סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מאתגרות: פרמטר בנגזרת, חור וקיר יחד, קיצון בשני ענפים, משיקים מאונכים, 1g\frac{1}{g} והוכחה.

כשיש שני ענפים, אל תשוו גובה של מקסימום לגובה של מינימום. כל קיצון נבדק רק בסביבה שלו.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=ax+2x−1f(x)=\dfrac{ax+2}{x-1}, ונתון f′(2)=−5f'(2)=-5. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=a(x−1)−(ax+2)(x−1)2=−a−2(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x-1)-(ax+2)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-a-2}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה — ה-axax מצטמצם

f′(2)=−a−2=−5\begin{aligned}f'(2) &= -a-2 \\ &= -5\end{aligned}

מציבים

a=3a=3

פותרים

המלכודת: להשאיר axax במונה. a(x−1)−(ax+2)=ax−a−ax−2a(x-1)-(ax+2)=ax-a-ax-2 — ה-xx נעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2−x−2x2−4f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4}. השלימו.

נקודה סליקה ב-x=x= ____, בגובה y=y= ____. אסימפטוטה אנכית: x=x= ____. אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודה סליקה ב-x=x= 2, בגובה y=y= 0.75. אסימפטוטה אנכית: x=x= -2. אסימפטוטה אופקית: y=y= 1

הפתרון:

(x−2)(x+1)(x−2)(x+2)=x+1x+2 x≠2\begin{aligned}\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} &= \frac{x+1}{x+2} \\ \ x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים

x=2: 34x=2:\ \frac{3}{4}

החור

x=−2x=-2

המכנה המצומצם מתאפס

y=1y=1

מעלות שוות

המלכודת: פירוק x2−x−2x^2-x-2. השורשים הם 22 ו-−1-1 — ולכן הגורם x−2x-2 משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהן נקודות הקיצון של f(x)=x2−3x−2f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-2}?

  1. מקסימום (1,0)(1,0), מינימום (3,0)(3,0)
  2. מקסימום (1,2)(1,2), מינימום (3,6)(3,6)
  3. מינימום (2,4)(2,4) בלבד
  4. מינימום (1,2)(1,2), מקסימום (3,6)(3,6)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום (1,2)(1,2), מינימום (3,6)(3,6)

הפתרון:

f′(x)=2x(x−2)−(x2−3)(x−2)2=x2−4x+3(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2-3)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x−1)(x−3)=0(x-1)(x-3)=0

המונה מתאפס

+, −, −, ++,\ -,\ -,\ +

הסימנים: לפני 11, בין 11 ל-22, בין 22 ל-33, אחרי 33

f(1)=−2−1=2 f(3)=6\begin{aligned}f(1) &= \frac{-2}{-1} \\ &= 2 \\ \ f(3) &= 6\end{aligned}

ערכים

המינימום (3,6)(3,6) גבוה מהמקסימום (1,2)(1,2) — וזה נכון: הם בענפים שונים. מי שמתקן «כי מקסימום צריך להיות גבוה» הופך את התשובה לשגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

PABOy = 4/x?0606xy

נתונה הפונקציה f(x)=4xf(x)=\dfrac{4}{x}. בנקודה PP שעל הגרף, שבה x=2x=2, מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה AA ואת ציר ה-yy בנקודה BB, ו-OO היא ראשית הצירים (ראו שרטוט). מהו השטח של △AOB\triangle AOB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(2)=42=2  ⇒  P(2,2)\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \;\Rightarrow\; P(2,2)\end{aligned}

מוצאים את נקודת ההשקה: מציבים x=2x=2 בפונקציה.

f′(x)=−4x2  ⇒  f′(2)=−44=−1\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{4}{x^2} \;\Rightarrow\; f'(2) \\ &= -\frac{4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.

y−2=−1⋅(x−2)  ⇒  y=−x+4\begin{aligned}y-2 &= -1\cdot(x-2) \;\Rightarrow\; y \\ &= -x+4\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

y=0: x=4⇒A(4,0)x=0: y=4⇒B(0,4)\begin{aligned}y &= 0:\ x \\ &= 4 \Rightarrow A(4,0) \qquad x \\ &= 0:\ y \\ &= 4 \Rightarrow B(0,4)\end{aligned}

נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים: מציבים y=0y=0 ואחר כך x=0x=0 במשוואת המשיק.

SAOB=OA⋅OB2=4⋅42=8\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{OA\cdot OB}{2} \\ &= \frac{4\cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

המשולש ישר-זווית בראשית, והניצבים שלו הם OAOA ו-OBOB.

השטח הוא 88. המלכודת: להציב x=0x=0 או y=0y=0 בפונקציה ff במקום במשוואת המשיק. הפונקציה 4x\frac{4}{x} לא חותכת את הצירים בכלל — רק המשיק חותך אותם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם ל-gg יש מינימום ב-x=ax=a ו-g(a)>0g(a)>0, אז לפונקציה f(x)=1g(x)f(x)=\dfrac{1}{g(x)} יש מקסימום ב-x=ax=a.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}

כלל המנה

g′: − → +⇒f′: + → −g':\ -\ \to\ + \Rightarrow f':\ +\ \to\ -

הסימן מתהפך

g(a)>0⇒a∈Dfg(a)>0 \Rightarrow a \in D_f

והנקודה בתחום

הטענה נכונה. הערך הנמוך ביותר של gg נותן את הגבוה ביותר של 1g\frac{1}{g} — בתנאי ש-gg לא מתאפסת שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה 4xx2+1=2\dfrac{4x}{x^2+1}=2?

  1. 33
  2. 11
  3. 00
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 11

הפתרון:

4x=2x2+24x=2x^2+2

כופלים במכנה החיובי

x2−2x+1=(x−1)2=0\begin{aligned}x^2-2x+1 &= (x-1)^2 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=1x=1

פתרון יחיד

הסבר גרפי: 22 הוא בדיוק הערך המקסימלי של ff (ב-x=1x=1). קו אופקי בגובה המקסימום נוגע בגרף בנקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בנקודות שעל הגרף של f(x)=2x+1xf(x)=\dfrac{2x+1}{x} המשיק מאונך לישר y=x+5y=x+5. מהו סכום שיעורי ה-yy של הנקודות האלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

m=−1m=-1

מאונך לשיפוע 11

f′(x)=2x−(2x+1)x2=−1x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-(2x+1)}{x^2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

−1x2=−1⇒x=±1\begin{aligned}-\frac{1}{x^2} &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שתי נקודות

f(1)+f(−1)=3+1=4\begin{aligned}f(1)+f(-1) &= 3+1 \\ &= 4\end{aligned}

סכום הגבהים

שתי מלכודות: לחפש שיפוע 11 (מקביל במקום מאונך), ולשכוח את x=−1x=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2x+2f(x)=\dfrac{x^2}{x+2}. מיינו את התחומים.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −2<x<0-2<x<0
  • −4<x<−2-4<x<-2
  • x<−4x<-4
  • x>0x>0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<−4x<-4 — ff עולה · −4<x<−2-4<x<-2 — ff יורדת · −2<x<0-2<x<0 — ff יורדת · x>0x>0 — ff עולה

הפתרון:

f′(x)=x2+4x(x+2)2=x(x+4)(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2+4x}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}\end{aligned}

הנגזרת

f′(−5)=59>0 f′(−3)=−3<0\begin{aligned}f'(-5) &= \frac{5}{9}>0 \\ \ f'(-3) &= -3<0\end{aligned}

בדיקות משמאל לקיר

f′(−1)=−3<0 f′(1)=59>0\begin{aligned}f'(-1) &= -3<0 \\ \ f'(1) &= \frac{5}{9}>0\end{aligned}

בדיקות מימין לקיר

המלכודת: להפוך סימן בקיר x=−2x=-2. מכנה f′f' בריבוע — ff יורדת משני צדי הקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד מצא את האסימפטוטות של f(x)=3−x22x2+1f(x)=\dfrac{3-x^2}{2x^2+1}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

2x2+1≥12x^2+1 \geq 1
אין אסימפטוטה אנכית\text{אין אסימפטוטה אנכית}
y=32y=\frac{3}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=32y=\frac{3}{2} → y=−12y=-\frac{1}{2}

הפתרון:

−x22x2=−12\frac{-x^2}{2x^2}=-\frac{1}{2}

האיברים המובילים

32\frac{3}{2} מתקבל מלקיחת המספרים שכתובים ראשונים, 33 ו-22. רחוק מכריעים האיברים המובילים, −x2-x^2 ו-2x22x^2 — ולכן y=−12y=-\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2+1xf(x)=\dfrac{x^2+1}{x}. הוכיחו כי f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}.

  • f(x)=x2+1xf(x)=\dfrac{x^2+1}{x}, x≠0x \neq 0

f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2f'(x)=\dfrac{2x \cdot x-(x^2+1) \cdot 1}{x^2} — כלל המנה
  2. f′(x)=x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2} — פתיחת סוגריים וכינוס
  3. f′(x)=x2x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2} — פירוק השבר לשני שברים
  4. f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2} — צמצום, כי x≠0x \neq 0

הפתרון:

f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2f'(x)=\dfrac{2x \cdot x-(x^2+1) \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

f′(x)=x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}

פתיחת סוגריים וכינוס

f′(x)=x2x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}

פירוק השבר לשני שברים

f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}

צמצום, כי x≠0x \neq 0

דרך קצרה לבדיקה: f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}, ולכן f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\frac{1}{x^2} מיד. המלכודת בכלל המנה: 2x⋅x−x2−12x \cdot x-x^2-1, עם המינוס על שני האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת