סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 1 מתרגלת כל כלי של הפרק בנפרד: יחס במשולש ישר זווית, נוסחת השטח, משפט הסינוסים ו-2R2R, משפט הקוסינוסים, והשאלה כמה משולשים יש.

כל תרגיל כאן הוא צעד אחד או שניים. תשע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 2. פחות מזה — חזרו ליחידה של הכלי שהכשיל אתכם.

תרגילים

תרגיל 1

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=15AB = 15 ו-∠B=28∘\angle B = 28^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.04

הפתרון:

sin⁡B=ACAB\sin B = \frac{AC}{AB}

ACAC הניצב שמול BB

AC=15sin⁡28∘≈7.04AC = 15\sin 28^\circ \approx 7.04

AC≈7.04AC \approx 7.04. המלכודת: 15cos⁡28∘≈13.2415\cos 28^\circ \approx 13.24 — זה הניצב שליד BB, כלומר BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=7AC = 7 ו-BC=24BC = 24. מצאו את ∠B\angle B במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.26

הפתרון:

tan⁡B=ACBC=724\begin{aligned}\tan B &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{7}{24}\end{aligned}

מול BB חלקי ליד BB

∠B≈16.26∘\angle B \approx 16.26^\circ

∠B≈16.26∘\angle B \approx 16.26^\circ. המלכודת: tan⁡B=247\tan B = \frac{24}{7}, שנותן 73.74∘73.74^\circ — זו הזווית AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CAB

במשולש ABCABC נתון CA=9CA = 9, CB=4CB = 4 ו-∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

S=12⋅9⋅4sin⁡30∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 4\sin 30^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

S=18⋅12=9\begin{aligned}S &= 18\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= 9\end{aligned}

S=9S = 9. המלכודת: לשכוח את ה-12\tfrac{1}{2} ולקבל 1818.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

במשולש שתי צלעות שאורכן 66 ו-1010, והזווית שביניהן 150∘150^\circ. מהו שטח המשולש?

  1. 3030
  2. 1515
  3. −153-15\sqrt{3}
  4. 15315\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1515

הפתרון:

S=12⋅6⋅10sin⁡150∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\sin 150^\circ
sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
S=15S = 15

התשובה: 1515. המלכודת: −153-15\sqrt{3} — מי שמשתמש ב-cos⁡150∘\cos 150^\circ מקבל שטח שלילי, ושטח לא יכול להיות שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=65∘\angle B = 65^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.69

הפתרון:

ACsin⁡B=BCsin⁡A\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}

משפט הסינוסים: כל צלע עם הזווית שמולה

AC=9sin⁡65∘sin⁡40∘≈12.69AC = \frac{9\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 12.69

AC≈12.69AC \approx 12.69. המלכודת: להחליף את הזוויות ולקבל 9sin⁡40∘sin⁡65∘≈6.38\frac{9\sin 40^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 6.38.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCO

במשולש ABCABC הצלע AB=10AB = 10 והזווית שמולה ∠C=30∘\angle C = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2R=ABsin⁡C=100.5=20\begin{aligned}2R &= \frac{AB}{\sin C} \\ &= \frac{10}{0.5} \\ &= 20\end{aligned}

משפט הסינוסים

R=10R = 10

R=10R = 10. המלכודת: לעצור ב-2020 — זה הקוטר, 2R2R.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=4AC = 4, AB=6AB = 6 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.29

הפתרון:

BC2=16+36−2⋅4⋅6cos⁡60∘=28\begin{aligned}BC^2 &= 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cos 60^\circ \\ &= 28\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

BC=28≈5.29BC = \sqrt{28} \approx 5.29

BC≈5.29BC \approx 5.29. המלכודת: לשכוח להוציא שורש ולענות 2828.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC

במשולש הצלעות 55, 77 ו-88. מצאו את הזווית שמול הצלע 55 במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38.21

הפתרון:

52=72+82−2⋅7⋅8cos⁡θ5^2 = 7^2 + 8^2 - 2\cdot 7\cdot 8\cos\theta

הצלע שמול הזווית באגף השמאלי

cos⁡θ=49+64−25112=1114\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{49 + 64 - 25}{112} \\ &= \frac{11}{14}\end{aligned}
θ≈38.21∘\theta \approx 38.21^\circ

θ≈38.21∘\theta \approx 38.21^\circ. המלכודת: לשים את 55 באגף הימני ולחשב זווית אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

BAC

נכון או לא נכון: יש שני משולשים שונים שבהם AB=10AB = 10, ∠B=30∘\angle B = 30^\circ ו-AC=12AC = 12.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC=12>AB=10\begin{aligned}AC &= 12 > AB \\ &= 10\end{aligned}

הזווית הנתונה מול הצלע הגדולה

sin⁡C=10⋅0.512=512\begin{aligned}\sin C &= \frac{10\cdot 0.5}{12} \\ &= \tfrac{5}{12}\end{aligned}
C2≈155.4∘, 30∘+155.4∘>180∘C_2 \approx 155.4^\circ,\ 30^\circ + 155.4^\circ > 180^\circ

הזווית השנייה לא נכנסת

לא נכון — משולש אחד. המלכודת: «סינוס תמיד נותן שתי זוויות». כשהזווית מול הצלע הגדולה, זה משפט החפיפה הרביעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל ביטוי את מה שהוא מחשב ב-△ABC\triangle ABC.

  • 12absin⁡γ\frac{1}{2}ab\sin\gamma
  • asin⁡α\dfrac{a}{\sin\alpha}
  • b2+c2−2bccos⁡αb^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha
  • rtan⁡α2\dfrac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}}
  • קוטר המעגל החוסם
  • קטע המשיק מהקדקוד AA למעגל החסום
  • ריבוע הצלע aa
  • שטח המשולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12absin⁡γ\frac{1}{2}ab\sin\gamma — שטח המשולש · asin⁡α\dfrac{a}{\sin\alpha} — קוטר המעגל החוסם · b2+c2−2bccos⁡αb^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha — ריבוע הצלע aa · rtan⁡α2\dfrac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}} — קטע המשיק מהקדקוד AA למעגל החסום

הפתרון:

S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

נוסחת השטח

asin⁡α=2R\tfrac{a}{\sin\alpha} = 2R

משפט הסינוסים

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

משפט הקוסינוסים

tan⁡α2=rAF\tan\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{r}{AF}

במשולש שבין המרכז, הקדקוד ונקודת ההשקה

המלכודת: asin⁡α\frac{a}{\sin\alpha} הוא 2R2R, לא RR.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת