תחום ההגדרה ופונקציית השורש · פונקציות שורש · כיתה י׳

נסו להקיש במחשבון $\sqrt{-4}$ : תופיע הודעת שגיאה. אין מספר ממשי שריבועו $-4$ . לכן לגרף של $y=\sqrt{x}$ אין אף נקודה משמאל לציר ה- $y$ . הסתכלו על הגרף לפני כל כלל.

הגרף של y = √x

הגרף מתחיל בנקודה

(0,0)

ופונה ימינה. הוא עולה, אבל לאט יותר ויותר: כדי לעלות מ-

2

ל-

3

צריך להתקדם מ-

x=4

עד

x=9

לפי הגרף: למה הגרף לא ממשיך שמאלה מהנקודה $(0,0)$ ? ומהו תחום הערכים של $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

משמאל ל- $0$ הערכים של $x$ שליליים, ושורש של מספר שלילי אינו מוגדר. הערכים של $y$ הם $y \geq 0$ : שורש אף פעם אינו שלילי.

תחום ההגדרה של $\sqrt{g(x)}$

y = \sqrt{g(x)} \quad : \quad g(x) \geq 0

מה שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי. לכן תחום ההגדרה הוא פתרון של אי-שוויון. אי-שוויון ממעלה ראשונה פותרים ישירות, ואי-שוויון ריבועי פותרים בשיטת הקטעים.

\sqrt{x-3} \ : \ x \geq 3

אי-שוויון ממעלה ראשונה

\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים ב- $-2$ , ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך

\sqrt{x^2-9} \ : \ x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שיטת הקטעים: הפרבולה $x^2-9$ חיובית מחוץ לשורשים

\sqrt{x^2+1} \ : \ \text{כל } x

$x^2+1 \geq 1$ תמיד

\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

השורש במכנה, ולכן אסור שיהיה $0$

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^2-4x}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2-4x=x(x-4) \geq 0$ . השורשים $0$ ו- $4$ , והפרבולה חיובית מחוץ להם: $x \leq 0$ או $x \geq 4$ . בין $0$ ל- $4$ הפונקציה אינה מוגדרת.

הזזות ושיקופים של $\sqrt{x}$

$\sqrt{ax+b}$ — מאיפה הגרף מתחיל ולאן הוא פונה

הגרף של $y=\sqrt{ax+b}$ מתחיל בנקודה שבה $ax+b=0$ , כלומר ב- $\left(-\frac{b}{a},\,0\right)$ . אם $a>0$ הגרף פונה ימינה ( $x \geq -\frac{b}{a}$ ). אם $a<0$ הגרף פונה שמאלה ( $x \leq -\frac{b}{a}$ ).

תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה $f(x)=\sqrt{8-2x}-2$ . מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

8-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

תחום ההגדרה. $a=-2<0$ , ולכן הגרף פונה שמאלה

\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{0}-2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: $(4,\,-2)$

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8}-2 \\ &= 2\sqrt{2}-2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,2\sqrt{2}-2)$

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : $(2,\,0)$ . בדיקה: $\sqrt{4}-2=0$ ✓

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שני השורשים צריכים להיות מוגדרים: $x \geq -1$ וגם $x \leq 3$ . התחום הוא $-1 \leq x \leq 3$ : החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

תחום ההגדרה הוא הצעד הראשון בכל שאלה על פונקציית שורש: בחקירה, במשוואה ובמשיק. פתרון שנמצא מחוץ לתחום נפסל מיד.

שלוש הטעויות בתחום ההגדרה.

\sqrt{6-2x} \ : \ x \geq 3

\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים את $-2x \geq -6$ במספר שלילי, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך. בדיקה: $x=0$ נותן $\sqrt{6}$ , מוגדר.

\sqrt{x^2-9} \ : \ x \geq 3

x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שכחו את החצי השמאלי. בדיקה: $x=-5$ נותן $\sqrt{16}=4$ , מוגדר.

\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x \geq 2

\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

ב- $x=2$ המכנה הוא $0$ . שורש במכנה דורש אי-שוויון חזק.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{6-3x}$ ?

$x \leq 2$
$x < 2$
$x \geq 2$
$x \geq -2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x \leq 2$

הפתרון:

6-3x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

-3x \geq -6 \ \Rightarrow \ x \leq 2

מחלקים ב- $-3$ והופכים את הכיוון

הנכונה: $x \leq 2$ . מי שבחר $x \geq 2$ לא הפך את כיוון האי-שוויון. מי שבחר $x<2$ שכח שב- $x=2$ מתקבל $\sqrt{0}=0$ , מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\sqrt{2x+6}$ . השלימו.

תחום ההגדרה: $x \geq$ ____ , $f(5)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: $x \geq$ -3 , $f(5)=$ 4

הפתרון:

2x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

תחום ההגדרה

\begin{aligned}f(5) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

הגרף מתחיל ב- $(-3,\,0)$ ופונה ימינה. $\sqrt{16}=4$ ולא $\pm 4$ : השורש הוא תמיד הערך האי-שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^2-16}$ ?

$x \geq 4$
$x \leq -4$ או $x \geq 4$
כל $x$
$-4 \leq x \leq 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x \leq -4$ או $x \geq 4$

הפתרון:

x^2-16=(x-4)(x+4) \geq 0

מפרקים

x \leq -4 \ \text{או} \ x \geq 4

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: $x \leq -4$ או $x \geq 4$ . $-4 \leq x \leq 4$ הוא בדיוק הקטע שבו הביטוי שלילי. $x \geq 4$ שוכח את החצי השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{x+5}-3$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{x+5}-3 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+5} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

\begin{aligned}x+5 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\sqrt{9}-3=0

בדיקה ✓

מי שכותב $x+5=3$ שכח להעלות בחזקת 2. ומי שפותר $\sqrt{x}=3-5$ הוציא את ה- $5$ מתוך השורש, וזה אסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו את הפונקציות: באילו מהן $x=2$ נמצא בתחום ההגדרה?

מוגדרת ב- $x=2$
לא מוגדרת ב- $x=2$

$\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$
$\sqrt{2x-4}$
$\sqrt{5-x}$
$\sqrt{x-3}$
$\sqrt{x^2-3x+2}$
$\sqrt{x^2-5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sqrt{5-x}$ — מוגדרת ב- $x=2$ · $\sqrt{2x-4}$ — מוגדרת ב- $x=2$ · $\sqrt{x^2-3x+2}$ — מוגדרת ב- $x=2$ · $\sqrt{x-3}$ — לא מוגדרת ב- $x=2$ · $\sqrt{x^2-5}$ — לא מוגדרת ב- $x=2$ · $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ — לא מוגדרת ב- $x=2$

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{2 \cdot 2-4} &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר: אפס מותר מתחת לשורש

\sqrt{4-6+2}=0

גם כאן אפס

\frac{1}{\sqrt{0}}

חילוק באפס: לא מוגדר

אפס מותר מתחת לשורש, אבל אסור במכנה. לכן $\sqrt{2x-4}$ מוגדרת ב- $x=2$ ו- $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$ ?

כל $x$
$x \geq -1$
$x \leq 3$
$-1 \leq x \leq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-1 \leq x \leq 3$

הפתרון:

x+1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -1

השורש הראשון

3-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

השורש השני

-1 \leq x \leq 3

שניהם יחד: חיתוך

הנכונה: $-1 \leq x \leq 3$ . «כל $x$ » מתקבל כשלוקחים איחוד של התחומים. אבל סכום מוגדר רק כששני המחוברים מוגדרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^2+4}$ הוא כל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+4 \geq 4 > 0

הביטוי חיובי תמיד

הטענה נכונה. לא כל שורש מגביל את התחום: כאן מה שמתחת לשורש לעולם אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{12-x-x^2}$ הוא קטע. מהו אורך הקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

12-x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+x-12 \leq 0

כופלים ב- $-1$ והופכים את הכיוון

(x+4)(x-3) \leq 0 \ \Rightarrow \ -4 \leq x \leq 3

בין השורשים

3-(-4)=7

אורך הקטע

אחרי הכפל ב- $-1$ הכיוון מתהפך. מי ששוכח את זה מקבל $x \leq -4$ או $x \geq 3$ , ושם אין קטע סופי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

$\sqrt{x-4}$
$\sqrt{4-x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}$

$x \geq 4$
$x \leq 4$
$x < 4$
$x > 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sqrt{x-4}$ — $x \geq 4$ · $\sqrt{4-x}$ — $x \leq 4$ · $\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}$ — $x > 4$ · $\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}$ — $x < 4$

הפתרון:

4-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני $x$ הופך את הכיוון

\sqrt{x-4} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

במכנה: אי-שוויון חזק

ארבעה תחומים שונים, וכולם סביב המספר $4$ . שני דברים מבדילים ביניהם: הסימן של $x$ (הכיוון), והמכנה (האם $4$ עצמו נכלל).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ . ידוע שתחום ההגדרה של $f$ הוא $x \leq 5$ , ושהגרף עובר בנקודה $(1,\,2)$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ -1 , $b=$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}-\frac{b}{a} &= 5 \ \Rightarrow \ b \\ &= -5a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב- $x=5$

\begin{aligned}\sqrt{a+b} &= 2 \ \Rightarrow \ a+b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה $(1,2)$ על הגרף

\begin{aligned}a-5a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \ b &= 5\end{aligned}

מציבים

\sqrt{5-x} \ : \ x \leq 5

בדיקה ✓

התחום $x \leq 5$ אומר גם ש- $a<0$ : הגרף פונה שמאלה. $a=-1$ מתאים לזה. מי שמקבל $a>0$ טעה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תחום ההגדרה של g(x)\sqrt{g(x)}g(x)​

הזזות ושיקופים של x\sqrt{x}x​

ax+b\sqrt{ax+b}ax+b​ — מאיפה הגרף מתחיל ולאן הוא פונה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

תחום ההגדרה של $\sqrt{g(x)}$

הזזות ושיקופים של $\sqrt{x}$

$\sqrt{ax+b}$ — מאיפה הגרף מתחיל ולאן הוא פונה