סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 4 משלבת כמה כלים בשאלה אחת: מרובע חסום, הפרש שטחים במקרה הדו-משמעי, מרחק בעזרת שתי תצפיות, ביטויים עם פרמטרים, מקסימום בלי נגזרת ותיכון.

בכל שאלה יש צעד מקשר: זווית משלימה, מעגל משותף, או גובה משותף. חפשו אותו לפני שמחשבים. שבע נכונות ומעלה — לסדרה 5.

תרגילים

תרגיל 1

ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. AB=5AB = 5, BC=21BC = 21, CD=5CD = 5 ו-DA=16DA = 16. מצאו את ∠BAD\angle BAD ואת האלכסון BDBD.

∠BAD=\angle BAD = ____ מעלות, BD=BD = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠BAD=\angle BAD = 120 מעלות, BD=BD = 19

הפתרון:

BD2=25+256−160cos⁡ABD^2 = 25 + 256 - 160\cos A

משולש ABDABD

BD2=441+25+210cos⁡ABD^2 = 441 + 25 + 210\cos A

משולש CBDCBD, cos⁡C=−cos⁡A\cos C = -\cos A

281−160cos⁡A=466+210cos⁡A⇒cos⁡A=−12\begin{aligned}281 - 160\cos A &= 466 + 210\cos A \Rightarrow \cos A \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}
A=120∘ BD2=281+80=361 BD=19\begin{aligned}A &= 120^\circ \\ \ BD^2 &= 281 + 80 \\ &= 361 \\ \ BD &= 19\end{aligned}

∠A=120∘\angle A = 120^\circ, BD=19BD = 19. המלכודת: לכתוב cos⁡C=cos⁡A\cos C = \cos A — במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

BAHCC'

נתון AB=10AB = 10, ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ ו-AC=8AC = 8. יש שני משולשים אפשריים. מצאו את ההפרש בין השטחים שלהם (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.46

הפתרון:

AH=BH=52\begin{aligned}AH &= BH \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

הגובה מ-AA

HC=64−50=14\begin{aligned}HC &= \sqrt{64 - 50} \\ &= \sqrt{14}\end{aligned}
BC1−BC2=214BC_1 - BC_2 = 2\sqrt{14}

שני החיתוכים סימטריים סביב HH

ΔS=12⋅214⋅52=107≈26.46\begin{aligned}\Delta S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{14}\cdot 5\sqrt{2} \\ &= 10\sqrt{7} \approx 26.46\end{aligned}

אותו גובה, בסיסים שונים

ΔS=107≈26.46\Delta S = 10\sqrt{7} \approx 26.46 — זה השטח של המשולש ACC′ACC'. המלכודת: לחשב רק משולש אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABSH

שתי נקודות תצפית AA ו-BB על קו החוף בנתניה נמצאות במרחק 33 ק״מ זו מזו. סירה SS נראית מ-AA בזווית ∠SAB=52∘\angle SAB = 52^\circ ומ-BB בזווית ∠SBA=71∘\angle SBA = 71^\circ. מה המרחק של הסירה מקו החוף, בק״מ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

∠ASB=57∘\angle ASB = 57^\circ
AS=3sin⁡71∘sin⁡57∘≈3.38AS = \frac{3\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 3.38

משפט הסינוסים: ASAS מול BB

SH=ASsin⁡52∘≈2.67SH = AS\sin 52^\circ \approx 2.67

במשולש ASHASH, ישר זווית ב-HH

כ-2.672.67 ק״מ. המלכודת: לענות AS≈3.38AS \approx 3.38 — זה המרחק מ-AA, לא מהחוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=cAB = c, ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=β\angle B = \beta. הביעו את שטח המשולש באמצעות cc, α\alpha ו-β\beta.

  1. c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}
  2. c2sin⁡αsin⁡β2\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2}
  3. c2sin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
  4. c2sin⁡(α+β)2sin⁡αsin⁡β\dfrac{c^2\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha\sin\beta}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}

הפתרון:

sin⁡C=sin⁡(180∘−α−β)=sin⁡(α+β)\begin{aligned}\sin C &= \sin(180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= \sin(\alpha + \beta)\end{aligned}
AC=csin⁡βsin⁡(α+β)AC = \frac{c\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}

משפט הסינוסים: ACAC מול BB

S=12⋅c⋅ACsin⁡α=c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot c\cdot AC\sin\alpha \\ &= \frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha + \beta)}\end{aligned}

הזווית α\alpha בין ABAB ל-ACAC

התשובה: c2sin⁡αsin⁡β2sin⁡(α+β)\frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}. המלכודת: לשכוח את המכנה — כאילו AC=csin⁡βAC = c\sin\beta.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD

במקבילית צלעות באורך 66 ו-99, והזווית ביניהן θ\theta יכולה להשתנות. השלימו.

השטח הגדול ביותר: ____. השטח הוא 2727 כשהזווית החדה θ=\theta = ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השטח הגדול ביותר: 54. השטח הוא 2727 כשהזווית החדה θ=\theta = 30 מעלות.

הפתרון:

S=6⋅9sin⁡θ=54sin⁡θ\begin{aligned}S &= 6\cdot 9\sin\theta \\ &= 54\sin\theta\end{aligned}
sin⁡θ≤1⇒S≤54\sin\theta \le 1 \Rightarrow S \le 54

שוויון ב-θ=90∘\theta = 90^\circ, מלבן

54sin⁡θ=27⇒sin⁡θ=12\begin{aligned}54\sin\theta &= 27 \Rightarrow \sin\theta \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=30∘ (או 150∘)\theta = 30^\circ\ (\text{או}\ 150^\circ)

הזווית החדה

המקסימום 5454 בלי נגזרת, כי הסינוס לא עולה על 11. המלכודת: 12⋅6⋅9=27\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 9 = 27 — שטח משולש, לא מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCM

במשולש ABCABC נתון AB=7AB = 7, BC=8BC = 8 ו-CA=9CA = 9. MM אמצע BCBC. מצאו את אורך התיכון AMAM.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

cos⁡B=49+64−812⋅7⋅8=27\begin{aligned}\cos B &= \frac{49 + 64 - 81}{2\cdot 7\cdot 8} \\ &= \tfrac{2}{7}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש ABCABC

AM2=49+16−2⋅7⋅4⋅27=49\begin{aligned}AM^2 &= 49 + 16 - 2\cdot 7\cdot 4\cdot\tfrac{2}{7} \\ &= 49\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש ABMABM, BM=4BM = 4

AM=7AM = 7

AM=7AM = 7. המלכודת: להשתמש ב-BC=8BC = 8 במשולש ABMABM במקום BM=4BM = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCO

האם ייתכן משולש ABCABC שבו BC=5BC = 5, ∠A=30∘\angle A = 30^\circ ורדיוס המעגל החוסם R=4R = 4? סמנו «נכון» אם ייתכן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2R=BCsin⁡A=50.5=10\begin{aligned}2R &= \frac{BC}{\sin A} \\ &= \frac{5}{0.5} \\ &= 10\end{aligned}

משפט הסינוסים קובע את RR

R=5≠4R = 5 \ne 4

לא ייתכן: צלע והזווית שמולה כבר קובעות את R=5R = 5. המלכודת: לחשוב ששלושה נתונים «חופשיים» תמיד נותנים משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCODEF

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זוויות הבסיס β\beta, ורדיוס המעגל החסום rr. הביעו את הבסיס BCBC.

  1. 2rtan⁡β22r\tan\frac{\beta}{2}
  2. rtan⁡β2\dfrac{r}{\tan\frac{\beta}{2}}
  3. 2rtan⁡β\dfrac{2r}{\tan\beta}
  4. 2rtan⁡β2\dfrac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2rtan⁡β2\dfrac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}

הפתרון:

∠OBD=β2\angle OBD = \tfrac{\beta}{2}

BOBO חוצה את זווית הבסיס, DD אמצע BCBC

BD=rtan⁡β2BD = \frac{r}{\tan\frac{\beta}{2}}

במשולש OBDOBD: rr מול, BDBD ליד

BC=2BDBC = 2BD

התשובה: 2rtan⁡β2\frac{2r}{\tan\frac{\beta}{2}}. המלכודת: 2rtan⁡β\frac{2r}{\tan\beta} — שוכחים שהמרכז על חוצה הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

BAHCC'

נתונות שתי צלעות והזווית שמול אחת מהן. סדרו את שלבי הפתרון.

  • בודקים אם גם 180∘−γ180^\circ - \gamma נכנסת למשולש
  • מוצאים sin⁡γ\sin\gamma במשפט הסינוסים
  • מוצאים את הצלע השלישית בכל משולש
  • מחשבים את הזווית השלישית בכל משולש
  • משווים את הצלע שמול הזווית לגובה csin⁡βc\sin\beta
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: משווים את הצלע שמול הזווית לגובה csin⁡βc\sin\beta · מוצאים sin⁡γ\sin\gamma במשפט הסינוסים · בודקים אם גם 180∘−γ180^\circ - \gamma נכנסת למשולש · מחשבים את הזווית השלישית בכל משולש · מוצאים את הצלע השלישית בכל משולש

הפתרון:

b מול csin⁡βb \text{ מול } c\sin\beta

כמה משולשים

sin⁡γ=csin⁡βb\sin\gamma = \tfrac{c\sin\beta}{b}
β+(180∘−γ)<180∘ ?\beta + (180^\circ - \gamma) < 180^\circ\ ?
α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma
a=bsin⁡αsin⁡βa = \tfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}

המלכודת: לדלג על הבדיקה של הזווית הקהה, ולפתור רק משולש אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. האלכסון AC=12AC = 12, ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^\circ ו-∠ACD=40∘\angle ACD = 40^\circ. מצאו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.21

הפתרון:

2R=ACsin⁡70∘≈12.772R = \frac{AC}{\sin 70^\circ} \approx 12.77

משפט הסינוסים במשולש ABCABC

AD=2Rsin⁡∠ACDAD = 2R\sin\angle ACD

אותו מעגל חוסם גם את ACDACD

AD=12sin⁡40∘sin⁡70∘≈8.21AD = \frac{12\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8.21

AD≈8.21AD \approx 8.21. המלכודת: לחפש את כל הזוויות של המשולש ACDACD — מספיק המעגל המשותף: 2R2R אחד לכל המשולשים שחסומים בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת