פותרים יחד · פונקציות רציונליות · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: נקודה סליקה בתוך חקירה, פרמטר שנקבע מנקודת קיצון, משיק ואסימפטוטות, הקשר בין $f$ ל- $\frac{1}{f}$ , ומספר הפתרונות של $f(x)=k$ מתוך הגרף. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב — ובסוף העמוד מחכה לכם שאלה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד — לא הקריאה.

שאלה 1 — חור בתוך חקירה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-4}$

f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-4}

א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו אסימפטוטות ונקודות סליקות. ג. מצאו תחומי עלייה וירידה.

א. תחום

x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2,\ x \neq -2

התחום נקבע מהפונקציה המקורית, לפני כל צמצום.

ב. צמצום

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ &= \frac{x}{x+2} \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

מפרקים. הגורם $x-2$ מצטמצם, והתנאי נשאר.

ב. חור

\begin{aligned}x &= 2:\ \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס ב- $2$ : נקודה סליקה $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ .

ב. קירות

\begin{aligned}x &= -2:\ x+2 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס: אסימפטוטה אנכית $x=-2$ .

ב. רחוק

\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2} &= 1 \Rightarrow y \\ &= 1\end{aligned}

מעלות שוות — אסימפטוטה אופקית $y=1$ .

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1 \cdot (x+2)-x \cdot 1}{(x+2)^2} \\ &= \frac{2}{(x+2)^2}\end{aligned}

גוזרים את הביטוי המצומצם — שווה למקורי בכל התחום, וקל בהרבה.

ג. מסקנה

f'(x)>0 \Rightarrow \nearrow:\ x<-2,\ -2<x<2,\ x>2

הנגזרת חיובית תמיד: $f$ עולה. והחור $x=2$ מפצל את התחום לשלושה חלקים, לא לשניים.

שתי המלכודות של השאלה: לכתוב את התחום אחרי הצמצום (ולאבד את $x \neq 2$ ), ולכתוב $-2<x<\infty$ כתחום עלייה אחד.

לעשות את הפעילות ב-elev

תאומה לפתור לבד — שאלה 1 בתרגילים למטה: $\frac{x^2+3x}{x^2-9}$ .

שאלה 2 — פרמטר מנקודת קיצון

פעילות אינטראקטיבית

פרמטר, ואז חקירה

לפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}$ יש נקודת קיצון שבה $x=3$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את כל נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

איזה נתון מתרגמים למשוואה?

$f'(3)=0$

להציג את התשובה והפתרון

«נקודת קיצון שבה $x=3$ » — הנגזרת מתאפסת שם.

$f(3)=0$

להציג את התשובה והפתרון

זה היה נכון לו נאמר שהגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x=3$ .

$f'(0)=3$

להציג את התשובה והפתרון

הנתון הוא על המקום $x=3$ , לא על ערך הנגזרת.

גוזרים לפי כלל המנה, $a$ קבוע.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+a)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\end{aligned}

מציבים $x=3$ . מה מקבלים?

$9-6-a=0$ , ולכן $a=3$

להציג את התשובה והפתרון

מונה שמתאפס — מנה שמתאפסת. המכנה $4$ לא משנה.

$\frac{9-6-a}{4}=3$ , ולכן $a=-9$

להציג את התשובה והפתרון

משווים לאפס, לא ל- $3$ . ה- $3$ הוא המקום.

$9+a=0$ , ולכן $a=-9$

להציג את התשובה והפתרון

זה המונה של $f$ , לא של $f'$ .

הפרמטר נמצא.

a=3

עכשיו $f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$ . מהן הנקודות החשודות?

$x=3$ ו- $x=-1$

להציג את התשובה והפתרון

$(x-3)(x+1)=0$ . ה- $3$ היה צפוי — וה- $-1$ הוא בונוס שהשאלה לא סיפרה.

$x=3$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

הנתון אמר «יש קיצון ב- $3$ », לא «רק ב- $3$ ». פותרים את המשוואה עד הסוף.

$x=3$ , $x=-1$ ו- $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

$x=1$ אינו בתחום ההגדרה — אסימפטוטה, לא קיצון.

שתי נקודות חשודות, אחת בכל ענף.

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

טבלת סימנים: $x<-1:\ +$ , $-1<x<1:\ -$ , $1<x<3:\ -$ , $x>3:\ +$ . מה סוג הנקודות?

מקסימום ב- $x=-1$ , מינימום ב- $x=3$

להציג את התשובה והפתרון

מ- $+$ ל- $-$ מקסימום; מ- $-$ ל- $+$ מינימום.

מינימום ב- $x=-1$ , מקסימום ב- $x=3$

להציג את התשובה והפתרון

הפוך: משמאל ל- $-1$ הפונקציה עולה.

שתיהן מינימום

להציג את התשובה והפתרון

בדקו את המעבר ב- $-1$ : מעלייה לירידה.

הערכים — מהצבה ב- $f$ .

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$a=3$ . מקסימום $(-1,-2)$ ומינימום $(3,6)$ — המינימום גבוה מהמקסימום, כי הם בענפים שונים.

לעשות את הפעילות ב-elev

התאומה: לפונקציה $g(x)=\dfrac{x^2+a}{x+2}$ יש נקודת קיצון שבה $x=1$ . מהו $a$ , ומהי נקודת הקיצון השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

$g'(x)=\frac{x^2+4x-a}{(x+2)^2}$ , ו- $g'(1)=0$ נותן $5-a=0$ , כלומר $a=5$ . אז $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$ , והנקודה השנייה ב- $x=-5$ : $g(-5)=\frac{30}{-3}=-10$ — מקסימום $(-5,-10)$ .

שאלה 3 — משיק ושתי אסימפטוטות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{2x}{x-1}$

f(x)=\frac{2x}{x-1}

א. מצאו את האסימפטוטות. ב. מצאו את המשיק בנקודה שבה $x=2$ . ג. חשבו את שטח המשולש שיוצרים המשיק ושתי האסימפטוטות.

א.

\begin{aligned}x &= 1 \\ \qquad y &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $1$ (המונה שם $2$ ), והמעלות שוות עם יחס $\frac{2}{1}$ .

ב. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,4)$ .

ב. שיפוע

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-1)-2x}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-1)^2} \\ \quad f'(2) &= -2\end{aligned}

כלל המנה, והצבה בנגזרת.

ב. משוואה

\begin{aligned}y-4 &= -2(x-2) \Rightarrow y \\ &= -2x+8\end{aligned}

המשיק.

ג. קודקודים

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y \\ &= 6;\quad y \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 3;\quad (1,2)\end{aligned}

המשיק פוגש כל אסימפטוטה בנקודה, והאסימפטוטות נפגשות ב- $(1,2)$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{(6-2)(3-1)}{2} \\ &= \frac{4 \cdot 2}{2} \\ &= 4\end{aligned}

משולש ישר-זווית בפינה שבין הקירות: ניצב אנכי $4$ , ניצב אופקי $2$ .

שרטוט קטן בצד חוסך כאן את כל הבלבול: שני קווים מקווקווים, קו ישר אחד, והמשולש נראה מיד.

לעשות את הפעילות ב-elev

תאומה לפתור לבד — שאלה 3 בתרגילים: $\frac{3x}{x+1}$ והמשיק בראשית.

שאלה 4 — $f$ ו- $\frac{1}{f}$

פעילות אינטראקטיבית

מה $\frac{1}{f}$ יורשת מ- $f$ ?

נתונה $f(x)=x^2-2x-3$ ו- $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ . א. מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $g$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון של $g$ וקבעו את סוגה.

איפה ל- $g$ אסימפטוטות אנכיות?

איפה ש- $f$ מתאפסת: $x=-1$ ו- $x=3$

להציג את התשובה והפתרון

המכנה של $g$ הוא $f$ . מונה $1$ לעולם אינו אפס — כל שורש של $f$ הוא קיר.

איפה של- $f$ יש מינימום

להציג את התשובה והפתרון

במינימום $f(1)=-4 \neq 0$ — שם $g$ מוגדרת היטב.

אין, כי $f$ פולינום

להציג את התשובה והפתרון

ל- $f$ אין קירות, אבל ל- $\frac{1}{f}$ יש — בכל שורש.

שני קירות: $x=-1$ , $x=3$ .

\begin{aligned}x^2-2x-3 &= (x-3)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מהי הנגזרת של $g$ ?

$g'(x)=\dfrac{-f'(x)}{[f(x)]^2}$

להציג את התשובה והפתרון

כלל המנה עם מונה $1$ — ההוכחה מיחידת כלל המנה.

$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $\frac{1}{f}$ אינה אחד חלקי הנגזרת.

$g'(x)=\dfrac{f'(x)}{[f(x)]^2}$

להציג את התשובה והפתרון

חסר המינוס — ובלעדיו כל טבלת הסימנים מתהפכת.

המכנה ריבוע, לכן הסימן של $g'$ הפוך לסימן של $f'$ .

g'(x)=\frac{-(2x-2)}{(x^2-2x-3)^2}

$f'$ מתאפסת ב- $x=1$ ועוברת מ- $-$ ל- $+$ . מה קורה ל- $g$ שם?

מקסימום $\left(1, -\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

$g'$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ . והגובה: $g(1)=\frac{1}{-4}$ .

מינימום $\left(1, -\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

זה סוג הקיצון של $f$ . אצל $\frac{1}{f}$ הסימן של הנגזרת מתהפך.

מקסימום $(1,-4)$

להציג את התשובה והפתרון

$-4$ הוא $f(1)$ . הגובה של $g$ הוא $\frac{1}{-4}$ .

מינימום של $f$ בערך שלילי הופך למקסימום של $g$ .

g(1)=-\frac{1}{4}

להציג את התשובה והפתרון

אסימפטוטות אנכיות $x=-1$ ו- $x=3$ , ומקסימום $\left(1,-\frac{1}{4}\right)$ . כלל אצבע: היכן ש- $f$ עולה, $\frac{1}{f}$ יורדת — ולהפך.

לעשות את הפעילות ב-elev

תאומה לפתור לבד — שאלה 4 בתרגילים: $\frac{1}{x^2-4x}$ .

שאלה 5 — כמה פתרונות יש ל- $f(x)=k$ ?

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$

f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}

א. חקרו את הפונקציה. ב. לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $f(x)=k$ פתרון?

תחום

x \neq \pm 1

שני קירות: המונה שם $1 \neq 0$ .

רחוק

y=1

מעלות שוות, יחס $1$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x^2-1)-x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} \\ &= \frac{-2x}{(x^2-1)^2}\end{aligned}

המונה: $2x^3-2x-2x^3=-2x$ .

קיצון

x<0:\ +,\quad x>0:\ - \Rightarrow \max\ (0,0)

המקסימום בענף האמצעי.

ענף אמצעי

-1<x<1:\quad f(x) \leq 0

מונה $\geq 0$ , מכנה שלילי. הגרף יורד מ- $(0,0)$ ל- $-\infty$ ליד שני הקירות.

ענפים חיצוניים

|x|>1:\quad f(x)>1

$x^2>x^2-1>0$ , ולכן המנה גדולה מ- $1$ — ומתקרבת ל- $1$ רחוק.

ב.

0<k \leq 1

הערכים שהגרף אינו מקבל: מעל $0$ בענף האמצעי אין, ובענפים החיצוניים רק מעל $1$ . הערך $1$ עצמו — אסימפטוטה, לא מתקבל.

את החלק ב. קוראים מהסקיצה: מעבירים קו אופקי $y=k$ ושואלים אם הוא פוגש את הגרף.

לעשות את הפעילות ב-elev

תאומה לפתור לבד — שאלה 5 בתרגילים: $\frac{4}{x^2-4}$ .

תרגילים

תרגיל 1

תאומה לשאלה 1. נתונה $f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x^2-9}$ . לגרף יש נקודה סליקה. מהו שיעור ה- $y$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

x \neq 3,\ x \neq -3

תחום ההגדרה

\begin{aligned}\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} &= \frac{x}{x-3} \\ \ x \neq -3\end{aligned}

מצמצמים

\begin{aligned}x &= -3:\ \frac{-3}{-6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

החור

x=3

הקיר — המכנה המצומצם מתאפס

המלכודת: לחפש את החור ב- $x=3$ . הגורם שהצטמצם הוא $x+3$ — ולכן החור ב- $-3$ , בגובה $0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תאומה לשאלה 2. לפונקציה $g(x)=\dfrac{x^2+a}{x+2}$ יש נקודת קיצון שבה $x=1$ . מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= \frac{2x(x+2)-(x^2+a)}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x^2+4x-a}{(x+2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}g'(1) &= 0 \Rightarrow 1+4-a \\ &= 0\end{aligned}

קיצון — הנגזרת מתאפסת

a=5

פותרים

המלכודת: להציב ב- $g$ ולהשוות לאפס, ולקבל $a=-1$ . קיצון הוא תנאי על הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הקווים המקווקווים הם האסימפטוטות

x=-1

ו-

y=3

. הקו הכתום הוא המשיק.

תאומה לשאלה 3. נתונה $f(x)=\dfrac{3x}{x+1}$ . בראשית הצירים $O$ מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את האסימפטוטה האנכית בנקודה $A$ ואת האסימפטוטה האופקית בנקודה $B$ , ו- $C$ היא נקודת המפגש של שתי האסימפטוטות (ראו שרטוט). מהו השטח של $\triangle ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -1 \qquad y \\ &= 3 \;\Rightarrow\; C(-1,3)\end{aligned}

האסימפטוטה האנכית: המכנה מתאפס. האופקית: היחס בין המקדמים המובילים.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3(x+1)-3x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{3}{(x+1)^2} \;\Rightarrow\; f'(0) \\ &= 3\end{aligned}

כלל המנה, ואז הצבה של $x=0$ .

y=3x

המשיק עובר בראשית ושיפועו $3$ .

\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow A(-1,-3) \qquad y \\ &= 3 \Rightarrow B(1,3)\end{aligned}

מציבים את משוואות האסימפטוטות במשוואת המשיק.

\begin{aligned}AC &= 3-(-3) \\ &= 6 \qquad CB \\ &= 1-(-1) \\ &= 2\end{aligned}

הזווית ב- $C$ ישרה: $AC$ על הקו האנכי ו- $CB$ על הקו האופקי.

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6\cdot 2}{2} \\ &= 6\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים.

השטח הוא $6$ . המלכודת: לחפש משולש עם הצירים במקום עם האסימפטוטות. המשיק $y=3x$ עובר בראשית, ולכן עם הצירים אין בכלל משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תאומה לשאלה 4. נתונה $f(x)=x^2-4x$ ו- $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ . מהי נקודת הקיצון של $g$ ?

מינימום $(2, -4)$
מקסימום $(2, -4)$
מקסימום $\left(2, -\frac{1}{4}\right)$
מינימום $\left(2, -\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקסימום $\left(2, -\frac{1}{4}\right)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x-4 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

הקיצון של $f$ — מינימום

g'(x)=\frac{-(2x-4)}{(x^2-4x)^2}

סימן $g'$ הפוך לסימן $f'$

\begin{aligned}g(2) &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הגובה

שתי מלכודות בבת אחת: $(2,-4)$ הוא הקיצון של $f$ , ו«מינימום» מעתיק את סוגו. אצל $\frac{1}{f}$ הערך הופך ל- $\frac{1}{-4}$ והסוג מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תאומה לשאלה 5. נתונה $f(x)=\dfrac{4}{x^2-4}$ . לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $f(x)=k$ פתרון?

$k<-1$
$-1<k \leq 0$
$0<k \leq 1$
$-1<k<0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-1<k \leq 0$

הפתרון:

f'(x)=\frac{-8x}{(x^2-4)^2} \Rightarrow \max\ (0,-1)

הקיצון

-2<x<2:\ f(x) \leq -1

בענף האמצעי

|x|>2:\ f(x)>0

בענפים החיצוניים — ומתקרבים ל- $0$

-1<k \leq 0

הערכים שלא מתקבלים

שני הקצוות הם המלכודת: $k=-1$ מתקבל (ב- $x=0$ ), ו- $k=0$ אינו מתקבל — $\frac{4}{x^2-4} \neq 0$ לעולם, זו רק האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — חור בתוך חקירה

שאלה 2 — פרמטר מנקודת קיצון

שאלה 3 — משיק ושתי אסימפטוטות

שאלה 4 — fff ו-1f\frac{1}{f}f1​

שאלה 5 — כמה פתרונות יש ל-f(x)=kf(x)=kf(x)=k?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

שאלה 4 — $f$ ו- $\frac{1}{f}$

שאלה 5 — כמה פתרונות יש ל- $f(x)=k$ ?