פותרים יחד · טרנספורמציות ופעולות על פונקציות · כיתה י׳

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, כל אחת מכל חלק של הפרק. כל שאלה נפתרת שלב אחרי שלב: לחצו, וקראו את ההסבר של כל שלב לפני שממשיכים. נסו לענות לבד לפני כל לחיצה — אחרת זה קריאה, לא תרגול. אחרי כל שאלה מחכה שאלה תאומה: אותה דרך, מספרים אחרים.

בכל השאלות של הפרק, השאלה הראשונה שכדאי לשאול היא: מהי נקודת העיגון, ומה קורה בה? נקודת התחלה של שורש, מפגש אסימפטוטות של היפרבולה, קדקוד של פרבולה — או אפס של $f$ כשמדובר ב- $\frac{1}{f}$ ו- $f^2$ .

שאלה 1 — חקירת פונקציית שורש מוזזת

פעילות אינטראקטיבית

שורש עם מקדם שלילי

נתונה הפונקציה $f(x)=-2\sqrt{x-1}+4$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף ואת קבוצת הערכים. ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

איך מוצאים את תחום ההגדרה?

דורשים $x-1\ge 0$

להציג את התשובה והפתרון

מה שבתוך השורש אינו שלילי.

דורשים $-2\sqrt{x-1}+4\ge 0$

להציג את התשובה והפתרון

זה תנאי על הערך של הפונקציה, לא על ההגדרה שלה. הפונקציה מותר לה להיות שלילית.

דורשים $x-1>0$

להציג את התשובה והפתרון

$\sqrt{0}=0$ מוגדר. אי-שוויון חזק היה משמיט את נקודת ההתחלה.

x\ge 1

תחום ההגדרה.

מהי קבוצת הערכים?

$y\ge 4$

להציג את התשובה והפתרון

המקדם $-2$ שלילי: הגרף יורד מנקודת ההתחלה.

$y\le 4$

להציג את התשובה והפתרון

$\sqrt{x-1}\ge 0$ , כפול $-2$ נותן $\le 0$ , ועוד 4.

$y\ge -2$

להציג את התשובה והפתרון

$-2$ הוא המקדם, לא הזזה.

(1,\,4),\quad y\le 4

נקודת ההתחלה $(p,k)=(1,4)$ , והגרף יורד ממנה.

איך מוצאים חיתוך עם ציר ה- $y$ ?

מציבים $x=0$

להציג את התשובה והפתרון

$x=0$ לא בתחום ( $x\ge 1$ ). אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

בודקים קודם אם $x=0$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

הוא לא — ולכן אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

0\notin\{x\ge 1\}

אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

ועם ציר ה- $x$ ?

$-2\sqrt{x-1}+4=0$ , ולכן $\sqrt{x-1}=2$

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים את השורש ורק אז מעלים בריבוע.

מעלים בריבוע את שני האגפים מיד

להציג את התשובה והפתרון

$(-2\sqrt{x-1}+4)^2$ יוצר איבר מעורב — העבודה מסתבכת ולא מתקדמת.

\begin{aligned}x-1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה: $-2\sqrt{4}+4=0$ ✓. נקודת החיתוך $(5,\,0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

א. $x\ge 1$ . ב. נקודת התחלה $(1,\,4)$ , קבוצת ערכים $y\le 4$ . ג. $(5,\,0)$ בלבד — אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. נתונה $g(x)=3\sqrt{x+2}-6$ . מצאו את התחום, את קבוצת הערכים ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

להציג את התשובה והפתרון

תחום $x\ge -2$ ; נקודת התחלה $(-2,\,-6)$ והגרף עולה, ולכן $y\ge -6$ . ציר $y$ : $g(0)=3\sqrt{2}-6\approx -1.76$ , כלומר $(0,\,3\sqrt{2}-6)$ . ציר $x$ : $\sqrt{x+2}=2$ , $x=2$ — הנקודה $(2,\,0)$ .

שאלה 2 — היפרבולה לפי אסימפטוטות ונקודה

פעילות אינטראקטיבית

מוצאים את a, ואז את החיתוכים

\begin{aligned}y &= \frac{a}{x-p}+k \\ \quad x &= -2 \\ \ y &= 3 \\ \quad (0,\,1)\end{aligned}

הגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ הוא בעל אסימפטוטות $x=-2$ ו- $y=3$ , והוא עובר דרך $(0,\,1)$ . א. מצאו את $a$ , $p$ , $k$ . ב. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ . ג. באילו «רבעים» ביחס לנקודת העיגון נמצאים הענפים?

עיגון

\begin{aligned}p &= -2 \\ \quad k &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות נותנות מיד שניים משלושת הפרמטרים.

הצבה

1=\frac{a}{0+2}+3

מציבים את הנקודה $(0,1)$ בפונקציה עם $a$ בלבד.

פתרון

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= -2 \Rightarrow a \\ &= -4\end{aligned}

ולכן $y=\frac{-4}{x+2}+3$ .

ציר x

\begin{aligned}\frac{-4}{x+2} &= -3 \Rightarrow x+2 \\ &= \frac{4}{3} \Rightarrow x \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

נקודת החיתוך $\left(-\frac{2}{3},\,0\right)$ .

ענפים

a<0

הענפים משמאל-למעלה ומימין-למטה ביחס ל- $(-2,\,3)$ . בדיקה: $(0,1)$ מימין ל- $-2$ ומתחת ל-3 ✓

שימו לב לסדר: קודם העיגון, אחר כך הנקודה. מי שמציב את $(0,1)$ לפני שקבע $p$ ו- $k$ , נשאר עם שלושה נעלמים.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ אסימפטוטות $x=3$ ו- $y=-2$ , והוא עובר דרך $(1,\,-1)$ . מצאו את $a$ ואת נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

$p=3$ , $k=-2$ . הצבה: $-1=\frac{a}{-2}-2$ , כלומר $a=-2$ . ציר $x$ : $\frac{-2}{x-3}=2$ , כלומר $x-3=-1$ ו- $x=2$ — הנקודה $(2,\,0)$ .

שאלה 3 — מהגרף של $f$ לגרף של $\frac{1}{f}$

פעילות אינטראקטיבית

הופכי של פרבולה

נתונה $f(x)=x^2-2x-3$ , ונגדיר $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . א. מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $g$ . ב. קבעו את הסימן של $g$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון של $g$ בין האסימפטוטות. ד. מצאו את נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $y$ .

מה מחפשים כדי למצוא את האסימפטוטות האנכיות של $g$ ?

את האפסים של $f$

להציג את התשובה והפתרון

שם המכנה של $g$ מתאפס.

את הקדקוד של $f$

להציג את התשובה והפתרון

בקדקוד $f(1)=-4\neq 0$ , ו- $g$ מוגדרת שם היטב.

את החיתוך של $f$ עם ציר ה- $y$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)=-3$ — לא אפס.

\begin{aligned}f(x) &= (x-3)(x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטות אנכיות $x=-1$ ו- $x=3$ .

היכן $g$ שלילית?

בין $-1$ ל-3

להציג את התשובה והפתרון

שם הפרבולה $f$ (שפתוחה כלפי מעלה) שלילית, ול- $g$ אותו סימן.

מחוץ לקטע $[-1,\,3]$

להציג את התשובה והפתרון

שם $f$ חיובית — וההופכי שומר על הסימן.

-1<x<3:\ g<0;\qquad x<-1\ \text{או}\ x>3:\ g>0

אותו סימן כמו $f$ .

איזו נקודת קיצון יש ל- $g$ בקטע?

מקסימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

המינימום של $f$ הוא $-4$ ; ההופכי $-\frac{1}{4}$ הוא הערך הקרוב ביותר לאפס בקטע — הגבוה ביותר.

מינימום $(1,\,-4)$

להציג את התשובה והפתרון

זה הקדקוד של $f$ . ב- $g$ הגובה הוא $\frac{1}{-4}$ .

מינימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

למשל $g(0)=-\frac{1}{3}<-\frac{1}{4}$ . הערך ב-1 גבוה מסביבתו — מקסימום.

\begin{aligned}f(1) &= -4 \Rightarrow g(1) \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

מינימום של $f$ ← מקסימום של $g$ .

חיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$g(0)=\frac{1}{f(0)}=-\frac{1}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)=-3$ .

$g(0)=-3$

להציג את התשובה והפתרון

זה $f(0)$ , לא $g(0)$ .

\left(0,\,-\frac{1}{3}\right)

והיא אכן מתחת לנקודת המקסימום, כמצופה.

להציג את התשובה והפתרון

א. $x=-1$ , $x=3$ . ב. $g<0$ בין האסימפטוטות ו- $g>0$ מחוצה להן. ג. מקסימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$ . ד. $\left(0,\,-\frac{1}{3}\right)$ . ובנוסף: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. נתונה $f(x)=x^2+4x$ ו- $g=\frac{1}{f}$ . מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $g$ , את נקודת הקיצון שלה ביניהן, והאם יש ל- $g$ חיתוך עם ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

$f(x)=x(x+4)$ — אסימפטוטות $x=0$ ו- $x=-4$ . הקדקוד של $f$ : $(-2,\,-4)$ , ולכן ל- $g$ מקסימום $\left(-2,\,-\frac{1}{4}\right)$ . אין חיתוך עם ציר ה- $y$ : $x=0$ היא אסימפטוטה.

שאלה 4 — מכפלה ומנה של שורש וישר

פעילות אינטראקטיבית

תחום, אפסים וסימן

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x+3} \\ \quad g(x) &= x-1\end{aligned}

נתונות $f(x)=\sqrt{x+3}$ ו- $g(x)=x-1$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $h_1=f\cdot g$ ושל $h_2=\frac{f}{g}$ . ב. מצאו את האפסים של $h_1$ . ג. היכן $h_1$ שלילית?

תחום

f:\ x\ge -3,\qquad g:\ \text{כל } x

התחום של כל פונקציה בנפרד.

תחום

h_1:\ x\ge -3,\qquad h_2:\ x\ge -3,\ x\neq 1

למכפלה — החיתוך של התחומים; למנה — גם $g\neq 0$ .

אפסים

\begin{aligned}\sqrt{x+3} &= 0\ \ \text{או}\ \ x-1 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס.

אפסים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 1\end{aligned}

שני האפסים בתחום ✓

סימן

-3<x<1:\ \ (+)\cdot(-)<0

השורש חיובי בכל התחום (חוץ מ- $-3$ ), ולכן הסימן של $h_1$ הוא הסימן של $g$ .

התשובה: $h_1$ שלילית עבור $-3<x<1$ וחיובית עבור $x>1$ . המלכודת: לענות « $x<1$ » — משמאל ל- $-3$ הפונקציה בכלל לא מוגדרת.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. נתונות $f(x)=\sqrt{5-x}$ ו- $g(x)=x+2$ . מצאו את תחום ההגדרה של $\frac{f}{g}$ , והיכן $f\cdot g$ חיובית.

להציג את התשובה והפתרון

תחום $\frac{f}{g}$ : $x\le 5$ וגם $x\neq -2$ . $f\cdot g$ מוגדרת עבור $x\le 5$ , מתאפסת ב- $-2$ וב-5, והיא חיובית עבור $-2<x<5$ (שם $g>0$ והשורש חיובי).

תרגילים

תרגיל 1

תאומה לשאלה 1. נתונה $f(x)=-3\sqrt{x+1}+6$ . באיזה $x$ חותך הגרף את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

-3\sqrt{x+1}+6=0

מציבים $y=0$

\sqrt{x+1}=2

מבודדים את השורש

\begin{aligned}x+1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע

-3\sqrt{4}+6=0\ \checkmark

בדיקה בפונקציה המקורית

המלכודת: להעלות בריבוע לפני שמבודדים את השורש. תמיד: קודם שורש לבד באגף אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תאומה לשאלה 2. לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ אסימפטוטות $x=1$ ו- $y=4$ , והוא עובר דרך הנקודה $(3,\,1)$ . מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

\begin{aligned}p &= 1 \\ \ k &= 4\end{aligned}

מהאסימפטוטות

1=\frac{a}{3-1}+4

הצבת הנקודה

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= -3 \Rightarrow a \\ &= -6\end{aligned}

פתרון

המלכודת: להציב את $k$ עם סימן הפוך. רק $p$ «מתהפך» בכתיבה $x-p$ ; $k$ נכתב כמו שהוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תאומה לשאלה 3. נתונה $f(x)=x^2-6x+5$ ו- $g=\frac{1}{f}$ . מהי נקודת הקיצון של $g$ בין האסימפטוטות האנכיות שלה?

מינימום $(3,\,-4)$
מינימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$
מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$
מקסימום $\left(3,\,\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$

הפתרון:

f(x)=(x-1)(x-5)

אסימפטוטות $x=1$ , $x=5$

\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

המינימום של $f$ באמצע

g(3)=-\frac{1}{4}

המקסימום של $g$ בקטע

המלכודת: להעתיק את סוג הקיצון או את הסימן. ההופכי שומר על הסימן והופך מינימום למקסימום. התשובה: מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תאומה לשאלה 4. נתונות $f(x)=\sqrt{x+4}$ ו- $g(x)=x-2$ . היכן $f\cdot g$ שלילית?

$x>2$
$-4\le x\le 2$
$-4<x<2$
$x<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-4<x<2$

הפתרון:

x\ge -4

התחום של המכפלה

\begin{aligned}x &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

האפסים

-4<x<2:\ (+)\cdot(-)

השורש חיובי, הישר שלילי

המלכודת: לענות $x<2$ ולשכוח שמשמאל ל- $-4$ המכפלה לא מוגדרת, או לכלול את האפסים — שם המכפלה אפס, לא שלילית. התשובה: $-4<x<2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — חקירת פונקציית שורש מוזזת

שאלה 2 — היפרבולה לפי אסימפטוטות ונקודה

שאלה 3 — מהגרף של fff לגרף של 1f\frac{1}{f}f1​

שאלה 4 — מכפלה ומנה של שורש וישר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

שאלה 3 — מהגרף של $f$ לגרף של $\frac{1}{f}$