סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מתקדמות: שני תנאים בשאלה אחת, קריאה מגרף, 1f\frac{1}{f}, מינימום שאינו מספר שלם, «האם ייתכן», והוכחה כללית.

בשאלה עם פרמטר, כתבו במילים על מה התנאי: על ff (נקודה על הגרף) או על f′f' (שיפוע, משיק, קיצון). משם המשוואה כותבת את עצמה.

תרגילים

תרגיל 1

לגרף של f(x)=ax2+4xf(x)=\dfrac{ax^2+4}{x} יש משיק אופקי בנקודה שבה x=1x=1. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=2ax⋅x−(ax2+4)x2=ax2−4x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2ax \cdot x-(ax^2+4)}{x^2} \\ &= \frac{ax^2-4}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=a−4=0\begin{aligned}f'(1) &= a-4 \\ &= 0\end{aligned}

משיק אופקי

a=4a=4

פותרים

המלכודת: להשוות את f(1)f(1) לאפס (a=−4a=-4). משיק אופקי הוא תנאי על השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\dfrac{1}{f(x)}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות של gg: x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____. ל-gg נקודת מקסימום שבה x=x= ____ ו-y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטות האנכיות של gg: x=x= 1 (הקטנה) ו-x=x= 5. ל-gg נקודת מקסימום שבה x=x= 3 ו-y=y= -0.25

הפתרון:

x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

השורשים של ff — הקירות של gg

f′(3)=0 f(3)=−4\begin{aligned}f'(3) &= 0 \\ \ f(3) &= -4\end{aligned}

המינימום של ff

g(3)=−14g(3)=-\frac{1}{4}

הופך למקסימום של gg

המלכודת: y=−4y=-4 — זה הגובה של ff. הגובה של gg הוא ההופכי, −0.25-0.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

x = 1-4-3-2-10123456-8-6-4-224681012xy

בציור הגרף של f(x)=x2x−1f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}, עם נקודות הקיצון שלו. באיזה תחום f′(x)<0f'(x)<0?

  1. 0<x<10<x<1 או 1<x<21<x<2
  2. x<1x<1
  3. x<0x<0 או x>2x>2
  4. 0<x<20<x<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0<x<10<x<1 או 1<x<21<x<2

הפתרון:

f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

הנגזרת

f′<0  ⟺  0<x<2, x≠1f'<0 \iff 0<x<2,\ x \neq 1

המונה שלילי בין השורשים

0<x<1, 1<x<20<x<1,\ 1<x<2

בלי הקיר

0<x<20<x<2 נראה נכון בציור — אבל x=1x=1 אינו בתחום, ו-f′f' אינה מוגדרת שם. תחום שכולל קיר אינו תחום ירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f(x)=x2−2x+kx−1f(x)=\dfrac{x^2-2x+k}{x-1} עובר בנקודה (2,3)(2,3). מצאו את kk, ואז את שיעור ה-yy של נקודת המינימום של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.8284271247461903

הפתרון:

4−4+k1=3⇒k=3\begin{aligned}\frac{4-4+k}{1} &= 3 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}

כלל המנה

x=1±2x=1 \pm \sqrt{2}

המונה מתאפס

min⁡: x=1+2f=42=22≈2.83\begin{aligned}\min:\ x &= 1+\sqrt{2} \\ \quad f &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &= 2\sqrt{2}\approx 2.83\end{aligned}

מ-−- ל-++

המלכודת: לענות −2.83-2.83, הערך ב-1−21-\sqrt{2}. זו נקודת מקסימום, בענף השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של f(x)=x3−4xx−2f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x-2} הוא פרבולה שלמה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x3−4x=x(x2−4)=x(x−2)(x+2)\begin{aligned}x^3-4x &= x(x^2-4) \\ &= x(x-2)(x+2)\end{aligned}

מוציאים xx גורם משותף, ואז הפרש ריבועים

f(x)=x(x+2)=x2+2xx≠2\begin{aligned}f(x) &= x(x+2) \\ &= x^2+2x \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים — והתנאי נשאר

22+2⋅2=82^2+2 \cdot 2=8

חור בנקודה (2,8)(2,8)

הטענה אינה נכונה: זו פרבולה עם חור ב-(2,8)(2,8). הצמצום נותן ביטוי של פרבולה, אבל x=2x=2 נפל מתחום ההגדרה עוד לפני שצמצמנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האם ייתכן שלפונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית y=0y=0 וגם נקודת מינימום שבה y<0y<0?

  1. לא, כי הגרף מתקרב ל-00 מלמעלה
  2. לא, כי המינימום חייב להיות מעל האסימפטוטה
  3. כן, אבל רק כשיש גם אסימפטוטה אנכית
  4. כן, למשל xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} עם מינימום (−1,−12)\left(-1,-\frac{1}{2}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן, למשל xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} עם מינימום (−1,−12)\left(-1,-\frac{1}{2}\right)

הפתרון:

f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

כלל המנה

x=−1: − → +x=-1:\ -\ \to\ +

מינימום

f(−1)=−12<0f(-1)=-\frac{1}{2}<0

הגובה

הגרף יכול להתקרב לאסימפטוטה מלמטה בצד אחד ומלמעלה בצד השני. xx2+1\frac{x}{x^2+1} מגיעה ל-−12-\frac{1}{2} בלי שום קיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המשיק לגרף של f(x)=xx−1f(x)=\dfrac{x}{x-1} בנקודה שבה x=2x=2 חותך את האסימפטוטה האופקית. באיזה xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(2)=2f′(x)=−1(x−1)2 f′(2)=−1\begin{aligned}f(2) &= 2 \\ \quad f'(x) &= \frac{-1}{(x-1)^2} \\ \ f'(2) &= -1\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=−x+4y=-x+4

המשיק

y=1⇒x=3\begin{aligned}y &= 1 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית y=1y=1

המלכודת: לחתוך עם ציר ה-xx (x=4x=4). האסימפטוטה האופקית כאן היא y=1y=1, לא y=0y=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל פונקציה את התיאור שלה.

  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1}
  • x+1x2+1\dfrac{x+1}{x^2+1}
  • x2+1x2−1\dfrac{x^2+1}{x^2-1}
  • x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1}
  • אין אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה ואסימפטוטה אנכית אחת
  • נקודה סליקה, ואין אף אסימפטוטה
  • שתי אסימפטוטות אנכיות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} — נקודה סליקה ואסימפטוטה אנכית אחת · x+1x2+1\dfrac{x+1}{x^2+1} — אין אסימפטוטה אנכית · x2+1x2−1\dfrac{x^2+1}{x^2-1} — שתי אסימפטוטות אנכיות · x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} — נקודה סליקה, ואין אף אסימפטוטה

הפתרון:

x+1(x−1)(x+1)=1x−1\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}

חור ב-−1-1, קיר ב-11

x2+1>0x^2+1>0

אין קירות

x=±1 מונה 2\begin{aligned}x &= \pm 1 \\ \ \text{מונה } 2\end{aligned}

שני קירות

x2−1x−1=x+1\frac{x^2-1}{x-1}=x+1

ישר עם חור — וגם אין אופקית

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1} היא ישר עם חור: אין קיר, ומעלת המונה גדולה — אין גם אסימפטוטה אופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=2x+bx−3f(x)=\dfrac{2x+b}{x-3}. המשיק בנקודה שבה x=4x=4 מקביל לישר y=−11xy=-11x. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=2(x−3)−(2x+b)(x−3)2=−6−b(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-3)-(2x+b)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-6-b}{(x-3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(4)=−6−b=−11\begin{aligned}f'(4) &= -6-b \\ &= -11\end{aligned}

מקביל — אותו שיפוע

b=5b=5

פותרים

המלכודת: −(2x+b)=−2x−b-(2x+b)=-2x-b. מי שכותב +b+b מקבל b=−5b=-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון ש-f′(x)>0f'(x)>0 ו-f(x)≠0f(x) \neq 0 לכל xx. הוכיחו כי g(x)=1f(x)g(x)=\dfrac{1}{f(x)} יורדת.

  • f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx
  • f(x)≠0f(x) \neq 0 לכל xx

gg יורדת

להציג את התשובה והפתרון
  1. g′(x)=−f′(x)[f(x)]2g'(x)=\dfrac{-f'(x)}{[f(x)]^2} — כלל המנה עם מונה 11
  2. [f(x)]2>0[f(x)]^2>0 — ריבוע של מספר שונה מאפס
  3. −f′(x)<0-f'(x)<0 — נתון f′(x)>0f'(x)>0
  4. g′(x)<0g'(x)<0 — שלילי חלקי חיובי
  5. gg יורדת — נגזרת שלילית — הפונקציה יורדת

הפתרון:

g′(x)=−f′(x)[f(x)]2g'(x)=\dfrac{-f'(x)}{[f(x)]^2}

כלל המנה עם מונה 11

[f(x)]2>0[f(x)]^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס

−f′(x)<0-f'(x)<0

נתון f′(x)>0f'(x)>0

g′(x)<0g'(x)<0

שלילי חלקי חיובי

המלכודת: לחשוב שהסימן של gg תלוי בסימן של ff. gg יכולה להיות חיובית או שלילית — אבל הנגזרת שלה שלילית תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת