סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלות בגרות קצרות: חקירה עם גורם שורש, ערכי קיצון בתחום סגור, משיק מנקודה חיצונית, x2\sqrt{x^2} וטעות שמסתתרת בשורה האחרונה.

בכל חקירה רשמו את הקצוות לצד הנקודות שבהן f′=0f'=0. ובכל תשובה של משוואה: האם השורה האחרונה כוללת את הבדיקה?

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: x+5−x=1\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x+5=1+x\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x+5=1+2x+xx+5=1+2\sqrt{x}+x

מעלים בחזקת 2

x=2 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים ומעלים שוב

9−4=1 ✓\sqrt{9}-\sqrt{4}=1 \ \checkmark

בדיקה

מי שמעלה בחזקת 2 את x+5−x\sqrt{x+5}-\sqrt{x} בלי לבודד מקבל x+5+x=1x+5+x=1, ושוכח את האיבר האמצעי −2x(x+5)-2\sqrt{x(x+5)}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=(x−3)xf(x)=(x-3)\sqrt{x}. השלימו.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; חיתוך עם ציר xx שאינו בראשית: x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=x= 1 , y=y= -2 ; חיתוך עם ציר xx שאינו בראשית: x=x= 3

הפתרון:

f′(x)=x+x−32x=3x−32x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-3}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=1 f(1)=−21=−2\begin{aligned}x &= 1 \\ \ f(1) &= -2\sqrt{1} \\ &= -2\end{aligned}

נקודה חשודה והגובה

(x−3)x=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}(x-3)\sqrt{x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx

הנקודה (0,0)(0,0) היא מקסימום בקצה התחום: הפונקציה מתחילה שם ומיד יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−4x+13f(x)=\sqrt{x^2-4x+13}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2x−42x2−4x+13=x−2x2−4x+13\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+13}} \\ &= \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+13}}\end{aligned}

הנגזרת

x=2x=2

מ-−- ל-++: מינימום

f(2)=4−8+13=3\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{4-8+13} \\ &= 3\end{aligned}

הערך

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של x−2x-2. מי שעונה 22 נתן את שיעור ה-xx, לא את הערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x+50−xf(x)=\sqrt{x}+\sqrt{50-x}. מה נכון לגבי ערכי הקיצון שלה?

  1. ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מינימלי 525\sqrt{2} בקצוות
  2. ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25, ואין ערך מינימלי
  3. ערך מקסימלי 525\sqrt{2} ב-x=25x=25
  4. ערך מינימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מקסימלי בקצוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ערך מקסימלי 1010 ב-x=25x=25; ערך מינימלי 525\sqrt{2} בקצוות

הפתרון:

0≤x≤500 \leq x \leq 50

תחום

12x=1250−x ⇒ x=25\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x}} &= \frac{1}{2\sqrt{50-x}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

נקודה חשודה

f(25)=10f(0)=f(50)=50=52≈7.07\begin{aligned}f(25) &= 10 \qquad f(0) \\ &= f(50) \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

משווים

הנכונה: מקסימום 1010, ומינימום 525\sqrt{2} בקצוות. «אין ערך מינימלי» שוכח שהתחום סגור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהנקודה O(0,0)O(0,0) יוצא ישר שמשיק לגרף f(x)=x−3f(x)=\sqrt{x-3}. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

y=t−3+12t−3(x−t)y=\sqrt{t-3}+\frac{1}{2\sqrt{t-3}}(x-t)

המשיק בנקודה שבה x=tx=t

0=t−3−t2t−30=\sqrt{t-3}-\frac{t}{2\sqrt{t-3}}

המשיק עובר בראשית

2(t−3)=t ⇒ t=6\begin{aligned}2(t-3) &= t \ \Rightarrow \ t \\ &= 6\end{aligned}

כופלים ב-2t−32\sqrt{t-3}

את הראשית מציבים במשוואת המשיק. היא לא על הגרף, ולכן אסור להציב אותה ב-ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל x≠0x \neq 0 מתקיים (x2)′=1\left(\sqrt{x^2}\right)'=1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|

שורש של ריבוע הוא ערך מוחלט

x<0: x2=−x ⇒ (x2)′=−1\begin{aligned}x<0: \ \sqrt{x^2} &= -x \ \Rightarrow \ \left(\sqrt{x^2}\right)' \\ &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית: x=−2x=-2

הטענה לא נכונה. x2≠x\sqrt{x^2} \neq x כש-xx שלילי. בדיקה: (−2)2=2\sqrt{(-2)^2}=2, ולא −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו: 4x+1=2x−1\sqrt{4x+1}=2x-1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4x+1=4x2−4x+1 ⇒ 4x2−8x=0\begin{aligned}4x+1 &= 4x^2-4x+1 \ \Rightarrow \ 4x^2-8x \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0 x=2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מועמדים

x=2:3=3 ✓x=0:1≠−1 נפסל\begin{aligned}x &= 2: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 1 \neq -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=0x=0 נפסל: אגף ימין 2x−12x-1 שלילי שם. מי שמדלג על הבדיקה עונה שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x+axf(x)=\sqrt{x}+\dfrac{a}{\sqrt{x}}, כאשר a>0a>0. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=4x=4. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(x)=x12+ax−12f(x)=x^{\frac{1}{2}}+a x^{-\frac{1}{2}}

כותבים כחזקות

f′(x)=12x−a2xx=x−a2xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{a}{2x\sqrt{x}} \\ &= \frac{x-a}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל החזקה ומכנה משותף

x=a=4\begin{aligned}x &= a \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

הכתיבה כחזקה חוסכת את כלל המנה. מי שגוזר את ax\frac{a}{\sqrt{x}} ל-a2x\frac{a}{2\sqrt{x}} שוכח שהחזקה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+7=x+1\sqrt{x+7}=x+1
x+7=(x+1)2x+7=(x+1)^2
x2+x−6=0x^2+x-6=0
הפתרונות: x=2  x=−3\begin{aligned}\text{הפתרונות: } x &= 2 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרונות: x=2 , x=−3\text{הפתרונות: } x=2 \ , \ x=-3 → הפתרון: x=2  (x=−3 נפסל)\text{הפתרון: } x=2 \ \ (x=-3 \ \text{נפסל})

הפתרון:

x=2:9=3=2+1 ✓\begin{aligned}x &= 2: \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2+1 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=−3:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= -3: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

נפסל

כל החישובים נכונים. הטעות בשורה האחרונה: היא מדלגת על הבדיקה. הפתרון היחיד x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את kk שעבורו הישר y=x+ky=x+k משיק לגרף f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f′(x)=12x=1 ⇒ x=14\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפוע המשיק 11

f(14)=12f\left(\tfrac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}

נקודת ההשקה

12=14+k ⇒ k=14\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{1}{4}+k \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

הישר עובר בנקודה

שני תנאים: אותו שיפוע ונקודה משותפת. שיפוע לבד לא קובע את kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת