פותרים יחד · פונקציות שורש · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משוואה אי-רציונלית, פרמטרים ומשיק אנכי, «האם ייתכן», וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\sqrt{8-2x}+x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=\sqrt{8-2x}+x

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון: הוא יפסול פתרון בסעיף ב.

א. תחום

8-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

הגרף מסתיים בקצה $x=4$ .

ב. ציר y

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2\sqrt{2})$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= -x \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -4\end{aligned}

מבודדים ומעלים בחזקת 2. שני מועמדים.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= -4: \sqrt{16}-4 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 2: \sqrt{4}+2 \\ &= 4 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

רק $(-4,\,0)$ . שימו לב: $\sqrt{8-2x}=-x$ מחייב $-x \geq 0$ .

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2}{2\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{8-2x}} \ \\ \quad x<4\end{aligned}

הנגזרת אינה מוגדרת בקצה $x=4$ .

ג. חשודה

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5 \ \\ \quad f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5\end{aligned}

נקודה חשודה פנימית, ועוד הקצה $(4,\,4)$ .

ד. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \qquad f'(3.9) \\ &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

עולה ב- $x<3.5$ , יורדת ב- $3.5<x<4$ .

ג. ו-ד. מסקנה

\max (3.5,\,4.5) \qquad \min (4,\,4) \ \text{קצה}

הפונקציה יורדת עד הקצה, ולכן הקצה הוא מינימום.

שני מקומות שבהם הפרק «תופס»: הבדיקה בסעיף ב, והקצה $x=4$ בסעיף ג.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $(4,\,4)$ היא נקודת המינימום של כל הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. כש- $x$ שלילי וגדול בערכו המוחלט, $f(x)$ קטנה מכל מספר, למשל $f(-4)=0<4$ . הנקודה $(4,4)$ היא מינימום מקומי בקצה התחום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה אי-רציונלית

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $\sqrt{3x+1}=x-3$

פתרו את המשוואה $\sqrt{3x+1}=x-3$ .

$x=8$

$x=1$ או $x=8$

$x=1$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

להציג את התשובה והפתרון

השורש לבד באגף אחד, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בחזקת 2 רק את אגף שמאל

להציג את התשובה והפתרון

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

3x+1=x^2-6x+9

$(x-3)^2$ לפי נוסחת הכפל המקוצר

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2-9x+8=0$

להציג את התשובה והפתרון

מעבירים $3x+1$ לאגף ימין.

$x^2-3x+8=0$

להציג את התשובה והפתרון

$-6x-3x=-9x$ , לא $-3x$ .

\begin{aligned}x^2-9x+8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 8\end{aligned}

$(x-1)(x-8)=0$

מה עכשיו?

בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית

להציג את התשובה והפתרון

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x=1$ או $x=8$

להציג את התשובה והפתרון

ההעלאה בחזקה עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 8: \sqrt{25} \\ &= 5 \\ &= 8-3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x=1$ נפסל

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון: $x=8$ . בדיקה מהירה שחוסכת חישוב: אגף ימין $x-3$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 3$ , ו- $x=1$ לא יכול להתאים.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=-2$ משיק לגרף, והמשיק לגרף בנקודה שבה $x=6$ מקביל לישר $y=\frac{1}{2}x$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x=6$ .

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax+b} \\ \quad x &= -2 \\ \quad f'(6) &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי לגרף שורש נמצא בנקודת ההתחלה של הגרף.

משיק אנכי

\begin{aligned}a(-2)+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 2a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב- $x=-2$ : שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \ \Rightarrow \ f'(6) \\ &= \frac{a}{2\sqrt{8a}}\end{aligned}

מציבים $b=2a$ : $6a+2a=8a$ .

משוואה

\begin{aligned}\frac{a}{2\sqrt{8a}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= \sqrt{8a} \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 8a\end{aligned}

משיקים מקבילים: אותו שיפוע.

א.

\begin{aligned}a &= 8 \\ \quad b &= 16\end{aligned}

$a \neq 0$ , ולכן מחלקים ב- $a$ . בדיקה: $f'(6)=\frac{8}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{2}$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(6) &= \sqrt{64} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ y-8 \\ &= \tfrac{1}{2}(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x+5\end{aligned}

הנקודה מ- $f$ , השיפוע נתון.

המשוואה $a=\sqrt{8a}$ היא משוואה אי-רציונלית בפני עצמה. גם כאן בודקים את הפתרון.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאתם, והאם הנקודה שבה $x=6$ נמצאת בו?

להציג את התשובה והפתרון

$8x+16 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . $6 \geq -2$ , ולכן כן. אם $x=6$ היה מחוץ לתחום, לשאלה לא היה פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

פעילות אינטראקטיבית

משיק בנקודה $x=2$

נתונות $f(x)=\sqrt{x-2}$ ו- $g(x)=(x-2)\sqrt{x-2}$ . לשתיהן התחום $x \geq 2$ . האם ייתכן שלשתי הפונקציות אותו משיק בנקודה שבה $x=2$ ? מצאו את המשיק של כל אחת.

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$

לשתיהן המשיק $x=2$

לשתיהן המשיק $y=0$

לאף אחת אין משיק ב- $x=2$

מה הנגזרת של $f$ , והאם היא מוגדרת ב- $x=2$ ?

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , לא מוגדרת

להציג את התשובה והפתרון

המכנה מתאפס ב- $x=2$ .

