סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קלות: תחום הגדרה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך, והנגזרת של 1x\frac{1}{x} ושל מנה פשוטה. כל שאלה בודקת צעד אחד.

לפני כל תשובה — שאלו את עצמכם את מה מציבים במה: x=0x=0 לציר ה-yy, מכנה =0=0 לקירות, איברים מובילים לאופקית.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=5x+3f(x)=\dfrac{5}{x+3}?

  1. כל xx
  2. x≠−3x \neq -3
  3. x>−3x>-3
  4. x≠3x \neq 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≠−3x \neq -3

הפתרון:

x+3≠0x+3 \neq 0

המכנה אסור להתאפס

x≠−3x \neq -3

פותרים

x≠3x \neq 3 היא טעות הסימן הקלאסית: השורש של x+3x+3 הוא −3-3. ו-x>−3x>-3 מבלבל «אסור להתאפס» עם «חייב להיות חיובי» — זה תנאי של שורש, לא של שבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}. חשבו את f′(−2)f'(-2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}

הנגזרת של 1x\frac{1}{x}

f′(−2)=−1(−2)2=−14\begin{aligned}f'(-2) &= -\frac{1}{(-2)^2} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

מציבים — הריבוע חיובי

המלכודת: (−2)2=4(-2)^2=4, ולכן התוצאה −0.25-0.25 ולא +0.25+0.25. הנגזרת של 1x\frac{1}{x} שלילית בכל מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לפונקציה f(x)=x−12x−8f(x)=\dfrac{x-1}{2x-8} יש אסימפטוטה אנכית. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2x−8=0⇒x=4\begin{aligned}2x-8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס

4−1=3≠04-1=3 \neq 0

המונה לא מתאפס — אסימפטוטה

המלכודת: לענות 88 ולשכוח לחלק ב-22, או לענות 11 — השורש של המונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האסימפטוטה האופקית של f(x)=6x+13x−2f(x)=\dfrac{6x+1}{3x-2} היא y=ky=k. מהו kk?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

6x3x=2\frac{6x}{3x}=2

מעלות שוות — יחס המקדמים המובילים

המלכודת: −12-\frac{1}{2}, היחס בין המספרים החופשיים. הוא קובע את f(0)f(0), לא את מה שקורה רחוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גזרו: f(x)=xx+2f(x)=\dfrac{x}{x+2}

  1. −2(x+2)2\dfrac{-2}{(x+2)^2}
  2. 2x+2(x+2)2\dfrac{2x+2}{(x+2)^2}
  3. 1(x+2)2\dfrac{1}{(x+2)^2}
  4. 2(x+2)2\dfrac{2}{(x+2)^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2(x+2)2\dfrac{2}{(x+2)^2}

הפתרון:

1⋅(x+2)−x⋅1(x+2)2\frac{1 \cdot (x+2)-x \cdot 1}{(x+2)^2}

כלל המנה

x+2−x(x+2)2=2(x+2)2\frac{x+2-x}{(x+2)^2}=\frac{2}{(x+2)^2}

מפשטים

−2(x+2)2\frac{-2}{(x+2)^2} מתקבלת מסדר הפוך במונה, ו-2x+2(x+2)2\frac{2x+2}{(x+2)^2} מפלוס במקום מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הערך x=0x=0 שייך לתחום ההגדרה של f(x)=xx2+xf(x)=\dfrac{x}{x^2+x}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2+x=x(x+1)x^2+x=x(x+1)

מפרקים את המכנה

x=0: x(x+1)=0\begin{aligned}x &= 0:\ x(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-00

הטענה אינה נכונה. אחרי צמצום f(x)=1x+1f(x)=\frac{1}{x+1} — וב-x=0x=0 נראה שהכול בסדר. אבל התחום נקבע לפני הצמצום: ב-00 יש חור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזה ערך של yy חותך הגרף של f(x)=3x−4x+2f(x)=\dfrac{3x-4}{x+2} את ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(0)=−42=−2\begin{aligned}f(0) &= \frac{-4}{2} \\ &= -2\end{aligned}

מציבים x=0x=0

המלכודת: להציב y=0y=0 ולקבל x=43x=\frac{4}{3} — זו נקודת החיתוך עם ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x+6x−3f(x)=\dfrac{x+6}{x-3}. השלימו.

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=x= ____. האסימפטוטה האנכית: x=x= ____. האסימפטוטה האופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=x= -6. האסימפטוטה האנכית: x=x= 3. האסימפטוטה האופקית: y=y= 1

הפתרון:

x+6=0⇒x=−6\begin{aligned}x+6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -6\end{aligned}

המונה מתאפס

x−3=0⇒x=3\begin{aligned}x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

xx=1\frac{x}{x}=1

מעלות שוות

שני הסימנים הם המלכודת: x+6x+6 מתאפס ב-−6-6, ו-x−3x-3 ב-+3+3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x2+1xf(x)=\dfrac{x^2+1}{x}. חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2=x2−1x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+1) \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x^2-1}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=01=0\begin{aligned}f'(1) &= \frac{0}{1} \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

התשובה 00 אינה טעות: המשיק ב-x=1x=1 אופקי. מי שמקבל 22 החסיר רק את x2x^2 ושכח שהמינוס חל גם על ה-11: 2x2−x2+12x^2-x^2+1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • 1x\dfrac{1}{x}
  • −1x-\dfrac{1}{x}
  • 1x+1\dfrac{1}{x+1}
  • xx+1\dfrac{x}{x+1}
  • −1(x+1)2-\dfrac{1}{(x+1)^2}
  • −1x2-\dfrac{1}{x^2}
  • 1(x+1)2\dfrac{1}{(x+1)^2}
  • 1x2\dfrac{1}{x^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1x\dfrac{1}{x} — −1x2-\dfrac{1}{x^2} · −1x-\dfrac{1}{x} — 1x2\dfrac{1}{x^2} · 1x+1\dfrac{1}{x+1} — −1(x+1)2-\dfrac{1}{(x+1)^2} · xx+1\dfrac{x}{x+1} — 1(x+1)2\dfrac{1}{(x+1)^2}

הפתרון:

(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}

הבסיס

(−1x)′=1x2\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}

מינוס כפול מינוס

0−1(x+1)2\frac{0-1}{(x+1)^2}

כלל המנה עם מונה 11

(x+1)−x(x+1)2\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}

כלל המנה

הזוגות נבדלים רק בסימן ובמכנה — וזה בדיוק מה שנבדק. 1x+1\frac{1}{x+1} ו-xx+1\frac{x}{x+1} נגזרות בסימנים הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת