תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: אסימפטוטות אנכיות ונקודות סליקות, אסימפטוטה אופקית, סימן הפונקציה, כלל המנה, משיקים ונקודות קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

לפונקציה f(x)=x+23x−6f(x)=\dfrac{x+2}{3x-6} יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3x−6=0⇒x=2\begin{aligned}3x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

2+2=4≠02+2=4 \neq 0

המונה לא מתאפס שם — קיר, לא חור

האסימפטוטה האנכית היא x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האסימפטוטה האופקית של f(x)=5x2−x2x2+3f(x)=\dfrac{5x^2-x}{2x^2+3} היא y=ky=k. מהו kk? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

5x22x2=52\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}

אותה מעלה במונה ובמכנה — יחס האיברים המובילים

רחוק מהראשית הגרף מתקרב ל-y=2.5y=2.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לגרף של f(x)=x2−16x−4f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4} יש אסימפטוטה אנכית x=4x=4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(x−4)(x+4)x−4=x+4x≠4\begin{aligned}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} &= x+4 \\ \quad x\neq4\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

(4, 8)(4,\,8)

נקודה סליקה

הטענה שגויה: גם המונה מתאפס ב-x=4x=4, ולכן יש שם חור, לא קיר. x=4x=4 עדיין לא בתחום ההגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=2x+1x−1f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(x)=2(x−1)−(2x+1)⋅1(x−1)2f'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)\cdot1}{(x-1)^2}

כלל המנה

f′(x)=−3(x−1)2f'(x)=\frac{-3}{(x-1)^2}
f′(2)=−31=−3\begin{aligned}f'(2) &= \frac{-3}{1} \\ &= -3\end{aligned}

f′(2)=−3f'(2)=-3. הנגזרת שלילית בכל התחום — הפונקציה יורדת בכל ענף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x+3x−2f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}. באיזה תחום f(x)<0f(x)<0?

  1. −3<x<2-3<x<2
  2. x<2x<2
  3. x<−3x<-3 או x>2x>2
  4. −3≤x<2-3\le x<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −3<x<2-3<x<2

הפתרון:

x=−3x=-3

המונה מתאפס — חיתוך עם ציר ה-xx

x=2x=2

המכנה מתאפס — אסימפטוטה

x>2: +−3<x<2: −x<−3: +x>2:\ +\quad -3<x<2:\ -\quad x<-3:\ +

סימן בכל תחום

f<0f<0 בין −3-3 ל-22. ב-x=−3x=-3 הפונקציה שווה 00, לא שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x+5x−1f(x)=\dfrac{x+5}{x-1}. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=3x=3. מהו המספר החופשי במשוואה? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.5

הפתרון:

y0=f(3)=82=4\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=(x−1)−(x+5)(x−1)2=−6(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-1)-(x+5)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-6}{(x-1)^2}\end{aligned}
m=f′(3)=−64=−1.5\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= \frac{-6}{4} \\ &= -1.5\end{aligned}

השיפוע

y−4=−1.5(x−3)⇒y=−1.5x+8.5\begin{aligned}y-4 &= -1.5(x-3) \Rightarrow y \\ &= -1.5x+8.5\end{aligned}

המשוואה

המשיק הוא y=−1.5x+8.5y=-1.5x+8.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2x−2f(x)=\dfrac{x^2}{x-2}. מהו שיעור ה-yy של נקודת המינימום שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x≠2x\neq2

תחום הגדרה — קודם

f′(x)=2x(x−2)−x2(x−2)2=x(x−4)(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}\end{aligned}
x<0: +0<x<2: −2<x<4: −x>4: +x<0:\ +\quad 0<x<2:\ -\quad 2<x<4:\ -\quad x>4:\ +

מקסימום ב-x=0x=0, מינימום ב-x=4x=4

f(4)=162=8\begin{aligned}f(4) &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

המינימום (4, 8)(4,\,8) נמצא בענף הימני, והמקסימום (0, 0)(0,\,0) בענף השמאלי. אל תשוו ביניהם: כל קיצון נבדק בסביבה שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מפעל בנתניה מייצר xx ארגזים ביום. העלות הממוצעת לארגז, בש״ח, היא A(x)=x2+360010xA(x)=\dfrac{x^2+3600}{10x} (עבור x>0x>0). כמה ארגזים ביום צריך לייצר כדי שהעלות הממוצעת תהיה הקטנה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

A(x)=x10+360xA(x)=\frac{x}{10}+\frac{360}{x}

מפרקים את המנה

A′(x)=110−360x2A'(x)=\frac{1}{10}-\frac{360}{x^2}
x2=3600⇒x=60\begin{aligned}x^2 &= 3600 \Rightarrow x \\ &= 60\end{aligned}

x>0x>0; A′A' עובר מ-−- ל-++

A(60)=7200600=12\begin{aligned}A(60) &= \frac{7200}{600} \\ &= 12\end{aligned}

6060 ארגזים ביום, בעלות ממוצעת של 1212 ש״ח לארגז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1} יש נקודת קיצון שבה x=3x=3. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2x(x−1)−(x2+a)(x−1)2=x2−2x−a(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+a)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

9−6−a=09-6-a=0

קיצון — המונה של f′f' מתאפס ב-x=3x=3

a=3a=3

עבור a=3a=3: f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}, והסימן מתחלף ב-x=3x=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אחרי הוספת כלור לבריכה עירונית, ריכוז הכלור במים (ביחידות מתאימות) אחרי tt שעות הוא C(t)=30tt2+9C(t)=\dfrac{30t}{t^2+9}, עבור t≥0t\ge0. מהו הריכוז הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

C′(t)=30(t2+9)−30t⋅2t(t2+9)2=30(9−t2)(t2+9)2\begin{aligned}C'(t) &= \frac{30(t^2+9)-30t\cdot2t}{(t^2+9)^2} \\ &= \frac{30(9-t^2)}{(t^2+9)^2}\end{aligned}

המכנה חיובי — הסימן הוא סימן המונה

t=3t=3

C′C' עובר מ-++ ל-−-: מקסימום

C(3)=9018=5\begin{aligned}C(3) &= \frac{90}{18} \\ &= 5\end{aligned}

הריכוז הגדול ביותר, 55, מתקבל אחרי 33 שעות. אחר כך הוא יורד לאט אל האסימפטוטה y=0y=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת