תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: יחסים במשולש שבו זווית ישרה, נוסחת השטח, משפט הסינוסים ו-2R2R, משפט הקוסינוסים, המקרה הדו-משמעי, ומשולשים שמסתתרים בתוך צורות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=12AC = 12 ו-AB=13AB = 13. מצאו את ∠A\angle A במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.62

הפתרון:

cos⁡A=ACAB=1213\begin{aligned}\cos A &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{12}{13}\end{aligned}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר

∠A≈22.62∘\angle A \approx 22.62^\circ

∠A≈22.62∘\angle A \approx 22.62^\circ. היתר הוא ABAB — מול הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש ABCABC נתון CA=10CA = 10, CB=7CB = 7 ו-∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.5

הפתרון:

S=12⋅CA⋅CB⋅sin⁡CS = \tfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C

חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

S=12⋅10⋅7⋅12=17.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \tfrac{1}{2} \\ &= 17.5\end{aligned}

שטח המשולש 17.517.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש ABCABC הצלע BC=10BC = 10 והזווית שמולה ∠A=150∘\angle A = 150^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

משפט הסינוסים

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

זוויות משלימות — אותו סינוס

2R=100.5=20⇒R=10\begin{aligned}2R &= \frac{10}{0.5} \\ &= 20 \Rightarrow R \\ &= 10\end{aligned}

R=10R = 10. הזווית הקהה לא מפריעה: הסינוס שלה חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במשולש ABCABC נתון b=CA=7b = CA = 7, c=AB=5c = AB = 5 ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. מצאו את a=BCa = BC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.24

הפתרון:

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

שתי צלעות והזווית שביניהן — משפט הקוסינוסים

a2=49+25−2⋅7⋅5⋅12=39\begin{aligned}a^2 &= 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \tfrac12 \\ &= 39\end{aligned}
a=39≈6.24a = \sqrt{39} \approx 6.24

BC≈6.24BC \approx 6.24.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.72

הפתרון:

BCsin⁡A=ACsin⁡B\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}

משפט הסינוסים: BCBC מול AA, ו-ACAC מול BB

AC=12sin⁡70∘sin⁡50∘≈14.72AC = \frac{12 \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 14.72

AC≈14.72AC \approx 14.72. בדיקה: ACAC מול הזווית הגדולה מבין השתיים, ולכן ארוכה מ-BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אורכי הצלעות של משולש הם 55, 77 ו-88. מצאו את הזווית שמול הצלע 77, במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

72=52+82−2⋅5⋅8cos⁡θ7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos\theta

משפט הקוסינוסים, θ\theta מול הצלע 77

49=89−80cos⁡θ⇒cos⁡θ=12\begin{aligned}49 &= 89 - 80\cos\theta \Rightarrow \cos\theta \\ &= \tfrac12\end{aligned}
θ=60∘\theta = 60^\circ

הזווית 60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קיימים שני משולשים ABCABC שונים שבהם AB=9AB = 9, ∠B=40∘\angle B = 40^\circ ו-AC=7AC = 7.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AH=9sin⁡40∘≈5.79AH = 9\sin 40^\circ \approx 5.79

המרחק של AA מהקרן שעליה נמצא CC

5.79<7<95.79 < 7 < 9

קשת ברדיוס 77 סביב AA חותכת את הקרן פעמיים

הטענה נכונה: הזווית נמצאת מול הצלע הקצרה (7<97 < 9), והצלע ארוכה מהגובה — שני משולשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מנקודה AA על הקרקע רואים את ראש המגדל TT בזווית הגבהה של 30∘30^\circ. מתקרבים אל המגדל 4040 מ׳ בקו ישר עד הנקודה BB, ומשם רואים את ראשו בזווית הגבהה של 45∘45^\circ. מהו גובה המגדל, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54.64

הפתרון:

∠ABT=135∘∠ATB=45∘−30∘=15∘\begin{aligned}\angle ABT &= 135^\circ \\ \quad \angle ATB &= 45^\circ - 30^\circ \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש ABTABT: זווית משלימה, וזווית חיצונית

BT=40sin⁡30∘sin⁡15∘≈77.27BT = \frac{40 \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 77.27

משפט הסינוסים

h=BTsin⁡45∘≈54.64h = BT \sin 45^\circ \approx 54.64

במשולש שבו הזווית ליד בסיס המגדל ישרה

גובה המגדל בקירוב 54.6454.64 מ׳. בדיקה: h3−h=40h\sqrt3 - h = 40.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במקבילית ABCDABCD נתון AB=7AB = 7, AD=4AD = 4 ו-∠BAD=120∘\angle BAD = 120^\circ. מצאו את אורך האלכסון הקצר (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.08

הפתרון:

∠ABC=180∘−120∘=60∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

AC2=72+42−2⋅7⋅4cos⁡60∘=37\begin{aligned}AC^2 &= 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cos 60^\circ \\ &= 37\end{aligned}

במשולש ABCABC, מול הזווית החדה

BD2=72+42−2⋅7⋅4cos⁡120∘=93\begin{aligned}BD^2 &= 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cos 120^\circ \\ &= 93\end{aligned}

במשולש ABDABD, מול הזווית הקהה

AC=37≈6.08AC = \sqrt{37} \approx 6.08

האלכסון הקצר AC≈6.08AC \approx 6.08 — הוא מול הזווית החדה. הקוסינוס של זוויות משלימות מחליף סימן, ולכן האלכסונים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לחלקה בעמק החולה יש צורה של משולש שצלעותיו 7070 מ׳, 8080 מ׳ ו-9090 מ׳. מהו שטח החלקה, במ״ר? (עגלו למספר שלם.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2683

הפתרון:

902=702+802−2⋅70⋅80cos⁡θ⇒cos⁡θ=120011200=328\begin{aligned}90^2 &= 70^2 + 80^2 - 2 \cdot 70 \cdot 80 \cos\theta \Rightarrow \cos\theta \\ &= \frac{1200}{11200} \\ &= \frac{3}{28}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים: הזווית שבין הצלעות 7070 ו-8080

sin⁡θ=1−9784≈0.9942\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{9}{784}} \approx 0.9942

זווית במשולש — סינוס חיובי

S=12⋅70⋅80⋅sin⁡θ≈2683S = \tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 80 \cdot \sin\theta \approx 2683

נוסחת השטח

שטח החלקה בקירוב 26832683 מ״ר. שני משפטים ברצף: קודם זווית, אחר כך שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת