סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בנוסח הבגרות: חקירה מלאה עם משוואה, פרמטר, קריאת גרף הנגזרת, משיקים מאונכים, «הוכיחו או הפריכו», שטח בין משיקים ו«הביעו באמצעות».

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: תחום קודם, נגזרת עם תחום הגדרתה, נקודות חשודות וקצוות, ובדיקה בכל משוואה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=2x+8−xf(x)=\sqrt{2x+8}-x. השלימו.

תחום: x≥x \geq ____ ; מקסימום ב-x=x= ____ ; חיתוך עם ציר xx: x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≥x \geq -4 ; מקסימום ב-x=x= -3.5 ; חיתוך עם ציר xx: x=x= 4

הפתרון:

2x+8≥0 ⇒ x≥−42x+8 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

תחום

f′(x)=12x+8−1=0 ⇒ 2x+8=1 ⇒ x=−3.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2x+8}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x+8 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3.5\end{aligned}

נקודה חשודה; מ-++ ל-−-

2x+8=x ⇒ x2−2x−8=0 ⇒ x=4 x=−2\begin{aligned}\sqrt{2x+8} &= x \ \Rightarrow \ x^2-2x-8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx

x=4:4−4=0 ✓x=−2:2+2≠0 נפסל\begin{aligned}x &= 4: 4-4 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: 2+2 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=−2x=-2 נמצא בתחום, ובכל זאת נפסל. להיות בתחום לא מספיק: חייבים להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, כאשר a>0a>0. לפונקציה יש נקודת מקסימום ב-x=4x=4. השלימו.

a=a= ____ , הערך המקסימלי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 4 , הערך המקסימלי: 4

הפתרון:

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

הנגזרת

a4−1=0 ⇒ a=4\begin{aligned}\frac{a}{4}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=4x=4

f(4)=4⋅2−4=4\begin{aligned}f(4) &= 4 \cdot 2-4 \\ &= 4\end{aligned}

הערך המקסימלי

שני מספרים שווים כאן במקרה. aa נמצא מ-f′f', והערך המקסימלי מ-ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה משפט מתאר נכון את גרף הנגזרת של f(x)=xf(x)=\sqrt{x}?

  1. חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0
  2. חיובית, יורדת, ומוגדרת לכל x≥0x \geq 0
  3. חיובית ועולה
  4. שלילית ויורדת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0

הפתרון:

f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

x>0x>0

תחום הנגזרת

f′(1)=12>f′(4)=14\begin{aligned}f'(1) &= \tfrac{1}{2} > f'(4) \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

יורדת

הנכונה: חיובית, יורדת, ומוגדרת רק ל-x>0x>0. ff עולה, אבל f′f' יורדת. והנגזרת אינה מוגדרת ב-00, אף ש-ff מוגדרת שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשיק לגרף f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} מאונך לישר y=−2x+3y=-2x+3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

m⋅(−2)=−1 ⇒ m=12\begin{aligned}m \cdot (-2) &= -1 \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים

12x+1=12 ⇒ x=0 f(0)=1\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x+1}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ f(0) &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה

y=12x+1 ⇒ x=−2\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

המשיק וחיתוכו עם ציר xx

שיפוע מאונך הוא ההופכי הנגדי: 12\frac{1}{2}, לא 22 ולא −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: קיימת פונקציה f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}, כאשר a≠0a \neq 0, שיש לה נקודה שבה f′(x)=0f'(x)=0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=a2ax+bf'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

הנגזרת

a≠0 ⇒ f′(x)≠0a \neq 0 \ \Rightarrow \ f'(x) \neq 0

המונה לעולם אינו אפס

הטענה לא נכונה. ל-ax+b\sqrt{ax+b} אין קיצון פנימי. הקיצון היחיד שלה נמצא בקצה התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

(4,2)y = √xy = √(8−x)-5-4-3-2-1012345678910111213123xy

בשרטוט: הגרפים של f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ושל g(x)=8−xg(x)=\sqrt{8-x} נחתכים בנקודה (4,2)(4,2). בנקודה זו מעבירים משיק לכל אחד מהגרפים. מצאו את שטח המשולש שיוצרים שני המשיקים עם ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

f′(4)=14 ⇒ y=14x+1 ⇒ x=−4\begin{aligned}f'(4) &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{4}x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

המשיק ל-ff וחיתוכו עם ציר xx

g′(x)=−128−x ⇒ g′(4)=−14 ⇒ x=12\begin{aligned}g'(x) &= \frac{-1}{2\sqrt{8-x}} \ \Rightarrow \ g'(4) \\ &= -\frac{1}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

המשיק ל-gg: y=−14x+3y=-\frac{1}{4}x+3

(12−(−4))⋅22=16\frac{(12-(-4)) \cdot 2}{2}=16

בסיס 1616, גובה 22

הגובה הוא שיעור ה-yy של נקודת החיתוך, 22. מי ששוכח את המינוס בנגזרת של gg מקבל פעמיים את אותו משיק y=14x+1y=\frac{1}{4}x+1, ואין משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות f(x)=x+4f(x)=\sqrt{x+4} ו-g(x)=x−2g(x)=x-2. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של שני הגרפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x+4=x−2 ⇒ x+4=x2−4x+4\begin{aligned}\sqrt{x+4} &= x-2 \ \Rightarrow \ x+4 \\ &= x^2-4x+4\end{aligned}

משווים ומעלים בחזקת 2

x2−5x=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x^2-5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מועמדים

x=5:3=3 ✓x=0:2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 5: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

נקודת חיתוך אחת בלבד, (5,3)(5,3). ב-x=0x=0 הגרף של ff בגובה 22 והישר בגובה −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=(x−4)x−1f(x)=(x-4)\sqrt{x-1}. מיינו את הטענות.

  • נכון
  • לא נכון
  • (2, −2)(2,\,-2) נקודת מינימום
  • ב-x=1x=1 המשיק אופקי
  • הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4
  • הפונקציה יורדת ב-1<x<21<x<2
  • תחום ההגדרה x≥1x \geq 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה x≥1x \geq 1 — נכון · (2, −2)(2,\,-2) נקודת מינימום — נכון · הפונקציה יורדת ב-1<x<21<x<2 — נכון · ב-x=1x=1 המשיק אופקי — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4 — לא נכון

הפתרון:

f′(x)=x−1+x−42x−1=3x−62x−1\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x-1}+\frac{x-4}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x-1}}\end{aligned}

כלל המכפלה

x→1+: 3x−6→−3,  2x−1→0x \to 1^{+} : \ 3x-6 \to -3 ,\ \ 2\sqrt{x-1} \to 0

f′f' שלילית, וערכה המוחלט גדל ללא גבול: ב-x=1x=1 המשיק אנכי

f(1)=0f(1)=0

גם x=1x=1 נקודת חיתוך

ב-x=1x=1 המשיק אנכי, כי המכנה מתאפס והמונה לא. וקצה התחום (1,0)(1,0) הוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=axf(x)=\sqrt{ax}, כאשר a>0a>0. הביעו באמצעות aa את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a.

  1. 12\dfrac{1}{2}
  2. a2\dfrac{\sqrt{a}}{2}
  3. 12a\dfrac{1}{2a}
  4. a2\dfrac{a}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 12\dfrac{1}{2}

הפתרון:

f′(x)=a2axf'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax}}

נגזרת הפנימית aa

f′(a)=a2a2=a2a=12\begin{aligned}f'(a) &= \frac{a}{2\sqrt{a^2}} \\ &= \frac{a}{2a} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

a2=a\sqrt{a^2}=a כי a>0a>0

הנכונה: 12\frac{1}{2}, והשיפוע לא תלוי ב-aa. 12a\frac{1}{2a} שוכחת את נגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. השלימו.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; מספר נקודות החיתוך עם ציר xx: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=x= -2 , y=y= -2 ; מספר נקודות החיתוך עם ציר xx: 2

הפתרון:

f′(x)=x+3+x2x+3=3x+62x+3\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=−2 f(−2)=−21=−2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ f(-2) &= -2\sqrt{1} \\ &= -2\end{aligned}

נקודה חשודה והגובה

xx+3=0 ⇒ x=0 x=−3\begin{aligned}x\sqrt{x+3} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך

x=−3x=-3 הוא קצה התחום וגם נקודת חיתוך. מי שמחפש רק x=0x=0 מפספס אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת