סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים או שלושה צעדים: תחום בשיטת הקטעים, כלל השרשרת, משוואה עם פתרון שנפסל, משיק ותחומי עלייה.

רוב הטעויות כאן הן נגזרת הפנימית שנשכחה ובדיקה שלא נעשתה. חפשו אותן בכל שאלה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}?

  1. 0≤x≤60 \leq x \leq 6
  2. x≥0x \geq 0
  3. x≥6x \geq 6
  4. x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6

הפתרון:

x(x−6)≥0x(x-6) \geq 0

מפרקים

x≤0 או x≥6x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 6

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6. 0≤x≤60 \leq x \leq 6 הוא הקטע שבו הביטוי שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′(3)f'(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

f′(x)=2x2x2+16=xx2+16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}

הנגזרת

f′(3)=35=0.6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

מציבים

בלי נגזרת הפנימית היה יוצא 110\frac{1}{10}. x2+16x^2+16 אינו xx: הנגזרת שלו 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x+10}=x-2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x+10=x2−4x+4 ⇒ x2−5x−6=0\begin{aligned}x+10 &= x^2-4x+4 \ \Rightarrow \ x^2-5x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

x=6:4=4 ✓x=−1:3≠−3 נפסל\begin{aligned}x &= 6: 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: 3 \neq -3 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=−1x=-1 נפסל: אגף ימין x−2x-2 שלילי שם, ושורש אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=5x−1f(x)=\sqrt{5x-1} בנקודה שבה x=1x=1. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f(1)=2f(1)=2

נקודת ההשקה (1,2)(1,2)

f′(x)=525x−1 ⇒ f′(1)=54\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5}{2\sqrt{5x-1}} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

השיפוע

y=54(x−1)+2=54x+34\begin{aligned}y &= \frac{5}{4}(x-1)+2 \\ &= \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\end{aligned}

המשיק

שיעור ה-yy של החיתוך הוא 0.750.75. מי ששוכח את נגזרת הפנימית מקבל שיפוע 14\frac{1}{4} ומשיק שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. x>9x>9
  2. 0<x<90<x<9
  3. x>0x>0
  4. x<9x<9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0<x<90<x<9

הפתרון:

f′(x)=1−3xf'(x)=1-\frac{3}{\sqrt{x}}

הנגזרת

x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}\sqrt{x} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)=−2<0f'(1)=-2<0

ב-0<x<90<x<9 יורדת

הנכונה: 0<x<90<x<9. x<9x<9 כולל ערכים שליליים שאינם בתחום ההגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x(x−1)f(x)=\sqrt{x}(x-1)
f(x)=x32−x12f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}
f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} → f′(x)=32x12−12x−12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

הפתרון:

(x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

החזקה קטנה באחד

f′(x)=32x−12xf'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}

חוזרים לשורש

הטעות בשורה השלישית: 12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}, ולא 12\frac{1}{2}. בגזירת x12x^{\frac{1}{2}} החזקה קטנה באחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2} מוגדרת בנקודה x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

9−32=09-3^2=0

מה שמתחת לשורש

f(3)=0=0\begin{aligned}f(3) &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר

הטענה נכונה. הפונקציה מוגדרת ב-x=3x=3, אבל הנגזרת −x9−x2\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} אינה מוגדרת שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=3x−6f(x)=\sqrt{3x-6}. השלימו.

המשיק האנכי לגרף: x=x= ____ , f′(5)=f'(5)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המשיק האנכי לגרף: x=x= 2 , f′(5)=f'(5)= 0.5

הפתרון:

3x−6=0 ⇒ x=2\begin{aligned}3x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: שם המשיק אנכי

f′(x)=323x−6 ⇒ f′(5)=36=0.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3}{2\sqrt{3x-6}} \ \Rightarrow \ f'(5) \\ &= \frac{3}{6} \\ &= 0.5\end{aligned}

השיפוע ב-x=5x=5

המשיק האנכי אינו x=6x=6: פותרים 3x−6=03x-6=0 ומחלקים ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: x2−5=2\sqrt{x^2-5}=2

  1. x=3x=3 או x=−3x=-3
  2. x=±7x=\pm \sqrt{7}
  3. x=3x=3 בלבד
  4. אין פתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x=3x=3 או x=−3x=-3

הפתרון:

x2−5=4 ⇒ x2=9\begin{aligned}x^2-5 &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=±3x=\pm 3

שני מועמדים

9−5=2 ✓\sqrt{9-5}=2 \ \checkmark

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: x=3x=3 או x=−3x=-3. xx עצמו יכול להיות שלילי; רק השורש אינו שלילי. x=±7x=\pm\sqrt{7} מתקבל כששוכחים להעלות את ה-22 בחזקה: x2−5=2x^2-5=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את הערך המינימלי של הפונקציה f(x)=x−6x+10f(x)=x-6\sqrt{x}+10.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=1−3x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{3}{\sqrt{x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)<0, f′(16)>0f'(1)<0 ,\ f'(16)>0

מינימום

f(9)=9−18+10=1\begin{aligned}f(9) &= 9-18+10 \\ &= 1\end{aligned}

הערך

f(0)=10>1f(0)=10 > 1

הקצה אינו נמוך יותר

הערך המינימלי הוא ערך של ff: 11. מי שעונה 99 נתן את שיעור ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת