סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: חור וקיר באותה פונקציה, ערך מקסימלי, משיק, סימן הפונקציה, וטבלה שנפלה בקיר.

בכל שאלה של קיצון או של סימן, כתבו קודם את תחום ההגדרה — ורק אחר כך את הטבלה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=2x−1x+1f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}. חשבו את f′(0)f'(0).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(x+1)2=3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(0)=3f'(0)=3

מציבים

המלכודת: −(2x−1)=−2x+1-(2x-1)=-2x+1. מי שמחסר רק את 2x2x מקבל מונה 11 ותשובה 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2−25x+5f(x)=\dfrac{x^2-25}{x+5}. מה יש בגרף ב-x=−5x=-5?

  1. אסימפטוטה אנכית x=−5x=-5
  2. נקודה סליקה (5,10)(5,10)
  3. נקודה סליקה (−5,−10)(-5,-10)
  4. נקודה סליקה (−5,0)(-5,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נקודה סליקה (−5,−10)(-5,-10)

הפתרון:

(x−5)(x+5)x+5=x−5 x≠−5\begin{aligned}\frac{(x-5)(x+5)}{x+5} &= x-5 \\ \ x \neq -5\end{aligned}

מצמצמים

−5−5=−10-5-5=-10

הגובה של החור

(−5,0)(-5,0) מציב במונה המקורי. אסימפטוטה אין — המונה מתאפס יחד עם המכנה והגורם מצטמצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=3x2x2−4f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2-4}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות: x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____. האסימפטוטה האופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטות האנכיות: x=x= -2 (הקטנה) ו-x=x= 2. האסימפטוטה האופקית: y=y= 3

הפתרון:

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה

3⋅4=12≠03 \cdot 4=12 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

3x2x2=3\frac{3x^2}{x^2}=3

האופקית

המלכודת: לכתוב רק x=2x=2. ל-x2=4x^2=4 שני פתרונות, ולכן שני קירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיינו: אסימפטוטה אנכית או נקודה סליקה, בערך המסומן?

  • אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה
  • 1x2\dfrac{1}{x^2} ב-x=0x=0
  • xx2−4\dfrac{x}{x^2-4} ב-x=2x=2
  • x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} ב-x=1x=1
  • x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=−2x=-2
  • x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=2x=2
  • x3−xx\dfrac{x^3-x}{x} ב-x=0x=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} ב-x=1x=1 — נקודה סליקה · xx2−4\dfrac{x}{x^2-4} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=−2x=-2 — נקודה סליקה · x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · 1x2\dfrac{1}{x^2} ב-x=0x=0 — אסימפטוטה אנכית · x3−xx\dfrac{x^3-x}{x} ב-x=0x=0 — נקודה סליקה

הפתרון:

x(x+2)(x−2)(x+2)=xx−2\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}

חור ב-−2-2, קיר ב-22

x3−xx=x2−1\frac{x^3-x}{x}=x^2-1

חור ב-00

x2−1x−1=x+1\frac{x^2-1}{x-1}=x+1

חור ב-11

באותה פונקציה x2+2xx2−4\frac{x^2+2x}{x^2-4} יש גם חור וגם קיר: הגורם x+2x+2 מצטמצם, x−2x-2 נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=xx2+9f(x)=\dfrac{x}{x^2+9}? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.16666666666666666

הפתרון:

f′(x)=9−x2(x2+9)2f'(x)=\frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}

כלל המנה

x=±3x=\pm 3

המונה מתאפס

max⁡: x=3\max:\ x=3

מ-++ ל-−-

f(3)=318=16≈0.167\begin{aligned}f(3) &= \frac{3}{18} \\ &= \frac{1}{6}\approx 0.167\end{aligned}

הערך

המלכודת: לענות 33 — מקום המקסימום. הערך הוא f(3)f(3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי משוואת המשיק לגרף של f(x)=x+1xf(x)=\dfrac{x+1}{x} בנקודה שבה x=1x=1?

  1. y=−x+2y=-x+2
  2. y=−2x+4y=-2x+4
  3. y=x+1y=x+1
  4. y=−x+3y=-x+3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=−x+3y=-x+3

הפתרון:

f(1)=2f(1)=2

הנקודה (1,2)(1,2)

f′(x)=x−(x+1)x2=−1x2 f′(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x-(x+1)}{x^2} \\ &= -\frac{1}{x^2} \\ \ f'(1) &= -1\end{aligned}

השיפוע

y−2=−(x−1)⇒y=−x+3\begin{aligned}y-2 &= -(x-1) \Rightarrow y \\ &= -x+3\end{aligned}

המשוואה

בדיקה שחוסכת טעויות: המשיק חייב לעבור ב-(1,2)(1,2). y=−x+2y=-x+2 נותן שם 11 — לא עובר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה f(x)=x−1x+1f(x)=\dfrac{x-1}{x+1} עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

2(x+1)2>0\frac{2}{(x+1)^2}>0

חיובית לכל x≠−1x \neq -1

הטענה נכונה — בכל ענף בנפרד. הניסוח «עולה לכל xx» היה שגוי: f(−2)=3>f(0)=−1f(-2)=3>f(0)=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באיזה xx חותך הגרף של f(x)=2x2+xx2+1f(x)=\dfrac{2x^2+x}{x^2+1} את האסימפטוטה האופקית שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y=2y=2

יחס המקדמים המובילים

2x2+x=2x2+22x^2+x=2x^2+2

משווים ל-22

x=2x=2

פותרים

המלכודת: לחשוב «אסימפטוטה — לא חותכים». את האופקית מותר לחצות, וה-2x22x^2 מצטמצם: נשארת משוואה ממעלה ראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד חקר את f(x)=x2x+3f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=2x(x+3)−x2(x+3)2f'(x)=\frac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}
=x2+6x(x+3)2=\frac{x^2+6x}{(x+3)^2}
f′(x)=0⇒x=0 x=−6\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -6\end{aligned}
x=−3: נקודת קיצוןx=-3:\ \text{נקודת קיצון}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=−3: נקודת קיצוןx=-3:\ \text{נקודת קיצון} → x=−3∉D: אסימפטוטהx=-3 \notin D:\ \text{אסימפטוטה}

הפתרון:

x+3≠0x+3 \neq 0

תחום ההגדרה

x=0 x=−6\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= -6\end{aligned}

הנקודות החשודות היחידות

המכנה של הנגזרת אינו מייצר נקודות קיצון — הוא מסמן קיר. הקיצון רק היכן שהמונה מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באיזה תחום f(x)=x−4x+2f(x)=\dfrac{x-4}{x+2} שלילית?

  1. −2<x<4-2<x<4
  2. x<4x<4
  3. x<−2x<-2 או x>4x>4
  4. −4<x<2-4<x<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −2<x<4-2<x<4

הפתרון:

x=4 x=−2\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

הסימן יכול להתחלף רק כאן

f(0)=−2<0f(0)=-2<0

בדיקה בתחום האמצעי

x<4x<4 שוכח את הקיר x=−2x=-2: שם הסימן מתחלף. ו-−4<x<2-4<x<2 הופך את הסימנים של שני השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת