ההופכי והריבוע של פונקציה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות מופיעה שאלה קבועה: נתון הגרף של ff — שרטטו את הגרף של g=1fg=\frac{1}{f}, או של g=f2g=f^2. לא צריך נוסחה של ff. מספיק לעקוב אחרי כמה נקודות: מה קורה לגובה 2? לגובה 1? לגובה 12\frac{1}{2}? ומה קורה איפה ש-ff מתאפסת? בשרטוט: הפרבולה f(x)=x2−1f(x)=x^2-1, והגרף של 1f\frac{1}{f}.

הגרף של 1f\frac{1}{f}: חמישה כללים

f(a)=0f(a)=0

ל-gg אסימפטוטה אנכית x=ax=a — אי אפשר לחלק באפס, וקרוב לשם gg גדלה בערכה המוחלט ללא גבול

f(a)=±1f(a)=\pm 1

g(a)=f(a)g(a)=f(a) — הגרפים נפגשים

סימן\text{סימן}

ל-gg אותו סימן כמו ל-ff בכל נקודה

f ↗f\ \nearrow

היכן ש-ff עולה (ואינה מתאפסת), gg יורדת — ולהפך

max⁡↔min⁡\max \leftrightarrow \min

מקסימום של ff (שאינו אפס) הוא מינימום של gg באותו xx — ולהפך

ידוע ש-f(3)=4f(3)=4. מהו 1f(3)\frac{1}{f(3)}, והאם הנקודה על הגרף של 1f\frac{1}{f} גבוהה או נמוכה מהנקודה על הגרף של ff?

להציג את התשובה והפתרון

14\frac{1}{4} — נמוכה יותר. כשהגובה של ff גדול מ-1, הגובה של 1f\frac{1}{f} קטן מ-1. הנקודה (3, 4)(3,\,4) «הופכת» ל-(3, 14)(3,\,\frac{1}{4}).

הגרף של f2f^2: הכול עולה מעל הציר

ב-g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 כל גובה מועלה בריבוע. לכן g≥0g\ge 0 תמיד: מה שהיה מתחת לציר ה-xx עולה מעליו. אבל זה לא רק שיקוף — גם הגובה משתנה: 33 הופך ל-99, ו-12\frac{1}{2} הופך ל-14\frac{1}{4}.

f(a)=0f(a)=0

g(a)=0g(a)=0, וזו נקודת מינימום של gg — הגרף נוגע בציר

∣f∣>1|f|>1

gg גבוהה מ-∣f∣|f|

∣f∣<1|f|<1

gg נמוכה מ-∣f∣|f|

f(a)=±1f(a)=\pm1

g(a)=1g(a)=1

לפונקציה ff יש נקודת מינימום (2, −3)(2,\,-3). מה יש לגרף של f2f^2 ב-x=2x=2?

להציג את התשובה והפתרון

נקודת מקסימום (2, 9)(2,\,9) (מקומי). סביב x=2x=2 הערכים של ff שליליים, וב-2 הערך המוחלט שלהם הכי גדול — ולכן הריבוע הכי גדול שם.

1f\frac{1}{f} של פרבולה, בלי לגזור

נתונה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. תארו את הגרף של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}.

f(x)=(x−1)(x−3)f(x)=(x-1)(x-3)

האפסים של ff: 1 ו-3

x=1x=3\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטות אנכיות של gg

1<x<3: f<0⇒g<01<x<3:\ f<0 \Rightarrow g<0

סימן: gg שלילית בין האסימפטוטות, חיובית מחוצה להן

f(2)=−1⇒g(2)=−1\begin{aligned}f(2) &= -1 \Rightarrow g(2) \\ &= -1\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg; וכיוון ש-f(2)=−1f(2)=-1, הגרפים נפגשים שם

g(0)=13g(0)=\frac{1}{3}

חיתוך עם ציר ה-yy

y=0y=0

רחוק מהראשית ff גדלה מאוד — gg מתקרבת לאפס

שלוש הטעויות של 1f\frac{1}{f} ו-f2f^2.

f(a)=0⇒1f(a)=0\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow \frac{1}{f(a)} \\ &= 0\end{aligned}
f(a)=0⇒x=a אסימפטוטה\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow x \\ &= a\ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}

אפס של ff הוא המקום שבו 1f\frac{1}{f} לא מוגדרת, לא אפס שלה. ל-1f\frac{1}{f} אין אפסים בכלל.

1f(x)=f−1(x)\frac{1}{f(x)}=f^{-1}(x)
1f(x)=(f(x))−1\frac{1}{f(x)}=\left(f(x)\right)^{-1}

f−1f^{-1} מסמנת את הפונקציה ההפוכה — נושא אחר לגמרי. 1f\frac{1}{f} היא ההופכי של הערך.

f(x)=12⇒f2(x)>f(x)f(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow f^2(x)>f(x)
(12)2=14<12\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}

ריבוע «מגדיל» רק מספרים שערכם המוחלט גדול מ-1. בין −1-1 ל-1 הוא מקטין את הערך המוחלט.

האם ייתכן שהגרף של 1f\frac{1}{f} חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

לא. נקודה על ציר ה-xx פירושה 1f(x)=0\frac{1}{f(x)}=0, וזה דורש 1=01=0. 1f\frac{1}{f} יכולה להתקרב לאפס — אבל לעולם לא להגיע אליו.

תרגילים

תרגיל 1

בקטע מסוים הפונקציה ff חיובית ועולה. מה ידוע על g=1fg=\frac{1}{f} באותו קטע?

  1. gg חיובית ויורדת
  2. gg שלילית ועולה
  3. gg שלילית ויורדת
  4. gg חיובית ועולה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א gg חיובית ויורדת

הפתרון:

f>0⇒1f>0f>0 \Rightarrow \frac{1}{f}>0

אותו סימן

0<f(x1)<f(x2)⇒1f(x1)>1f(x2)0<f(x_1)<f(x_2) \Rightarrow \frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)}

מכנה גדול יותר — שבר קטן יותר

המלכודת: לחשוב שההופכי הופך גם את הסימן. הסימן נשאר; רק כיוון העלייה מתהפך. התשובה: gg חיובית ויורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגרף של f
(0, 4)(1, 3)(−2, 0)(2, 0)-3-2-10123-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפונקציה ff והנקודות המסומנות עליו. השלימו.

1f(0)=\frac{1}{f(0)}= ____ , (f(1))2=\left(f(1)\right)^2= ____ , ומספר האסימפטוטות האנכיות של 1f\frac{1}{f} הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1f(0)=\frac{1}{f(0)}= 0.25 , (f(1))2=\left(f(1)\right)^2= 9 , ומספר האסימפטוטות האנכיות של 1f\frac{1}{f} הוא 2

הפתרון:

f(0)=4⇒14=0.25\begin{aligned}f(0) &= 4 \Rightarrow \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

קוראים את הגובה ב-0

f(1)=3⇒32=9\begin{aligned}f(1) &= 3 \Rightarrow 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

קוראים את הגובה ב-1

f(−2)=f(2)=0\begin{aligned}f(-2) &= f(2) \\ &= 0\end{aligned}

שני אפסים — שתי אסימפטוטות אנכיות

המלכודת: לספור את האפסים של ff כאפסים של 1f\frac{1}{f}. כל אפס של ff הוא אסימפטוטה של 1f\frac{1}{f}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לפונקציה ff שני אפסים: ב-x=−1x=-1 הגרף חוצה את ציר ה-xx, וב-x=2x=2 הוא רק נוגע בו. אילו אסימפטוטות אנכיות יש ל-g=1fg=\frac{1}{f}?

  1. רק x=−1x=-1
  2. x=−1x=-1 ו-x=2x=2
  3. אין אסימפטוטות אנכיות
  4. y=−1y=-1 ו-y=2y=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=−1x=-1 ו-x=2x=2

הפתרון:

f(−1)=0 f(2)=0\begin{aligned}f(-1) &= 0 \\ \ f(2) &= 0\end{aligned}

בשני המקומות המכנה מתאפס

x=−1 x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שתי אסימפטוטות — לא משנה אם ff חוצה או נוגעת

המלכודת: לחשוב שנקודת השקה «לא נחשבת». ההבדל רק בסימן: ב-2 שני הצדדים של האסימפטוטה באותו סימן, וב-−1-1 הסימן מתחלף. התשובה: x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה הרציפה ff נקודת מקסימום (3, 2)(3,\,2). לכן לפונקציה 1f\frac{1}{f} יש נקודת מינימום (3, 12)\left(3,\,\frac{1}{2}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(3)=2⇒1f(3)=12\begin{aligned}f(3) &= 2 \Rightarrow \frac{1}{f(3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הגובה

0<f(x)≤2 בסביבת 30<f(x)\le 2\ \text{בסביבת } 3

סביב המקסימום ff חיובית ולא עולה על 2

1f(x)≥12\frac{1}{f(x)}\ge\frac{1}{2}

ולכן ההופכי לא יורד מתחת ל-12\frac{1}{2}

הטענה נכונה — כי המקסימום חיובי, ו-ff רציפה: קרוב ל-x=3x = 3 היא חיובית וקטנה או שווה ל-22, ולכן 1f\frac{1}{f} שם גדולה או שווה ל-12\frac{1}{2}. המלכודת: לחשוב שההופכי שומר על סוג הקיצון. מכנה גדול נותן שבר קטן, ולכן מקסימום הופך למינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה ff ולכל xx מתקיים (f(x))2≥f(x)\left(f(x)\right)^2\ge f(x).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=12f(x)=\frac{1}{2}

דוגמה נגדית: פונקציה קבועה

(12)2=14<12\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}

הריבוע קטן מהמספר

הטענה אינה נכונה. t2<tt^2<t בדיוק כאשר 0<t<10<t<1. המלכודת: לבדוק רק מספרים שלמים — שם הריבוע תמיד «מגדיל».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x−2f(x)=x-2 ו-g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2. מיינו: באיזה xx הגרף של gg גבוה מהגרף של ff, ובאיזה נמוך ממנו?

  • הגרף של g גבוה יותר
  • הגרף של g נמוך יותר
  • x=0x=0
  • x=1x=1
  • x=2.2x=2.2
  • x=2.5x=2.5
  • x=2.8x=2.8
  • x=4x=4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0x=0 — הגרף של g גבוה יותר · x=2.5x=2.5 — הגרף של g נמוך יותר · x=4x=4 — הגרף של g גבוה יותר · x=1x=1 — הגרף של g גבוה יותר · x=2.8x=2.8 — הגרף של g נמוך יותר · x=2.2x=2.2 — הגרף של g נמוך יותר

הפתרון:

f(0)=−2 g(0)=4\begin{aligned}f(0) &= -2 \\ \ g(0) &= 4\end{aligned}

גובה שלילי עולה לחיובי

f(2.5)=0.5 g(2.5)=0.25\begin{aligned}f(2.5) &= 0.5 \\ \ g(2.5) &= 0.25\end{aligned}

בין 0 ל-1 הריבוע מקטין

f(4)=2 g(4)=4\begin{aligned}f(4) &= 2 \\ \ g(4) &= 4\end{aligned}

מעל 1 הריבוע מגדיל

f(1)=−1 g(1)=1\begin{aligned}f(1) &= -1 \\ \ g(1) &= 1\end{aligned}

שלילי — gg תמיד גבוהה

f(2.8)=0.8 g(2.8)=0.64\begin{aligned}f(2.8) &= 0.8 \\ \ g(2.8) &= 0.64\end{aligned}

בין 0 ל-1

f(2.2)=0.2 g(2.2)=0.04\begin{aligned}f(2.2) &= 0.2 \\ \ g(2.2) &= 0.04\end{aligned}

בין 0 ל-1

המלכודת: לחשוב ש-f2f^2 תמיד מעל ff. הוא נמוך ממנה בדיוק היכן ש-0<f(x)<10<f(x)<1 — כאן 2<x<32<x<3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. מהי קבוצת הערכים (התמונה) של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. y>0y>0
  2. 0≤y≤10\le y\le 1
  3. y≥1y\ge 1
  4. 0<y≤10<y\le 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0<y≤10<y\le 1

הפתרון:

f(x)≥1f(x)\ge 1

התמונה של ff

0<1f(x)≤10<\frac{1}{f(x)}\le 1

ההופכי של מספר שגדול או שווה ל-1

g(0)=1g(0)=1

הערך 1 מתקבל, ב-x=0x=0

1f(x)≠0\frac{1}{f(x)}\neq 0

הערך 0 לא מתקבל לעולם

המלכודת: לכלול את 0 בתמונה. gg מתקרבת ל-0 כש-xx מתרחק — אבל לא מגיעה אליו. התשובה: 0<y≤10<y\le 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8. לפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} יש נקודת קיצון בקטע 2<x<42<x<4. מהו שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(x)=(x−2)(x−4)f(x)=(x-2)(x-4)

האפסים 2 ו-4 הם אסימפטוטות של gg

xv=2+42=3\begin{aligned}x_v &= \frac{2+4}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הקדקוד של ff באמצע

f(3)=9−18+8=−1\begin{aligned}f(3) &= 9-18+8 \\ &= -1\end{aligned}

המינימום של ff

g(3)=1−1=−1\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-1} \\ &= -1\end{aligned}

המקסימום של gg בקטע

המלכודת: לענות 11 — ההופכי לא משנה סימן. וכאן f(3)=−1f(3)=-1, ולכן זו אחת הנקודות שבהן ff ו-1f\frac{1}{f} נפגשות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל תכונה של ff את התכונה המתאימה של g=1fg=\frac{1}{f}.

  • f(a)=0f(a)=0
  • f(a)=1f(a)=1
  • ff חיובית ועולה
  • ff גדלה ללא גבול כש-xx גדל
  • g(a)=1g(a)=1
  • gg חיובית ויורדת
  • gg מתקרבת ל-0 כש-xx גדל
  • ל-gg אסימפטוטה x=ax=a
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(a)=0f(a)=0 — ל-gg אסימפטוטה x=ax=a · f(a)=1f(a)=1 — g(a)=1g(a)=1 · ff חיובית ועולה — gg חיובית ויורדת · ff גדלה ללא גבול כש-xx גדל — gg מתקרבת ל-0 כש-xx גדל

הפתרון:

10\frac{1}{0}

לא מוגדר — אסימפטוטה

11=1\frac{1}{1}=1

הגרפים נפגשים

f↗ ⇒ 1f↘f \nearrow \ \Rightarrow\ \frac{1}{f} \searrow

מכנה גדל — שבר קטן: כיוון מתהפך

f=1000⇒g=0.001\begin{aligned}f &= 1000 \Rightarrow g \\ &= 0.001\end{aligned}

מכנה גדול מאוד — שבר קרוב לאפס: אסימפטוטה אופקית

המלכודת: להתאים «f(a)=0f(a)=0» ל«g(a)=0g(a)=0». ל-1f\frac{1}{f} אין אפסים — יש לה אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפונקציה ff נקודת מינימום (4, −3)(4,\,-3). מה ידוע על הגרף של g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 ב-x=4x=4?

  1. יש לו נקודת מינימום (4, −9)(4,\,-9)
  2. יש לו נקודת מקסימום (4, 9)(4,\,9)
  3. יש לו נקודת מקסימום (4, −9)(4,\,-9)
  4. יש לו נקודת מינימום (4, 9)(4,\,9)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יש לו נקודת מקסימום (4, 9)(4,\,9)

הפתרון:

g(4)=(−3)2=9\begin{aligned}g(4) &= (-3)^2 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה

−3≤f(x)<0 בסביבת 4-3\le f(x)<0\ \text{בסביבת } 4

סביב 4 הערכים של ff שליליים ו-−3-3 הכי רחוק מאפס

0<(f(x))2≤90<\left(f(x)\right)^2\le 9

ולכן הריבוע הכי גדול ב-4

המלכודת: לחשוב שריבוע שומר על סוג הקיצון. בערכים שליליים מינימום של ff הוא הערך המוחלט הגדול ביותר — ולכן מקסימום של f2f^2. התשובה: מקסימום (4, 9)(4,\,9).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת