תרגול · פונקציות שורש · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום הגדרה, גזירת שורש וכלל השרשרת, משוואות אי-רציונליות, משיקים, עלייה וירידה, וערכי קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתון $f(x) = \sqrt{x}$ . חשבו את $f'(16)$ . כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

\begin{aligned}f'(16) &= \frac{1}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

$f'(16) = 0.125$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ ?

$x \geq -3$
$-3 \leq x \leq 3$
$x \leq 3$
$x \leq -3$ או $x \geq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-3 \leq x \leq 3$

הפתרון:

9 - x^2 \geq 0

מה שמתחת לשורש — אי-שלילי

(3-x)(3+x) \geq 0 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3

פרבולה פתוחה כלפי מטה — חיובית בין השורשים

התחום הוא הקטע הסגור $-3 \leq x \leq 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מטיילים בכרמל זורקים אבן מצוק. זמן הנפילה (בשניות) מגובה של $h$ מטרים הוא בקירוב $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ . האבן נפלה $3$ שניות. מהו גובה הצוק, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\sqrt{\frac{h}{5}} = 3

\begin{aligned}\frac{h}{5} &= 9 \Rightarrow h \\ &= 45\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}\sqrt{\frac{45}{5}} &= \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בהצבה

גובה הצוק $45$ מטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{6x+4}$ . חשבו את $f'(2)$ . כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{6x+4}} \cdot 6 \\ &= \frac{3}{\sqrt{6x+4}}\end{aligned}

כופלים בנגזרת הפנימית $6$

\begin{aligned}f'(2) &= \frac{3}{\sqrt{16}} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

$f'(2) = 0.75$ . בלי הכפל בנגזרת הפנימית היה יוצא $0.125$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: $\sqrt{2x+7} = x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

2x + 7 = x^2 + 4x + 4

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

\begin{aligned}x^2 + 2x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 1 : \ \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}x &= -3 : \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

נפסל

הפתרון היחיד הוא $x = 1$ . ההעלאה בחזקת 2 הוסיפה פתרון זר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=2\sqrt{x}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ . מהו המספר החופשי במשוואה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}y_0 &= f(4) \\ &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \quad m &= f'(4) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 4 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 2\end{aligned}

המשיק הוא $y = 0.5x + 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=x-6\sqrt{x}$ . באיזה תחום הפונקציה עולה?

$x>3$
$x>0$
$x>9$
$0<x<9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x>9$

הפתרון:

x \geq 0

תחום הגדרה

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \\ \quad x > 0\end{aligned}

הנגזרת לא מוגדרת בקצה $x=0$

1 - \frac{3}{\sqrt{x}} > 0 \iff \sqrt{x} > 3 \iff x > 9

הפונקציה יורדת ב- $0<x<9$ ועולה ב- $x>9$ ; המינימום $(9,\,-9)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה $f(x)=x\sqrt{27-x}$ בתחום $0 \leq x \leq 27$ . מהו הערך המקסימלי של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{27-x} - \frac{x}{2\sqrt{27-x}} \\ &= \frac{54 - 3x}{2\sqrt{27-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

\begin{aligned}54 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54 \\ \quad f(27) &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הערך המקסימלי הוא $54$ , ב- $x = 18$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

רחפן של חברת משלוחים עף ליד תחנה. המרחק שלו מהתחנה (בק״מ) אחרי $t$ דקות הוא $d(t)=\sqrt{t^2-6t+25}$ . מהו המרחק הקטן ביותר בין הרחפן לתחנה, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}d'(t) &= \frac{2t - 6}{2\sqrt{t^2-6t+25}} \\ &= \frac{t-3}{\sqrt{t^2-6t+25}}\end{aligned}

כלל השרשרת; המכנה חיובי

t = 3

$d'$ עובר מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}d(3) &= \sqrt{9 - 18 + 25} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

המרחק הקטן ביותר הוא $4$ ק״מ, אחרי $3$ דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\sqrt{x+4} = 5 - \sqrt{x-1}

מבודדים שורש אחד

x + 4 = 25 - 10\sqrt{x-1} + x - 1

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}10\sqrt{x-1} &= 20 \Rightarrow \sqrt{x-1} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\sqrt{9} + \sqrt{4} &= 3 + 2 \\ &= 5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$x = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev