משוואות אי-רציונליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משוואה שבה הנעלם נמצא מתחת לשורש נקראת משוואה אי-רציונלית. נתחיל ב-x+2=x\sqrt{x+2}=x, ונסתכל קודם על הגרפים של שני האגפים.

לפי הגרף: כמה פתרונות יש למשוואה x+2=x\sqrt{x+2}=x?

להציג את התשובה והפתרון

פתרון אחד, x=2x=2. זו נקודת החיתוך היחידה של שני הגרפים.

פותרים — ומקבלים פתרון אחד יותר מדי

נעלה את שני האגפים בחזקת 2, ונפתור.

x+2=x ⇒ x+2=x2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= x^2\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

x2−x−2=0 ⇒ x=2 או x=−1\begin{aligned}x^2-x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=2: 4=2 ✓\begin{aligned}x &= 2 : \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתאים

x=−1: 1=1≠−1 נפסל\begin{aligned}x &= -1 : \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: לא מתאים, נפסל

x=2x=2

הפתרון היחיד, בדיוק כמו בגרף

מאיפה בא x=−1x=-1? ההעלאה בחזקת 2 איננה הפיכה. אם a=ba=b אז a2=b2a^2=b^2, אבל a2=b2a^2=b^2 מתקיים גם כש-a=−ba=-b. המספר −1-1 פותר את המשוואה x+2=−x\sqrt{x+2}=-x, ולא את המשוואה שלנו.

ארבעה שלבים — והרביעי חובה

11

מבודדים את השורש באגף אחד

22

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

33

פותרים את המשוואה שהתקבלה

44

בודקים כל פתרון בהצבה במשוואה המקורית, ופוסלים את מה שלא מתאים

בלי לחשב: כמה פתרונות יש למשוואה x−3=−2\sqrt{x-3}=-2?

להציג את התשובה והפתרון

אין פתרון. שורש אינו שלילי לעולם. מי שמעלה בחזקת 2 מקבל x=7x=7, והבדיקה נותנת 4=2≠−2\sqrt{4}=2 \neq -2.

שורש שווה לשורש

שני שורשים, ותחום הגדרה

פתרו: x+5=3x−1\sqrt{x+5}=\sqrt{3x-1}

x+5=3x−1x+5=3x-1

מעלים בחזקת 2: שני השורשים נעלמים

x=3x=3

פותרים

8=8 ✓\sqrt{8}=\sqrt{8} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים ושווים

כששני האגפים שורשים, הסכנה איננה סימן אלא תחום הגדרה. ב-x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x} מקבלים x=3x=3, אבל 3−5\sqrt{3-5} אינו מוגדר. לכן גם כאן בודקים.

שלוש הטעויות במשוואות אי-רציונליות.

x+2=x ⇒ x=2 x=−1\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x+2=x ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בלי בדיקה נשאר פתרון זר. 1=1\sqrt{1}=1, ולא −1-1.

(x+1)2=x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+1
(x+1)2=x+2x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1

נוסחת הכפל המקוצר חלה גם על שורשים. בגלל האיבר האמצעי מבודדים את השורש לפני ההעלאה בחזקה.

x2+9=x+3\sqrt{x^2+9}=x+3
x2+9≠x+3\sqrt{x^2+9} \neq x+3

שורש של סכום אינו סכום של שורשים. בדיקה: x=4x=4 נותן 5≠75 \neq 7.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: x+7=3\sqrt{x+7}=3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x+7=9x+7=9

מעלים בחזקת 2

x=2x=2

פותרים

9=3 ✓\sqrt{9}=3 \ \checkmark

בדיקה

מי שכותב x+7=3x+7=3 שכח להעלות בחזקת 2, ומקבל x=−4x=-4. שם 3≠3\sqrt{3} \neq 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: 3x−2=x\sqrt{3x-2}=x. למשוואה שני פתרונות. השלימו.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרון הקטן: 1 , הפתרון הגדול: 2

הפתרון:

3x−2=x2 ⇒ x2−3x+2=0\begin{aligned}3x-2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-3x+2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=1 או x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

1=1 ✓4=2 ✓\begin{aligned}\sqrt{1} &= 1 \ \checkmark \qquad \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הבדיקה לא תמיד פוסלת. כאן שני הפתרונות מתאימים. אבל גם כאן חייבים לבדוק, כי אי אפשר לדעת מראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: x+6=x\sqrt{x+6}=x

  1. x=−2x=-2 בלבד
  2. x=3x=3 או x=−2x=-2
  3. אין פתרון
  4. x=3x=3 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x=3x=3 בלבד

הפתרון:

x+6=x2 ⇒ x2−x−6=0\begin{aligned}x+6 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=3 או x=−2\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

מועמדים

x=3:9=3 ✓x=−2:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: x=3x=3 בלבד. «x=3x=3 או x=−2x=-2» היא תשובה בלי בדיקה. באגף ימין עומד xx, ושורש אינו שווה למספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: 2x+1+1=x\sqrt{2x+1}+1=x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2x+1=x−1\sqrt{2x+1}=x-1

מבודדים

2x+1=x2−2x+1 ⇒ x2−4x=0\begin{aligned}2x+1 &= x^2-2x+1 \ \Rightarrow \ x^2-4x \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0 או x=4\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

מועמדים

x=0:1+1=2≠0 נפסלx=4:3+1=4 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{1}+1 \\ &= 2 \neq 0 \ \text{נפסל} \qquad x \\ &= 4: 3+1 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=0x=0 נפסל. והפתרון הזה נראה טבעי, ולכן קל לשכוח לבדוק אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה x−1=−3\sqrt{x-1}=-3 אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x−1≥0>−3\sqrt{x-1} \geq 0 > -3

שורש אינו שלילי

x−1=9 ⇒ x=10: 9=3≠−3\begin{aligned}x-1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 : \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

ההעלאה בחזקה נותנת מועמד שנפסל

הטענה נכונה. מי שמעלה בחזקת 2 ולא בודק «מוצא» את x=10x=10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה x+3=x−3\sqrt{x+3}=x-3.

  • x2−7x+6=0x^2-7x+6=0
  • x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9
  • x=1x=1 או x=6x=6
  • בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9 · x2−7x+6=0x^2-7x+6=0 · x=1x=1 או x=6x=6 · בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל

הפתרון:

x=6:9=3=6−3 ✓\begin{aligned}x &= 6: \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 6-3 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=1:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

נפסל

הבדיקה היא השלב האחרון ואי אפשר לדלג עליה. התשובה: x=6x=6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+4=x−2\sqrt{x+4}=x-2
x+4=x2−4x+4=x^2-4
x2−x−8=0x^2-x-8=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+4=x2−4x+4=x^2-4 → x+4=x2−4x+4x+4=x^2-4x+4

הפתרון:

(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2=x^2-4x+4

נוסחת הכפל המקוצר

x2−5x=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x^2-5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מועמדים

x=5:3=3 ✓x=0:2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 5: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: x=5x=5

הטעות בשורה השנייה: (x−2)2≠x2−4(x-2)^2 \neq x^2-4. חסר האיבר האמצעי −4x-4x. הפתרון הנכון x=5x=5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: 5x−4=x+8\sqrt{5x-4}=\sqrt{x+8}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5x−4=x+85x-4=x+8

מעלים בחזקת 2

4x=12 ⇒ x=3\begin{aligned}4x &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

11=11 ✓\sqrt{11}=\sqrt{11} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים

כששני האגפים שורשים, בודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה של שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x}

  1. כל xx
  2. אין פתרון
  3. x=3x=3
  4. x=3x=3 או x=−3x=-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין פתרון

הפתרון:

x−5=1−x ⇒ x=3\begin{aligned}x-5 &= 1-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

3−5=−2\sqrt{3-5}=\sqrt{-2}

לא מוגדר: x=3x=3 נפסל

x≥5 וגם x≤1x \geq 5 \ \text{וגם} \ x \leq 1

והתחום עצמו ריק

הנכונה: אין פתרון. מי שבחר x=3x=3 לא בדק. תחום ההגדרה של המשוואה ריק, ולכן היה אפשר לענות עוד לפני כל חישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה פתרונות יש למשוואה x=x\sqrt{x}=x?

  1. 11
  2. 22
  3. אינסוף
  4. 00
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 22

הפתרון:

x=x2 ⇒ x(x−1)=0\begin{aligned}x &= x^2 \ \Rightarrow \ x(x-1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0:0=0 ✓x=1:1=1 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{0} \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{1} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: 22 פתרונות, x=0x=0 ו-x=1x=1. מי שענה 11 חילק ב-xx ואיבד את x=0x=0. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת