נגזרת של שורש של ביטוי, ומשיק אנכי · פונקציות שורש · כיתה י׳

יש לנו שני כלים: $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , וכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. ביחד הם גוזרים כל שורש של ביטוי: $\sqrt{3x+1}$ , $\sqrt{x^2+9}$ , $\sqrt{8-2x}$ .

$\sqrt{ax+b}$ — הפנימית היא ישר

גוזרים את $\sqrt{3x+1}$

הפונקציה הפנימית $u=3x+1$ , והחיצונית $\sqrt{u}$ .

\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{u}}

נגזרת החיצונית, והפנימית נשארת בתוכה

\frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3

כופלים בנגזרת הפנימית $(3x+1)'=3$

\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

התוצאה

\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

נגזרת הפנימית במונה, והשורש כולו במכנה עם $2$ . עבור $g(x)=ax+b$ זה נותן $\left(\sqrt{ax+b}\right)'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$ .

גזרו את $f(x)=\sqrt{5-2x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=\frac{-2}{2\sqrt{5-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{5-2x}}$ . הנגזרת שלילית בכל התחום: הגרף פונה שמאלה ויורד כשהולכים ימינה.

פעילות אינטראקטיבית

גוזרים יחד: $\sqrt{x^2+9}$

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+9}$ . חשבו את $f'(4)$ . בכל שלב בחרו מה עושים.

$\frac{4}{5}$

$\frac{1}{10}$

$\frac{8}{5}$

$\frac{1}{5}$

מהי הפונקציה הפנימית?

$x^2+9$

להציג את התשובה והפתרון

זה מה שנמצא מתחת לשורש.

$x^2$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $9$ גם הוא מתחת לשורש. הפנימית היא כל הביטוי.

$\sqrt{x}$

להציג את התשובה והפתרון

זו החיצונית: הפעולה שעושים על הפנימית.

מה כותבים עכשיו?

$\frac{1}{2\sqrt{x^2+9}} \cdot 2x$

להציג את התשובה והפתרון

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית.

$\frac{1}{2\sqrt{x^2+9}}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם לכפול בנגזרת הפנימית $2x$ .

$\sqrt{2x}$

להציג את התשובה והפתרון

אי אפשר להכניס את הגזירה לתוך השורש.

f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}

נגזרת הפנימית במונה

איך מפשטים?

מצמצמים את ה- $2$

להציג את התשובה והפתרון

$2$ במונה ו- $2$ במכנה.

מצמצמים את $x$ עם $x^2$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2$ נמצא בתוך השורש, אי אפשר לצמצם אותו.

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

צורה נוחה להצבה

מה מציבים?

$x=4$ בנגזרת

להציג את התשובה והפתרון

שואלים על השיפוע, כלומר על $f'$ .

$x=4$ בפונקציה

להציג את התשובה והפתרון

$f(4)=5$ הוא הגובה, לא השיפוע.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{4}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

השיפוע בנקודה

להציג את התשובה והפתרון

$f'(4)=\frac{4}{5}$ . $\frac{1}{10}$ שוכח את נגזרת הפנימית. $\frac{8}{5}$ לא צמצם את ה- $2$ שבמכנה, ו- $\frac{1}{5}$ שוכח את $x$ במונה.

לעשות את הפעילות ב-elev

משיק אנכי בקצה התחום

הפונקציה $f(x)=\sqrt{2x-4}$ מוגדרת ב- $x=2$ , ו- $f(2)=0$ . אבל $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-4}}$ אינה מוגדרת ב- $x=2$ , כי שם המכנה $0$ . כש- $x$ מתקרב ל- $2$ מימין, הנגזרת גדלה ללא גבול, והמשיקים נעשים תלולים יותר ויותר.

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax+b} \ : \ x \\ &= -\frac{b}{a}\end{aligned}

בנקודת ההתחלה המשיק אנכי. משוואתו $x=-\frac{b}{a}$

\begin{aligned}g(x) &= (x-2)\sqrt{x-2} \ : \ g'(x) \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x-2}\end{aligned}

כאן $g'(2)=0$ : בנקודת ההתחלה המשיק אופקי, $y=0$ . לא כל פונקציית שורש מתחילה במשיק אנכי

מהי משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{9-3x}$ בנקודת ההתחלה שלו?

להציג את התשובה והפתרון

הגרף מתחיל כש- $9-3x=0$ , כלומר ב- $x=3$ . הנגזרת $-\frac{3}{2\sqrt{9-3x}}$ אינה מוגדרת שם, והמשיק אנכי: $x=3$ . זה לא $y=0$ .

משוואת המשיק

פעילות אינטראקטיבית

משיק לגרף $f(x)=\sqrt{2x+1}$ בנקודה שבה $x=4$

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{2x+1} \\ \quad x_0 &= 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». למשיק צריך שני נתונים: נקודה ושיפוע.

הנקודה

\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה $(4,\,3)$ . הגובה בא מ- $f$ .

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\end{aligned}

נגזרת הפנימית היא $2$ , והיא מצטמצמת עם ה- $2$ שבמכנה.

השיפוע

\begin{aligned}m &= f'(4) \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

השיפוע בא מ- $f'$ .

המשיק

\begin{aligned}y-3 &= \frac{1}{3}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

בדיקה: ב- $x=4$ המשיק נותן $\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=3$ , בדיוק $f(4)$ . משיק תמיד עובר בנקודת ההשקה.

לעשות את הפעילות ב-elev

שלוש הטעויות בגזירת שורש של ביטוי.

\left(\sqrt{3x+1}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}

\left(\sqrt{3x+1}\right)'=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

שכחו את נגזרת הפנימית $3$ .

\left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{2x}}

\left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}

גזרו בתוך השורש. הפנימית נשארת כמו שהיא, ונגזרתה עוברת למונה.

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{2x-4} \ : \ f'(2) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2x-4}} \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

$f'(2)$ אינה קיימת: המכנה מתאפס, לא המונה. בנקודת ההתחלה המשיק אנכי ( $x=2$ ), לא אופקי.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: $f(x)=\sqrt{5x-1}$

$\dfrac{5}{\sqrt{5x-1}}$
$\dfrac{5}{2}\sqrt{5x-1}$
$\dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}}$
$\dfrac{1}{2\sqrt{5x-1}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}}$

הפתרון:

\frac{1}{2\sqrt{5x-1}} \cdot 5

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית

=\frac{5}{2\sqrt{5x-1}}

התוצאה

הנכונה: $\frac{5}{2\sqrt{5x-1}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{5x-1}}$ שוכחת את הפנימית; $\frac{5}{\sqrt{5x-1}}$ שוכחת את ה- $2$ ; $\frac{5}{2}\sqrt{5x-1}$ שמה את השורש במונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\sqrt{4x+9}$ . חשבו את $f'(4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4}{2\sqrt{4x+9}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{4x+9}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{2}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

מציבים

בלי נגזרת הפנימית היה יוצא $\frac{1}{10}$ : פי $4$ פחות מהתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: $f(x)=\sqrt{x^2-4x+8}$

$\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}$
$\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-4x+8}}$
$\dfrac{x-2}{2\sqrt{x^2-4x+8}}$
$\dfrac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x+8}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}$

הפתרון:

\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+8}}

נגזרת הפנימית $2x-4$ במונה

=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}

מצמצמים ב- $2$

הנכונה: $\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}$ . $\frac{2x-4}{\sqrt{\ldots}}$ שוכחת את ה- $2$ שבמכנה; $\frac{x-2}{2\sqrt{\ldots}}$ צמצמה פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{10-x^2}$ . חשבו את $f'(1)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.333

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2x}{2\sqrt{10-x^2}} \\ &= \frac{-x}{\sqrt{10-x^2}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-1}{\sqrt{9}} \\ &= -\frac{1}{3} \approx -0.333\end{aligned}

מציבים

הסימן שלילי בא מנגזרת הפנימית $-2x$ . מי שכותב $\frac{1}{3}$ איבד אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=\sqrt{7-2x}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{7-2x}} \cdot 2

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{7-2x}}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{7-2x}} \cdot 2$ → $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{7-2x}} \cdot (-2)$

הפתרון:

(7-2x)'=-2

נגזרת הפנימית שלילית

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{7-2x}}

הנגזרת הנכונה

הטעות בשורה השנייה: נגזרת הפנימית היא $-2$ ולא $2$ . השורה השלישית מצמצמת נכון את מה שקיבלה. הטעות נולדה שורה אחת קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה $(4,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-4 &= \frac{3}{8}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{8}x+\frac{5}{2}\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2.5\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$

הגובה מ- $f$ , השיפוע מ- $f'$ . מי שמציב $f'(4)$ במקום $f(4)$ בנקודה מקבל ישר שלא עובר בנקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{6-2x}$ בנקודת ההתחלה של הגרף?

$y=0$
$x=3$
$y=3$
$x=-3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=3$

הפתרון:

\begin{aligned}6-2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההתחלה $(3,0)$

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{6-2x}}

הנגזרת אינה מוגדרת ב- $x=3$

x=3

המשיק אנכי

הנכונה: $x=3$ . $y=0$ הוא ציר ה- $x$ : ישר אופקי, והגרף יוצא ממנו כלפי מעלה בזווית ישרה ולא נצמד אליו. $x=-3$ טועה בסימן: $6-2x=0$ נותן $x=3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם פונקציה מוגדרת בנקודה $x_0$ , אז היא גזירה ב- $x_0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} \ : \ f(0) \\ &= 0\end{aligned}

מוגדרת ב- $x_0=0$

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

ב- $x=0$ המכנה $0$ : אינה גזירה

הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה: $\sqrt{x}$ ב- $0$ . «מוגדרת» אינו «גזירה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+1}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $2$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+1}}

הנגזרת, עם $a$ במונה

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{1}} \\ &= \frac{a}{2}\end{aligned}

מציבים $x=0$

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

משווים לשיפוע

$a$ מופיע פעמיים: מתחת לשורש, ובמונה כנגזרת הפנימית. מי ששוכח את המונה מקבל $\frac{1}{2}=2$ , ולא מוצא שום $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$\sqrt{2x}$
$\sqrt{x+2}$
$\sqrt{x^2+2}$
$\sqrt{2-x}$

$-\dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$
$\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sqrt{2x}$ — $\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$ · $\sqrt{x+2}$ — $\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}$ · $\sqrt{x^2+2}$ — $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$ · $\sqrt{2-x}$ — $-\dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}$

הפתרון:

\left(\sqrt{2x}\right)'=\frac{2}{2\sqrt{2x}}

הפנימית $2x$

\left(\sqrt{x+2}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

נגזרת הפנימית $1$

\left(\sqrt{2-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}

נגזרת הפנימית $-1$

ב- $\sqrt{x+2}$ הנגזרת הפנימית היא $1$ ולכן «לא רואים» אותה. ב- $\sqrt{2-x}$ היא $-1$ , ומשם בא המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ax+b\sqrt{ax+b}ax+b​ — הפנימית היא ישר

משיק אנכי בקצה התחום

משוואת המשיק

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

$\sqrt{ax+b}$ — הפנימית היא ישר