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , ו- $f'(2)=0$

להציג את התשובה והפתרון

המכנה מתאפס, לא המונה. אי אפשר לחלק באפס.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \ \\ \quad x>2\end{aligned}

כש- $x$ מתקרב ל- $2$ הנגזרת גדלה ללא גבול

אז מה המשיק של $f$ ב- $x=2$ ?

הישר האנכי $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

המשיקים נעשים תלולים יותר ויותר.

אין משיק

להציג את התשובה והפתרון

יש משיק, אבל אין לו שיפוע: הוא אנכי.

x=2

משיק אנכי ל- $f$

ומה הנגזרת של $g$ ?

$g'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$

להציג את התשובה והפתרון

$g(x)=(x-2)^{\frac{3}{2}}$ , וכלל החזקה.

$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$

להציג את התשובה והפתרון

זו הנגזרת של $f$ . ב- $g$ השורש מוכפל ב- $x-2$ .

\begin{aligned}g'(x) &= \frac{3}{2}\sqrt{x-2} \ \Rightarrow \ g'(2) \\ &= 0\end{aligned}

כאן מותר להציב $x=2$ : אין מכנה

מה המשיק של $g$ ב- $x=2$ ?

$y=0$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע $0$ דרך הנקודה $(2,0)$ .

$x=2$

להציג את התשובה והפתרון

ל- $g$ יש שיפוע $0$ ב- $x=2$ , ולכן המשיק אופקי.

y=0

משיק אופקי ל- $g$

להציג את התשובה והפתרון

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$ . «לשתיהן $x=2$ » מניח שכל גרף שורש מתחיל במשיק אנכי. אבל $g$ מוכפלת בגורם שמתאפס שם, והוא «משטיח» את הגרף.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ .

f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}

לחצו «להתחיל». בתחום סגור משווים את הנקודות החשודות ואת הקצוות.

א. תחום

x \geq 0 \ \text{וגם} \ x \leq 8 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 8

שני השורשים חייבים להיות מוגדרים.

נגזרת

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{8-x}}

המינוס בא מנגזרת הפנימית של $8-x$ .

חשודה

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \sqrt{8-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 8-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

משווים את שני השברים.

ערכים

\begin{aligned}f(4) &= 2+2 \\ &= 4 \qquad f(0) \\ &= f(8) \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

בנקודה החשודה ובשני הקצוות.

ב.

\begin{aligned}\max &= 4 \ (x=4) \qquad \min \\ &= 2\sqrt{2} \ (x=0 ,\ x=8)\end{aligned}

$2\sqrt{2} \approx 2.83 < 4$ .

הפונקציה סימטרית סביב $x=4$ : $f(8-x)=f(x)$ . לכן לא מפתיע ששני הקצוות נותנים אותו ערך.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר היה למצוא את הערך הקטן ביותר בלי הקצוות?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הנגזרת מתאפסת רק ב- $x=4$ , ושם יש מקסימום. הערך הקטן ביותר נמצא רק בקצוות, והנגזרת לא «רואה» אותם.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\sqrt{15-2x}+x$ . מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ .

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: $x=$ 7 , $y=$ 8 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ -5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{15-2x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 15-2x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(7) &= 1+7 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה

\begin{aligned}\sqrt{15-2x} &= -x \ \Rightarrow \ x^2+2x-15 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

\begin{aligned}x &= -5: \sqrt{25}-5 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: \sqrt{9}+3 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

$x=3$ נפסל בבדיקה. כדי ש- $\sqrt{15-2x}=-x$ יתקיים צריך $x \leq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: $\sqrt{2x+10}=x+1$

אין פתרון
$x=3$
$x=3$ או $x=-3$
$x=-3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=3$

הפתרון:

\begin{aligned}2x+10 &= x^2+2x+1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x=3$ . « $x=3$ או $x=-3$ » היא תשובה בלי בדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=1$ משיק לגרף, ושיפוע המשיק בנקודה שבה $x=5$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 4 , $b=$ -4

הפתרון:

\begin{aligned}a+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -a\end{aligned}

משיק אנכי ב- $x=1$

\begin{aligned}f'(5) &= \frac{a}{2\sqrt{4a}} \\ &= \frac{\sqrt{a}}{4}\end{aligned}

מציבים $b=-a$

\begin{aligned}\frac{\sqrt{a}}{4} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 4 \\ \ b &= -4\end{aligned}

פותרים

המשיק האנכי אומר איפה הגרף מתחיל: שם $ax+b=0$ . מי שכותב $b=a$ שכח את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף $h(x)=x\sqrt{x}$ יש משיק אנכי בנקודה שבה $x=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}h(x) &= x^{\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ h'(x) \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x}\end{aligned}

כלל החזקה

h'(0)=0

הנגזרת מוגדרת ב- $0$

y=0

המשיק ב- $(0,0)$ אופקי

הטענה לא נכונה. לא כל גרף עם שורש מתחיל במשיק אנכי: הגורם $x$ «משטיח» אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{18-x}$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

0 \leq x \leq 18

תחום

\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x}} &= \frac{1}{2\sqrt{18-x}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(9) &= 3+3 \\ &= 6 \qquad f(0) \\ &= f(18) \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

משווים לקצוות

הערך $6$ גדול מהערך בקצוות. את הקצוות בודקים גם כשמחפשים מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

2 — משוואה אי-רציונלית

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev