סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: כמה סעיפים שנשענים זה על זה, «הוכיחו כי», «הביעו באמצעות», «הוכיחו או הפריכו» ו«האם ייתכן», עם כל הנושאים של הפרק.

עבדו כמו בבחינה: כתבו כל נימוק, ועגלו רק בסוף. תשובה של סעיף אחד היא נתון לסעיף הבא — שמרו אותה מדויקת.

תרגילים

תרגיל 1

ABCM

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. MM אמצע BCBC. (א) מצאו את BCBC. (ב) מצאו את התיכון AMAM. (ג) מצאו את שטח המשולש ABMABM. (שתי ספרות אחרי הנקודה.)

BC≈BC \approx ____, AM=AM = ____, SABM≈S_{ABM} \approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: BC≈BC \approx 8.72, AM=AM = 7, SABM≈S_{ABM} \approx 12.99

הפתרון:

BC2=100+36−60=76\begin{aligned}BC^2 &= 100 + 36 - 60 \\ &= 76\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

cos⁡B=100+76−362⋅1076=776\begin{aligned}\cos B &= \frac{100 + 76 - 36}{2\cdot 10\sqrt{76}} \\ &= \frac{7}{\sqrt{76}}\end{aligned}
AM2=100+19−2⋅10⋅762⋅776=49\begin{aligned}AM^2 &= 100 + 19 - 2\cdot 10\cdot\tfrac{\sqrt{76}}{2}\cdot\tfrac{7}{\sqrt{76}} \\ &= 49\end{aligned}

משולש ABMABM, BM=762BM = \tfrac{\sqrt{76}}{2}

SABM=12SABC=12⋅153≈12.99\begin{aligned}S_{ABM} &= \tfrac{1}{2}S_{ABC} \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 15\sqrt{3} \approx 12.99\end{aligned}

התיכון מחלק את השטח לשניים: אותו גובה, בסיסים שווים

BC≈8.72BC \approx 8.72, AM=7AM = 7, SABM≈12.99S_{ABM} \approx 12.99. המלכודת בסעיף ג: לחשב מחדש משולש שלם במקום לראות שהתיכון חוצה את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC

במשולש ABCABC מתקיים a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc. הוכיחו כי ∠A=120∘\angle A = 120^\circ.

  • a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc

∠A=120∘\angle A = 120^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha — משפט הקוסינוסים
  2. −2bccos⁡α=bc-2bc\cos\alpha = bc — השוואת שני הביטויים ל-a2a^2
  3. cos⁡α=−12\cos\alpha = -\frac{1}{2} — חילוק ב-−2bc≠0-2bc \ne 0
  4. ∠A=120∘\angle A = 120^\circ — הזווית היחידה בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ שהקוסינוס שלה −12-\frac{1}{2}

הפתרון:

b2+c2−2bccos⁡α=b2+c2+bcb^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = b^2 + c^2 + bc
cos⁡α=−12\cos\alpha = -\tfrac{1}{2}
α=120∘\alpha = 120^\circ

המלכודת: לכתוב α=60∘\alpha = 60^\circ או «α=120∘\alpha = 120^\circ או 240∘240^\circ». בתוך משולש לקוסינוס יש זווית אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCO

משולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שרדיוסו RR, וזוויות הבסיס שלו α\alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha
  3. R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  4. 4R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)4R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)

הפתרון:

AB=AC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים: כל שוק מול זווית בסיס

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha
S=12(2Rsin⁡α)2sin⁡(180∘−2α)=2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}(2R\sin\alpha)^2\sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= 2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)\end{aligned}

שתי השוקיים והזווית שביניהן

התשובה: 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha). המלכודת: 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha — להציב את זווית הבסיס α\alpha כאילו היא בין שתי השוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

BAHCC'

נתון AB=12AB = 12 ו-∠ABC=30∘\angle ABC = 30^\circ. לאילו אורכים של ACAC יש בדיוק שני משולשים ABCABC? כתבו את הקצוות של התחום.

____ <AC<< AC < ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6 <AC<< AC < 12

הפתרון:

h=12sin⁡30∘=6\begin{aligned}h &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ-AA לקרן

AC>6AC > 6

אחרת הקשת לא מגיעה, או נוגעת פעם אחת

AC<12AC < 12

ב-AC≥12AC \ge 12 החיתוך השני נופל מאחורי BB

התחום 6<AC<126 < AC < 12. המלכודת: לכלול את הקצוות — ב-AC=6AC = 6 יש משולש אחד ישר זווית, וב-AC=12AC = 12 החיתוך השני הוא BB עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

OAB

שני כבישים יוצאים מצומת בזווית של 110∘110^\circ. רכב אחד נוסע בכביש הראשון במהירות 6060 קמ״ש, ורכב שני בכביש השני במהירות 8080 קמ״ש. שניהם יצאו מהצומת יחד. מה המרחק ביניהם אחרי חצי שעה, בק״מ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 57.63

הפתרון:

OA=30 OB=40\begin{aligned}OA &= 30 \\ \ OB &= 40\end{aligned}

דרך = מהירות כפול זמן

AB2=900+1600−2400cos⁡110∘≈3320.9AB^2 = 900 + 1600 - 2400\cos 110^\circ \approx 3320.9

משפט הקוסינוסים

AB≈57.63AB \approx 57.63

כ-57.6357.63 ק״מ. המלכודת: להציב 6060 ו-8080 — אלה מהירויות, לא מרחקים. בדיקת יחידות: ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון ∠A=60∘\angle A = 60^\circ ו-∠B=80∘\angle B = 80^\circ, ורדיוס המעגל החסום 33. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.77

הפתרון:

AB=AF+FBAB = AF + FB

FF נקודת ההשקה על ABAB

AF=3tan⁡30∘=33\begin{aligned}AF &= \frac{3}{\tan 30^\circ} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש AFOAFO

FB=3tan⁡40∘≈3.58FB = \frac{3}{\tan 40^\circ} \approx 3.58

במשולש BFOBFO

AB≈8.77AB \approx 8.77

AB≈8.77AB \approx 8.77. המלכודת: להשתמש ב-60∘60^\circ וב-80∘80^\circ השלמות — המרכז על חוצי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCC'

הוכיחו או הפריכו: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והשטחים שווים, אז המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S1=12⋅4⋅6sin⁡30∘=6\begin{aligned}S_1 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

דוגמה נגדית: צלעות 44 ו-66, זווית 30∘30^\circ

S2=12⋅4⋅6sin⁡150∘=6\begin{aligned}S_2 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 150^\circ \\ &= 6\end{aligned}

אותן צלעות, זווית 150∘150^\circ

BC≠BC′BC \ne BC'

הצלע השלישית שונה, ולכן אין חפיפה

הפרכה: sin⁡30∘=sin⁡150∘\sin 30^\circ = \sin 150^\circ, ולכן אותו שטח עם זווית חדה ועם זווית קהה. המלכודת: להסיק מהשטח את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABDC

בדלתון ABCDABCD נתון AB=AD=5AB = AD = 5, CB=CD=8CB = CD = 8 ו-∠BAD=100∘\angle BAD = 100^\circ. מצאו את האלכסון BDBD ואת ∠BCD\angle BCD (שתי ספרות אחרי הנקודה).

BD≈BD \approx ____, ∠BCD≈\angle BCD \approx ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: BD≈BD \approx 7.66, ∠BCD≈\angle BCD \approx 57.21 מעלות

הפתרון:

BD2=25+25−50cos⁡100∘≈58.68BD^2 = 25 + 25 - 50\cos 100^\circ \approx 58.68

משולש ABDABD

BD≈7.66BD \approx 7.66
cos⁡C=64+64−BD2128≈0.542\cos C = \frac{64 + 64 - BD^2}{128} \approx 0.542

משולש CBDCBD

∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ

BD≈7.66BD \approx 7.66, ∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ. המלכודת: לעגל את BDBD ל-7.77.7 לפני השלב הבא — בחישוב cos⁡C\cos C עובדים עם BD2BD^2 המלא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש שתי צלעות 66 ו-88, והזווית ביניהן θ\theta משתנה. תלמיד חיפש את השטח הגדול ביותר. מצאו את השורה השגויה.

S(θ)=12⋅6⋅8sin⁡θ=24sin⁡θ\begin{aligned}S(\theta) &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\theta \\ &= 24\sin\theta\end{aligned}
0∘<θ<180∘0^\circ < \theta < 180^\circ
S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ
Smax=24S_{max} = 24
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ → S מקסימלי ב-θ=90∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 90^\circ

הפתרון:

sin⁡180∘=0\sin 180^\circ = 0

ב-180∘180^\circ אין משולש בכלל

sin⁡θ≤1 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin\theta \le 1 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

המקסימום של הסינוס

Smax=24S_{max} = 24

השורה האחרונה נכונה

הטעות: «זווית פתוחה יותר — שטח גדול יותר». השטח עולה עד 90∘90^\circ ויורד אחריו, כמו sin⁡θ\sin\theta.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, CA=7CA = 7 ו-BC=8BC = 8. מצאו את רדיוס המעגל החוסם ואת רדיוס המעגל החסום (שתי ספרות אחרי הנקודה).

R≈R \approx ____, r≈r \approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: R≈R \approx 4.13, r≈r \approx 1.94

הפתרון:

cos⁡A=36+49−642⋅6⋅7=14\begin{aligned}\cos A &= \frac{36 + 49 - 64}{2\cdot 6\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

הזווית מול BC=8BC = 8

sin⁡A=154\sin A = \tfrac{\sqrt{15}}{4}
R=82sin⁡A=1615≈4.13\begin{aligned}R &= \frac{8}{2\sin A} \\ &= \frac{16}{\sqrt{15}} \approx 4.13\end{aligned}

משפט הסינוסים

S=12⋅6⋅7⋅154≈20.33 p=10.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 7\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{4} \approx 20.33 \\ \ p &= 10.5\end{aligned}
r=Sp≈1.94r = \tfrac{S}{p} \approx 1.94

R≈4.13R \approx 4.13, r≈1.94r \approx 1.94. המלכודת: לבלבל בין החוסם (2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}) לחסום (S=rpS = rp).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת