סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלות שמשלבות שני רעיונות: משוואה עם שני שורשים, מקסימום עם כלל המכפלה, פרמטר בנגזרת, משיק שעובר בנקודה נתונה ושטח.

כששני שורשים במשוואה, מבודדים אחד לפני כל העלאה בחזקה. וכשנקודה אינה על הגרף, מציבים אותה במשוואת המשיק.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+2x−3f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}?

  1. x≠3x \neq 3
  2. x≥−2x \geq -2
  3. x>3x > 3
  4. x≥−2x \geq -2 וגם x≠3x \neq 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≥−2x \geq -2 וגם x≠3x \neq 3

הפתרון:

x+2≥0 ⇒ x≥−2x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

השורש במונה

x−3≠0 ⇒ x≠3x-3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

המכנה

הנכונה: x≥−2x \geq -2 וגם x≠3x \neq 3. שני תנאים, משני מקורות. «x≥−2x \geq -2» שוכח את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: 2x+3−x+1=1\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1. למשוואה שני פתרונות.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרון הקטן: -1 , הפתרון הגדול: 3

הפתרון:

2x+3=1+x+1\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}

מבודדים שורש אחד

2x+3=1+2x+1+x+12x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1

מעלים בחזקת 2: נשאר שורש אחד

x+1=2x+1x+1=2\sqrt{x+1}

מבודדים שוב

(x+1)2=4(x+1) ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}(x+1)^2 &= 4(x+1) \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מעלים שוב בחזקת 2

x=−1:1−0=1 ✓x=3:3−2=1 ✓\begin{aligned}x &= -1: 1-0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: 3-2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שמחלק ב-x+1\sqrt{x+1} מאבד את x=−1x=-1. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x}. מהו הערך המקסימלי של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

f′(x)=12−x−x212−x=24−3x212−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x}} \\ &= \frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=8x=8

המונה מתאפס; מ-++ ל-−-

f(8)=84=16\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

הערך

בלי כלל המכפלה אי אפשר: שני הגורמים תלויים ב-xx. מי שגוזר רק את השורש ומשאיר את xx בחוץ מקבל −x212−x\frac{-x}{2\sqrt{12-x}}. הנגזרת הזאת מתאפסת רק ב-x=0x=0, והמקסימום נעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=4x+1f(x)=\sqrt{4x+1} שמקביל לישר y=2xy=2x?

  1. y=2xy=2x
  2. y=2x+1y=2x+1
  3. אין משיק כזה
  4. y=2x−1y=2x-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=2x+1y=2x+1

הפתרון:

f′(x)=24x+1=2 ⇒ 4x+1=1 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{4x+1}} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ 4x+1 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

אותו שיפוע

f(0)=1f(0)=1

נקודת ההשקה (0,1)(0,1)

y−1=2(x−0) ⇒ y=2x+1\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x+1\end{aligned}

המשיק

הנכונה: y=2x+1y=2x+1. y=2xy=2x הוא הישר הנתון עצמו: מקביל, אבל לא עובר בנקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: לגרף f(x)=x+4f(x)=\sqrt{x+4} יש משיק ששיפועו −1-1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=12x+4f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}

הנגזרת

12x+4>0 ,x>−4\frac{1}{2\sqrt{x+4}}>0 \ ,\quad x>-4

מונה ומכנה חיוביים

הטענה לא נכונה. השיפוע חיובי בכל נקודה, ולכן אין משיק בשיפוע שלילי. מספיק לראות את הסימן, בלי לפתור משוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x2+kf(x)=\sqrt{x^2+k}, כאשר k>0k>0. ידוע ש-f′(2)=12f'(2)=\frac{1}{2}. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f′(x)=xx2+kf'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}

הנגזרת

24+k=12 ⇒ 4+k=4\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{4+k}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{4+k} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

4+k=16 ⇒ k=12\begin{aligned}4+k &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 12\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

מי שכותב f′(x)=12x2+kf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+k}} שוכח את 2x2x, ומקבל k<0k<0 שאינו מתאים לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו את המשוואות: באילו מהן אחד הפתרונות נפסל בבדיקה?

  • יש פתרון שנפסל
  • כל הפתרונות מתאימים
  • 3x−2=x\sqrt{3x-2}=x
  • 5x−4=x\sqrt{5x-4}=x
  • x=x\sqrt{x}=x
  • x+2=x\sqrt{x+2}=x
  • x+6=x\sqrt{x+6}=x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+2=x\sqrt{x+2}=x — יש פתרון שנפסל · x+6=x\sqrt{x+6}=x — יש פתרון שנפסל · 3x−2=x\sqrt{3x-2}=x — כל הפתרונות מתאימים · x=x\sqrt{x}=x — כל הפתרונות מתאימים · 5x−4=x\sqrt{5x-4}=x — כל הפתרונות מתאימים

הפתרון:

x+2=x : x=2 x=−1 נפסל\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ : \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

מועמד שלילי נפסל

5x−4=x : x=1 x=4\begin{aligned}\sqrt{5x-4} &= x \ : \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים ומתאימים

באגף ימין עומד xx. לכן כל מועמד שלילי נפסל מיד, וכל מועמד אי-שלילי מתאים כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף f(x)=xf(x)=\sqrt{x} בנקודה שבה x=ax=a עובר בנקודה (−4, 0)(-4,\,0). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=a+12a(x−a)y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)

המשיק בנקודה (a,a)(a,\sqrt{a})

0=a+−4−a2a0=\sqrt{a}+\frac{-4-a}{2\sqrt{a}}

מציבים (−4,0)(-4,0)

2a=4+a ⇒ a=4\begin{aligned}2a &= 4+a \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב-2a2\sqrt{a}

את הנקודה (−4,0)(-4,0) מציבים במשוואת המשיק, לא ב-ff: היא לא על הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו תחום הערכים של f(x)=4−x2f(x)=\sqrt{4-x^2}?

  1. 0≤y≤20 \leq y \leq 2
  2. −2≤y≤2-2 \leq y \leq 2
  3. y≤2y \leq 2
  4. y≥0y \geq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0≤y≤20 \leq y \leq 2

הפתרון:

0≤4−x2≤40 \leq 4-x^2 \leq 4

בתחום −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2

0≤4−x2≤20 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 2

מוציאים שורש

הנכונה: 0≤y≤20 \leq y \leq 2. −2≤y≤2-2 \leq y \leq 2 מבלבל בין תחום ההגדרה לתחום הערכים. שורש אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

(4,2)ABy = √x-5-4-3-2-10123456789123xy

בשרטוט: המשיק לגרף f(x)=xf(x)=\sqrt{x} בנקודה (4,2)(4,2) חותך את הצירים בנקודות AA ו-BB. מצאו את שטח המשולש AOBAOB, כאשר OO ראשית הצירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y=14x+1y=\frac{1}{4}x+1

המשיק: f′(4)=14f'(4)=\frac{1}{4}

A(−4, 0), B(0, 1)A(-4,\,0) ,\ B(0,\,1)

חיתוך עם הצירים

4⋅12=2\frac{4 \cdot 1}{2}=2

משולש ישר זווית בראשית

האורך OAOA הוא 44, ולא −4-4: אורך אינו שלילי. שטח שלילי הוא סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת