חיבור, כפל וחילוק של פונקציות · טרנספורמציות ופעולות על פונקציות · כיתה י׳

איך נראה הגרף של $h(x)=x+\frac{1}{x}$ ? אין צורך בנוסחה חדשה: בכל $x$ מחברים שני גבהים — את הגובה של הישר $y=x$ ואת הגובה של ההיפרבולה $y=\frac{1}{x}$ . ב- $x=1$ זה $1+1=2$ ; ב- $x=4$ זה $4+0.25$ , כמעט על הישר; וקרוב ל-0 ההיפרבולה משתלטת. בשרטוט רואים את שלושת הגרפים יחד.

ארבע פעולות, ותחום הגדרה אחד משותף

פעולה על פונקציות היא פעולה על הערכים שלהן, נקודה אחרי נקודה. כדי לחשב את $(f+g)(x)$ צריך את $f(x)$ וגם את $g(x)$ — ולכן הסכום מוגדר רק היכן ששתיהן מוגדרות. במנה יש תנאי נוסף: אסור לחלק באפס.

(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)

תחום: היכן ש- $f$ וגם $g$ מוגדרות

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

אותו תחום. המכפלה מתאפסת היכן שאחת מהן מתאפסת

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

אותו תחום, ובנוסף $g(x)\neq 0$

$f(x)=\sqrt{x}$ ו- $g(x)=\sqrt{4-x}$ . מהו תחום ההגדרה של $f+g$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$0\le x\le 4$ . $f$ דורשת $x\ge 0$ , ו- $g$ דורשת $x\le 4$ . הסכום צריך את שתיהן יחד — החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

הסימן של מכפלה ושל מנה

את הסימן של $f\cdot g$ אפשר לקרוא בלי לפתוח סוגריים: חיובי כפול חיובי — חיובי, שלילי כפול חיובי — שלילי. אותו כלל בדיוק למנה $\frac{f}{g}$ . לכן מספיק לדעת היכן כל אחת מהפונקציות חיובית והיכן שלילית — ואת זה רואים בגרף שלה.

$f(x)=x-2$ ו- $g(x)=x+3$ . היכן המכפלה $f\cdot g$ שלילית?

להציג את התשובה והפתרון

עבור $-3<x<2$ . שם $g$ כבר חיובית ו- $f$ עדיין שלילית. משמאל ל- $-3$ שתיהן שליליות, ומימין ל-2 שתיהן חיוביות — ובשני המקרים המכפלה חיובית.

פעילות אינטראקטיבית

מנה שנראית כמו ישר

נתונות $f(x)=x^2-4$ ו- $g(x)=x-2$ . תארו את הגרף של $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ .

מה עושים קודם?

מצמצמים את השבר

להציג את התשובה והפתרון

צמצום משנה את הכתיבה, אבל תחום ההגדרה נקבע בנתון. מי שמצמצם קודם שוכח את הנקודה האסורה.

קובעים את תחום ההגדרה

להציג את התשובה והפתרון

את התחום קובעים לפני כל פישוט.

מציבים כמה ערכים בטבלה

להציג את התשובה והפתרון

טבלה לא תגלה נקודה אחת חסרה — אלא אם כן הצבנו בדיוק אותה.

g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq 2

$f$ ו- $g$ מוגדרות לכל $x$ ; המנה דורשת רק $x\neq 2$ .

ועכשיו?

מפרקים את המונה

להציג את התשובה והפתרון

הפרש ריבועים — וגורם משותף מופיע.

מחלקים כל איבר ב- $x$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{x^2}{x}-\frac{4}{x}$ לא מפשט דבר, ורק מוסיף תנאי $x\neq 0$ שלא קיים.

\begin{aligned}h(x) &= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \\ &= x+2 \\ \quad x\neq 2\end{aligned}

אחרי הצמצום נשאר ישר — אבל רק היכן ש- $x\neq 2$ .

איך נראה הגרף?

הישר $y=x+2$ בשלמותו

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=2$ המנה היא $\frac{0}{0}$ — לא מוגדרת. הנקודה $(2,4)$ לא שייכת לגרף.

הישר $y=x+2$ בלי הנקודה $(2,\,4)$

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק. «חור» אחד בישר.

היפרבולה עם אסימפטוטה $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

אסימפטוטה מופיעה כשהמכנה מתאפס והמונה לא. כאן גם המונה מתאפס ב-2.

(2,\,4)\notin h

מסמנים עיגול ריק בנקודה $(2,\,4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

הגרף של $h$ הוא הישר $y=x+2$ עם חור בנקודה $(2,\,4)$ . תחום ההגדרה נקבע לפני הצמצום, ונשאר גם אחריו.

לעשות את הפעילות ב-elev

תחום וערך של מנה

נתונות $f(x)=\sqrt{x+1}$ ו- $g(x)=x-3$ . מצאו את תחום ההגדרה של $h=\frac{f}{g}$ ואת $h(8)$ .

x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1

התחום של $f$

g:\ \text{כל } x

התחום של $g$

g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3

התנאי של המנה

x\ge -1,\ \ x\neq 3

תחום ההגדרה של $h$

\begin{aligned}h(8) &= \frac{\sqrt{9}}{8-3} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הצבה: קודם כל פונקציה בנפרד, אחר כך חילוק

שלוש הטעויות של הפעולות.

h=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}:\ \ x\ge -1

x\ge -1,\ \ x\neq 3

במנה שני תנאים: המונה מוגדר, והמכנה אינו אפס.

(f\cdot g)(x)=f\left(g(x)\right)

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

מכפלה של פונקציות היא כפל של שני ערכים. הצבה של פונקציה בפונקציה היא פעולה אחרת — הרכבה.

\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\ \ \text{לכל } x

\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \ \ x\neq 2\end{aligned}

הצמצום לא מוחק את התנאי. הגרף הוא ישר עם חור.

לפני כל פעולה על פונקציות — שלוש שאלות: איפה $f$ מוגדרת? איפה $g$ מוגדרת? והאם יש מכנה שמתאפס? התשובה לשלוש יחד היא תחום ההגדרה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונות $f(x)=x^2-1$ ו- $g(x)=3-x$ . חשבו את $(f-g)(4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}f(4) &= 16-1 \\ &= 15\end{aligned}

מחשבים כל פונקציה בנפרד

\begin{aligned}g(4) &= 3-4 \\ &= -1\end{aligned}

ואת השנייה — היא יוצאת שלילית

\begin{aligned}(f-g)(4) &= 15-(-1) \\ &= 16\end{aligned}

מחסרים את הערכים

המלכודת: לחסר בלי סוגריים ולקבל $15-1=14$ . $g(4)$ שלילי, ומינוס כפול מינוס נותן פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של $h(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ ?

$x\ge 1$
$1\le x\le 5$
$x\le 5$
כל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $1\le x\le 5$

הפתרון:

x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1

השורש הראשון

5-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5

השורש השני

1\le x\le 5

שני התנאים יחד

המלכודת: לאחד את התחומים (« $x\ge 1$ או $x\le 5$ » הם כל המספרים). סכום דורש ששני המחוברים יהיו מוגדרים. התשובה: $1\le x\le 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות $f(x)=\sqrt{x}$ ו- $g(x)=x-4$ . מהו תחום ההגדרה של $\frac{f}{g}$ ?

$x\ge 0$
$x\neq 4$
$x>4$
$x\ge 0$ וגם $x\neq 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x\ge 0$ וגם $x\neq 4$

הפתרון:

x\ge 0

התחום של $f$

x-4\neq 0 \Rightarrow x\neq 4

המכנה אינו אפס

המלכודת: לשכוח אחד משני התנאים — או לחשוב שהמכנה צריך להיות חיובי. מכנה שלילי מותר, רק אפס אסור. התשובה: $x\ge 0$ וגם $x\neq 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ערכי f ו-g

x	−1	0	1	2	3
f(x)	3	2	0	−1	4
g(x)	1	−2	5	3	2

בטבלה ערכים של שתי פונקציות. השלימו.

$(f+g)(1)=$ ____ , $(f\cdot g)(2)=$ ____ , $\left(\frac{f}{g}\right)(3)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(f+g)(1)=$ 5 , $(f\cdot g)(2)=$ -3 , $\left(\frac{f}{g}\right)(3)=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}(f+g)(1) &= 0+5 \\ &= 5\end{aligned}

העמודה של $x=1$

\begin{aligned}(f\cdot g)(2) &= (-1)\cdot 3 \\ &= -3\end{aligned}

העמודה של $x=2$

\begin{aligned}\left(\frac{f}{g}\right)(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

העמודה של $x=3$

המלכודת: לקרוא ערך מעמודה אחרת. כל פעולה לוקחת את שני הערכים באותו $x$ . שימו לב גם ש- $\frac{g}{f}$ לא מוגדרת ב- $x=1$ , כי שם $f(1)=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות $f(x)=x-1$ ו- $g(x)=x+2$ . מיינו את הנקודות לפי הסימן של $(f\cdot g)(x)$ .

חיובית
שלילית

$x=-1$
$x=-2.5$
$x=-3$
$x=0$
$x=1.5$
$x=2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=-3$ — חיובית · $x=0$ — שלילית · $x=2$ — חיובית · $x=-1$ — שלילית · $x=1.5$ — חיובית · $x=-2.5$ — חיובית

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -3:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן שליליות

\begin{aligned}x &= 0:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין $-2$ ל-1

\begin{aligned}x &= 2:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן חיוביות

\begin{aligned}x &= -1:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין $-2$ ל-1

\begin{aligned}x &= 1.5:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

מימין ל-1

\begin{aligned}x &= -2.5:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

משמאל ל- $-2$

המלכודת: $x=-2.5$ . גם שם $f$ שלילית — אבל גם $g$ שלילית, והמכפלה חיובית. המכפלה שלילית רק בין שני האפסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: אם $f$ ו- $g$ פונקציות עולות לכל $x$ , אז גם $f\cdot g$ עולה לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= x\end{aligned}

שתי פונקציות עולות

(f\cdot g)(x)=x^2

המכפלה

\begin{aligned}(f\cdot g)(-2) &= 4>(f\cdot g)(-1) \\ &= 1\end{aligned}

בין $-2$ ל- $-1$ המכפלה יורדת

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה: $x\cdot x=x^2$ יורדת עבור $x<0$ . המלכודת: להסיק מ«חיבור של עולות הוא עולה» — עבור כפל זה לא עובד כשהערכים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות שתי פונקציות זוגיות $f$ ו- $g$ המוגדרות לכל $x$ , ונגדיר $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ . הוכיחו ש- $h$ זוגית.

$f(-x)=f(x)$ לכל $x$
$g(-x)=g(x)$ לכל $x$

$h(-x)=h(x)$

להציג את התשובה והפתרון

$h(-x)=f(-x)\cdot g(-x)$ — הגדרת $h$ , הצבת $-x$
$f(-x)=f(x)$ — נתון: $f$ זוגית
$g(-x)=g(x)$ — נתון: $g$ זוגית
$h(-x)=f(x)\cdot g(x)$ — הצבת שני הנתונים
$h(-x)=h(x)$ — הגדרת $h$

הפתרון:

\begin{aligned}h(-x) &= f(-x)g(-x) \\ &= f(x)g(x) \\ &= h(x)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: לבדוק כמה מספרים ולהכריז «הוכחנו». טענה «לכל $x$ » מוכיחים עם $x$ כללי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות $f(x)=2x+1$ ו- $g(x)=x-3$ . עבור איזה $x$ מתקיים $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{2x+1}{x-3} &= 3 \\ \quad x\neq 3\end{aligned}

המשוואה ותנאי התחום

2x+1=3x-9

כופלים במכנה

x=10

פתרון

g(10)=7\neq 0

הפתרון בתחום ✓

המלכודת: לכפול רק את $x$ ב-3 ולכתוב $2x+1=3x-3$ . כופלים את כל המכנה: $3(x-3)=3x-9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=\frac{1}{x}$ . איזו טענה על $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ נכונה?

$h(x)=x$ לכל $x$
$h(x)=x$ עבור $x\neq 0$ , והגרף הוא ישר בלי הראשית
$h(x)=\frac{1}{x^3}$
$h(x)=x^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $h(x)=x$ עבור $x\neq 0$ , והגרף הוא ישר בלי הראשית

הפתרון:

x\neq 0

התחום של $g$ — ולכן גם של המכפלה

x^2\cdot\frac{1}{x}=x

פישוט

המלכודת: לפשט ולשכוח ש- $g$ לא מוגדרת ב-0. הנקודה $(0,0)$ חסרה בגרף. התשובה: $h(x)=x$ עבור $x\neq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמידה כתבה את התנאים של תחום ההגדרה של $h(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2

x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$ → $x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1$

הפתרון:

\sqrt{x+2}

השורש נמצא במונה — הוא דורש $x+2\ge 0$

x-1

המכנה אינו בתוך שורש — הוא רק צריך להיות שונה מאפס

\text{תחום: } x\ge -2,\ \ x\neq 1

שני התנאים יחד

המלכודת: להעתיק את התנאי של השורש גם למכנה. $x=0$ למשל מותר: $h(0)=\frac{\sqrt{2}}{-1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ארבע פעולות, ותחום הגדרה אחד משותף

הסימן של מכפלה ושל מנה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev