סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט הבגרות, סביב שלוש פונקציות: חקירה מלאה של x2+5x−2\frac{x^2+5}{x-2} (א–ד), פרמטר מערך מקסימלי (ה–ז), ו-1f\frac{1}{f} עם חור (ח–י). כל סעיף נשען על הקודם.

כמו בבחינה: אם נתקעתם בסעיף, המשיכו לסעיף הבא עם הנתונים שבשאלה. הרבה סעיפים אינם דורשים את התשובה הקודמת.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה א. נתונה f(x)=x2+5x−2f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}. מה נכון לגבי האסימפטוטות שלה?

  1. אנכית x=2x=2, ואין אופקית
  2. אנכית x=2x=2 ואופקית y=1y=1
  3. אנכית x=2x=2 ואופקית y=0y=0
  4. אנכית x=−2x=-2, ואין אופקית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אנכית x=2x=2, ואין אופקית

הפתרון:

x−2=0 4+5=9≠0\begin{aligned}x-2 &= 0 \\ \ 4+5 &= 9 \neq 0\end{aligned}

קיר ב-22

x2+5: 2,x−2: 1x^2+5:\ 2,\quad x-2:\ 1

מעלת המונה גדולה — אין אופקית

y=1y=1 מתקבל מ«יחס מקדמים» שלא שייך לכאן: הוא נכון רק כשהמעלות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה ב. עבור אותה f(x)=x2+5x−2f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}, השלימו.

מקסימום: x=x= ____, y=y= ____. מינימום: x=x= ____, y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: x=x= -1, y=y= -2. מינימום: x=x= 5, y=y= 10

הפתרון:

f′(x)=2x(x−2)−(x2+5)(x−2)2=x2−4x−5(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2+5)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x−5)(x+1)=0(x-5)(x+1)=0

המונה מתאפס

f(−1)=6−3=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-3} \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום

f(5)=303=10\begin{aligned}f(5) &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

המינימום 1010 גבוה מהמקסימום −2-2 — שני ענפים. והמלכודת בפתיחה: −(x2+5)=−x2−5-(x^2+5)=-x^2-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שאלה ג. עבור אותה ff — כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=4f(x)=4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f≤−2f \leq -2

ענף שמאלי: המקסימום שם −2-2

f≥10f \geq 10

ענף ימני: המינימום שם 1010

x2+5=4x−8⇒x2−4x+13=0 Δ<0\begin{aligned}x^2+5 &= 4x-8 \Rightarrow x^2-4x+13 \\ &= 0 \\ \ \Delta<0\end{aligned}

אישור אלגברי

הערך 44 נופל בין המקסימום למינימום — אזור שהגרף לא מגיע אליו. מי שחושב ש«לפונקציה רציפה יש כל ערך» שוכח את הקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שאלה ד. הגרף של אותה ff אינו חותך את ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2+5>0x^2+5>0

המונה אינו מתאפס לעולם

f(x)≠0f(x) \neq 0

ולכן אין שורש

הטענה נכונה, ואפשר לראות אותה גם מהטבלה: בענף השמאלי f≤−2f \leq -2, בימני f≥10f \geq 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שאלה ה. נתונה g(x)=axx2+4g(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, a>0a>0. הערך הגדול ביותר של gg הוא 33. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

g′(x)=a(4−x2)(x2+4)2g'(x)=\frac{a(4-x^2)}{(x^2+4)^2}

כלל המנה

a>0: max⁡ ב-x=2a>0:\ \max \text{ ב-} x=2

מ-++ ל-−-

g(2)=2a8=a4=3\begin{aligned}g(2) &= \frac{2a}{8} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 3\end{aligned}

הערך המקסימלי

a=12a=12

פותרים

המלכודת: להשוות את g′(2)g'(2) ל-33. הנתון «הערך הגדול ביותר» הוא על gg; התנאי g′(2)=0g'(2)=0 רק מאתר את המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שאלה ו. עבור g(x)=12xx2+4g(x)=\dfrac{12x}{x^2+4} — מהי נקודת המינימום?

  1. (0,0)(0,0)
  2. (−2,−3)(-2,-3)
  3. (−2,3)(-2,3)
  4. (2,−3)(2,-3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (−2,−3)(-2,-3)

הפתרון:

x=−2: − → +x=-2:\ -\ \to\ +

מינימום

g(−2)=−248=−3\begin{aligned}g(-2) &= \frac{-24}{8} \\ &= -3\end{aligned}

הגובה

gg אי-זוגית: g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x). המקסימום (2,3)(2,3) משתקף לנקודה (−2,−3)(-2,-3) — שני הסימנים מתהפכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שאלה ז. מהו שיפוע המשיק לגרף של g(x)=12xx2+4g(x)=\dfrac{12x}{x^2+4} בראשית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

g′(x)=12(4−x2)(x2+4)2g'(x)=\frac{12(4-x^2)}{(x^2+4)^2}

הנגזרת

g′(0)=4816=3\begin{aligned}g'(0) &= \frac{48}{16} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

המלכודת: לענות 00 — g(0)=0g(0)=0 הוא הגובה, לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שאלה ח. נתונה f(x)=x−1x+2f(x)=\dfrac{x-1}{x+2} ו-h(x)=1f(x)h(x)=\dfrac{1}{f(x)}. מהו תחום ההגדרה של hh?

  1. x≠−2x \neq -2
  2. x≠1x \neq 1 וגם x≠−2x \neq -2
  3. כל xx
  4. x≠1x \neq 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≠1x \neq 1 וגם x≠−2x \neq -2

הפתרון:

x≠−2x \neq -2

ff עצמה חייבת להיות מוגדרת

f(x)≠0⇒x≠1f(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

ואסור לחלק באפס

המלכודת: להפוך את השבר ל-x+2x−1\frac{x+2}{x-1} ולקרוא ממנו רק x≠1x \neq 1. hh בנויה מ-ff, ובמקום ש-ff לא מוגדרת גם hh לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שאלה ט. עבור h(x)=1f(x)h(x)=\dfrac{1}{f(x)} משאלה ח, השלימו.

נקודה סליקה ב-x=x= ____ בגובה y=y= ____. אסימפטוטה אנכית: x=x= ____. אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודה סליקה ב-x=x= -2 בגובה y=y= 0. אסימפטוטה אנכית: x=x= 1. אסימפטוטה אופקית: y=y= 1

הפתרון:

h(x)=x+2x−1 x≠−2\begin{aligned}h(x) &= \frac{x+2}{x-1} \\ \ x \neq -2\end{aligned}

הביטוי, עם התנאי

x=−2: 0−3=0\begin{aligned}x &= -2:\ \frac{0}{-3} \\ &= 0\end{aligned}

החור

x=1x=1

הקיר

y=1y=1

מעלות שוות

החור של hh יושב על ציר ה-xx: הביטוי x+2x−1\frac{x+2}{x-1} מתאפס ב-−2-2 — אבל −2-2 אינו בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שאלה י. הוכיחו כי h(x)=x+2x−1h(x)=\dfrac{x+2}{x-1} (x≠−2x \neq -2, x≠1x \neq 1) יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

  • h(x)=x+2x−1h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}
  • x≠−2x \neq -2, x≠1x \neq 1

hh יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה

להציג את התשובה והפתרון
  1. h′(x)=(x−1)−(x+2)(x−1)2h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2} — כלל המנה
  2. h′(x)=−3(x−1)2h'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2} — פישוט המונה
  3. (x−1)2>0(x-1)^2>0 — ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠1x \neq 1
  4. h′(x)<0h'(x)<0 — שלילי חלקי חיובי
  5. hh יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה — נגזרת שלילית בכל תחום

הפתרון:

h′(x)=(x−1)−(x+2)(x−1)2h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}

כלל המנה

h′(x)=−3(x−1)2h'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}

פישוט המונה

(x−1)2>0(x-1)^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠1x \neq 1

h′(x)<0h'(x)<0

שלילי חלקי חיובי

המלכודת: לכתוב תחום ירידה אחד x>1x>1 ועוד אחד x<1x<1 — ולשכוח שהחור x=−2x=-2 מפצל את השמאלי לשניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת