סדרה 3 — מאתגר · טריגונומטריה במישור · כיתה י׳

סדרה 3 דורשת לבנות את הדרך: שני משולשים בבעיית גובה, משוואה ריבועית משטח או ממשפט הקוסינוסים, אלכסונים במקבילית, מעגל חסום, והוכחה של נוסחה.

כאן לא תמיד ברור איזה משפט פותח. שרטטו, סמנו מה ידוע, וחפשו משולש עם שלושה נתונים. שבע נכונות ומעלה — לסדרה 4.

תרגילים

תרגיל 1

מנקודה $A$ על הקרקע רואים את ראש מגדל המים $T$ בזווית הגבהה של $32^\circ$ . מתקרבים $40$ מטרים ישר אל המגדל, לנקודה $B$ , ומשם זווית ההגבהה $50^\circ$ . מצאו את גובה המגדל במטרים (עגלו למספר שלם).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ATB &= 50^\circ - 32^\circ \\ &= 18^\circ\end{aligned}

זווית חיצונית במשולש $ABT$

BT = \frac{40\sin 32^\circ}{\sin 18^\circ} \approx 68.6

משפט הסינוסים במשולש $ABT$

h = BT\sin 50^\circ \approx 52.5

במשולש $BFT$ , ישר זווית ב- $F$

הגובה כ- $53$ מטרים ( $52.5$ ). המלכודת: $40\tan 50^\circ$ — המרחק $40$ הוא לא המרחק מהמגדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $\angle C = 60^\circ$ ו- $CB = CA + 3$ . שטח המשולש $10\sqrt{3}$ . מצאו את $CA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\tfrac{1}{2}x(x + 3)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}

$x = CA$

x^2 + 3x - 40 = 0

\begin{aligned}(x + 8)(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אורך חיובי

$CA = 5$ . המלכודת: להשאיר את הפתרון $x = -8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $7$ , ו- $AB = 7$ . הוכיחו או הפריכו: בהכרח $\angle ACB = 30^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\sin C &= \frac{7}{2\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים

\begin{aligned}C &= 30^\circ\ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

C = 150^\circ

כש- $C$ על הקשת הקטנה של המיתר $AB$

הפרכה: $C$ יכול להיות גם על הקשת הקטנה, ואז $\angle C = 150^\circ$ . המלכודת: לשכוח שלזווית היקפית על מיתר יש שני ערכים, מכל צד של המיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $\angle ABC = 60^\circ$ ו- $AC = \sqrt{31}$ . מצאו את כל האפשרויות ל- $BC$ .

הקצר: ____, הארוך: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקצר: 1, הארוך: 5

הפתרון:

31 = 36 + x^2 - 2\cdot 6x\cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים סביב $B$ , $x = BC$

x^2 - 6x + 5 = 0

\begin{aligned}x &= 1\ \text{או}\ x \\ &= 5\end{aligned}

שני פתרונות חיוביים — שני משולשים

6\sin 60^\circ \approx 5.20 < \sqrt{31} \approx 5.57 < 6

בדיקה מול הגובה

$BC = 1$ או $BC = 5$ . משפט הקוסינוסים עם הזווית שליד הצלע הלא ידועה נותן משוואה ריבועית, ושני שורשים חיוביים הם שני המשולשים. המלכודת: לפסול את $1$ כי «קטן מדי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 8$ , $AD = 5$ והאלכסון $BD = 7$ . השלימו.

$\angle BAD =$ ____ מעלות, $AC \approx$ ____ (שתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle BAD =$ 60 מעלות, $AC \approx$ 11.36 (שתי ספרות אחרי הנקודה)

הפתרון:

\begin{aligned}\cos A &= \frac{64 + 25 - 49}{80} \\ &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\angle ABC = 120^\circ

זוויות סמוכות במקבילית

\begin{aligned}AC^2 &= 64 + 25 + 40 \\ &= 129 \\ \ AC \approx 11.36\end{aligned}

$\angle A = 60^\circ$ , $AC \approx 11.36$ . בדיקה: $49 + 129 = 178 = 2(64 + 25)$ . המלכודת: לחשב את $AC$ עם $60^\circ$ ולקבל שוב $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = 8$ , $AC = 5$ ו- $\angle BAC = 60^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.73

הפתרון:

\begin{aligned}BC^2 &= 64 + 25 - 40 \\ &= 49 \\ \ BC &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}p &= \tfrac{8 + 5 + 7}{2} \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}r &= \tfrac{S}{p} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

$r = \sqrt{3} \approx 1.73$ . המלכודת: לחלק בהיקף המלא $20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 45^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ ו- $BC = 10$ . מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59.15

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6} \approx 12.25\end{aligned}

משפט הסינוסים

\angle C = 75^\circ

הזווית שבין $BC$ ל- $AC$

S = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{6}\sin 75^\circ \approx 59.15

$S \approx 59.15$ . המלכודת: להציב $\sin 45^\circ$ עם $BC$ ו- $AC$ — הזווית $A$ אינה בין שתי הצלעות האלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 40^\circ$ , $\angle B = 75^\circ$ ו- $BC = 10$ . תלמיד חישב את $AC$ . מצאו את השורה השגויה.

BC \text{ מול } A,\quad AC \text{ מול } B

\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}$ → $\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$

הפתרון:

AC = \frac{10\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.03

כל צלע עם הזווית שמולה

75^\circ > 40^\circ \Rightarrow AC > BC

בדיקה: מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

הטעות: השורה הראשונה נכונה, והשנייה סותרת אותה. בדיקה מהירה: מהשורה השגויה יוצא $AC \approx 6.65 < 10$ , אבל $AC$ מול הזווית הגדולה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle ABC = \beta$ . הביעו את $BC$ באמצעות $k$ ו- $\beta$ .

$2k\cos\frac{\beta}{2}$
$k\cos\beta$
$2k\cos\beta$
$2k\sin\beta$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2k\cos\beta$

הפתרון:

BD = k\cos\beta

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $\beta$ , $AB$ יתר

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\cos\beta\end{aligned}

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

התשובה: $2k\cos\beta$ . המלכודת: $2k\sin\beta$ — מי שמתבלבל בין זווית הבסיס לחצי זווית הראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הצלעות $a$ , $b$ , $c$ , ו- $R$ רדיוס המעגל החוסם. הוכיחו כי שטח המשולש הוא $S = \frac{abc}{4R}$ .

$BC = a,\ CA = b,\ AB = c$
$R$ רדיוס המעגל החוסם

$S = \frac{abc}{4R}$

להציג את התשובה והפתרון

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ — שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן
$\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ — משפט הסינוסים
$\sin\gamma = \frac{c}{2R}$ — בידוד $\sin\gamma$
$S = \frac{abc}{4R}$ — הצבה בנוסחת השטח

הפתרון:

S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

\sin\gamma = \tfrac{c}{2R}

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}ab\cdot\tfrac{c}{2R} \\ &= \tfrac{abc}{4R}\end{aligned}

המלכודת: להציב $\sin\gamma = \frac{c}{R}$ — משפט הסינוסים נותן את הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev