה.

\begin{aligned}y' &= -\frac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; m \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

השיפוע: הנגזרת ב- $x=3$ .

\begin{aligned}y-\frac{1}{3} &= -\frac{1}{9}(x-3) \;\Rightarrow\; y \\ &= -\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק. שימו לב למספר החופשי: $\frac{1}{3}+\frac{3}{9}=\frac{2}{3}$ .

A(6,0) \qquad B\left(0,\frac{2}{3}\right)

מציבים $y=0$ ו- $x=0$ במשוואת המשיק.

\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{6\cdot\frac{2}{3}}{2} \\ &= 2\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים $OA$ ו- $OB$ .

השטח הוא $2$ . המלכודת היא המספר החופשי: מי שכותב $y=-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}$ מקבל נקודות חיתוך שגויות. בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור דרך $P$ — מציבים $x=3$ ומקבלים $\frac{1}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהן משוואות המשיקים האופקיים לגרף של $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}$ ?

$y=0$
$x=2$ ו- $x=-2$
$y=2$ ו- $y=-2$
$y=4$ ו- $y=-4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=4$ ו- $y=-4$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+4)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-4}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=\pm 2

משיק אופקי: $f'=0$

\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(-2) &= -4\end{aligned}

הגובה

\begin{aligned}y &= 4 \\ \quad y &= -4\end{aligned}

משיק אופקי הוא $y=y_0$

$x=\pm 2$ הם ישרים אנכיים. משיק אופקי נכתב $y=$ הגובה של נקודת ההשקה — ולכן מציבים בפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=\dfrac{a}{x+1}$ . שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=1$ הוא $-2$ . מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x+1)-a \cdot 1}{(x+1)^2} \\ &= \frac{-a}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה, $a$ קבוע

\begin{aligned}f'(1) &= -\frac{a}{4} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע נתון

a=8

פותרים

המלכודת: לשכוח את הריבוע במכנה ולקבל $a=4$ . ב- $x=1$ המכנה הוא $(1+1)^2=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד מצא את המשיק לגרף של $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ בנקודה שבה $x=2$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(2)=5

f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}

f'(2)=-4

y-5=-4(x-2)

y=-4x-3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=-4x-3$ → $y=-4x+13$

הפתרון:

y-5=-4x+8

פותחים סוגריים: $-4 \cdot (-2)=+8$

y=-4x+13

מעבירים את $5$

המלכודת בשורה האחרונה: $-4 \cdot (-2)$ הוא $+8$ . בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור ב- $(2,5)$ — ו- $-4 \cdot 2-3=-11 \neq 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם ייתכן שלגרף של $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ יש משיק אופקי?

כן: הישר $y=1$
כן, בנקודה שבה $x=-3$
כן, בנקודה שבה $x=1$
לא: $f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2}$ אינה מתאפסת לעולם

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: $f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2}$ אינה מתאפסת לעולם

הפתרון:

f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}

הנגזרת

-4 \neq 0

מונה קבוע — לא מתאפס

שתי מלכודות: $x=-3$ הוא שורש של הפונקציה, לא של הנגזרת; ו- $y=1$ היא אסימפטוטה — הגרף מתקרב אליה אבל אינו משיק לה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משיק בשיפוע נתון

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev