סדרה 2 — בינוני · טריגונומטריה במישור · כיתה י׳

סדרה 2 מחברת שני צעדים: גובה במשולש שווה שוקיים, זווית מתוך שטח, זווית חסרה לפני משפט הסינוסים, צלע ממעגל חוסם, והמקרה הדו-משמעי במספרים.

בכל תרגיל שאלו קודם: איזה משולש, ואיזו זווית נמצאת מול איזו צלע. שמונה נכונות ומעלה — לסדרה 3.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 9$ ו- $\angle BAC = 40^\circ$ . מצאו את הבסיס $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.16

הפתרון:

\angle BAD = 20^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

BD = 9\sin 20^\circ

במשולש $ABD$

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 18\sin 20^\circ \approx 6.16\end{aligned}

$BC \approx 6.16$ . המלכודת: $9\sin 40^\circ$ — המשולש $ABC$ אינו ישר זווית, ו- $40^\circ$ היא הזווית כולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שטח המשולש $ABC$ הוא $24$ . נתון $CA = 8$ , $CB = 12$ , והזווית $C$ קהה. מצאו את $\angle C$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

24 = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\sin C

\sin C = \tfrac{1}{2}

\begin{aligned}C &= 30^\circ\ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

C = 150^\circ

הזווית קהה

$\angle C = 150^\circ$ . המלכודת: לענות $30^\circ$ כמו המחשבון, בלי לקרוא «קהה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 35^\circ$ , $\angle B = 110^\circ$ ו- $AB = 8$ . מצאו את $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.11

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 35^\circ - 110^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

הזווית שמול $AB$

\frac{AC}{\sin 110^\circ} = \frac{8}{\sin 35^\circ}

משפט הסינוסים

AC \approx 13.11

$AC \approx 13.11$ . המלכודת: לחלק ב- $\sin 110^\circ$ במקום ב- $\sin C$ . וסימן לבדיקה: מול הזווית הקהה הצלע הארוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש הצלעות $7$ , $8$ ו- $13$ . מצאו את הזווית הגדולה ביותר במשולש, במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{49 + 64 - 169}{2\cdot 7\cdot 8} \\ &= \frac{-56}{112} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

הזווית הגדולה מול הצלע הגדולה, $13$

\theta = 120^\circ

קוסינוס שלילי — זווית קהה

$\theta = 120^\circ$ . המלכודת: לענות $60^\circ$ ולהתעלם מהמינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $6$ . נתון $\angle A = 70^\circ$ ו- $\angle B = 50^\circ$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

\angle C = 60^\circ

$AB$ מול $C$

\begin{aligned}AB &= 2R\sin C \\ &= 12\sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

$AB = 6\sqrt{3} \approx 10.39$ . המלכודת: $2R\sin 70^\circ$ — הזווית $A$ נמצאת מול $BC$ , לא מול $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 9$ ו- $\angle ABC = 35^\circ$ . מצאו את שתי האפשרויות לזווית $C$ (במעלות, שתי ספרות אחרי הנקודה).

החדה: ____, הקהה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: החדה: 49.89, הקהה: 130.11

הפתרון:

12\sin 35^\circ \approx 6.88 < 9 < 12

שני משולשים

\sin C = \frac{12\sin 35^\circ}{9} \approx 0.765

C_1 \approx 49.89^\circ,\ C_2 \approx 130.11^\circ

35^\circ + 130.11^\circ < 180^\circ

השנייה נכנסת

שתי זוויות. המלכודת: לכתוב רק את מה שהמחשבון נותן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את שטח המשולש שצלעותיו $5$ , $6$ ו- $7$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.7

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{25 + 36 - 49}{60} \\ &= 0.2\end{aligned}

הזווית בין $5$ ל- $6$

\begin{aligned}\sin\theta &= \sqrt{1 - 0.04} \\ &= \sqrt{0.96}\end{aligned}

זווית במשולש, הסינוס חיובי

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\sqrt{0.96} \\ &= 6\sqrt{6} \approx 14.70\end{aligned}

$S = 6\sqrt{6} \approx 14.70$ . המלכודת: למצוא את הזווית מול $7$ ולהציב אותה עם הצלעות $5$ ו- $7$ — הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעוין שצלעו $10$ הזווית החדה $70^\circ$ . מצאו את אורך האלכסון הארוך (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.38

הפתרון:

\angle BAO = 35^\circ

האלכסון חוצה את הזווית

AO = 10\cos 35^\circ

במשולש $ABO$ , ישר זווית ב- $O$

AC = 20\cos 35^\circ \approx 16.38

$AC \approx 16.38$ . המלכודת: $20\sin 35^\circ \approx 11.47$ — זה האלכסון הקצר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משולש שצלעותיו $6$ , $7$ ו- $10$ הוא:

ישר זווית
חד זווית
קהה זווית
אי אפשר לדעת בלי לחשב את הזוויות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג קהה זווית

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{36 + 49 - 100}{84} \\ &= -\tfrac{15}{84} < 0\end{aligned}

הזווית מול הצלע הגדולה

6^2 + 7^2 = 85 < 100

אותו דבר, בקיצור

התשובה: «קהה זווית». המלכודת: «חד זווית» כי $6 + 7 > 10$ — זה רק אומר שהמשולש קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = a$ , $AD = b$ ו- $\angle BAD = \alpha$ . הוכיחו כי שטח המקבילית הוא $ab\sin\alpha$ .

$ABCD$ מקבילית
$AB = a,\ AD = b,\ \angle BAD = \alpha$

$S_{ABCD} = ab\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

$\triangle ABD \cong \triangle CDB$ — צ.צ.צ: $AB = CD$ , $AD = CB$ (צלעות נגדיות במקבילית), $BD$ משותפת
$S_{ABD} = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$ — שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן
$S_{ABCD} = 2S_{ABD}$ — האלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולחופפים שטח שווה
$S_{ABCD} = ab\sin\alpha$ — הצבה

הפתרון:

S_{ABD} = \tfrac{1}{2}ab\sin\alpha

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 2S_{ABD} \\ &= ab\sin\alpha\end{aligned}

המלכודת: לכתוב $S = ab$ — זה נכון רק במלבן, כש- $\sin 90^\circ = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev