פותרים יחד · טריגונומטריה במישור · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל נושא של הפרק: משולש שווה שוקיים עם פרמטרים, חוצה זווית בעזרת שטחים, המקרה הדו-משמעי, משולש חסום במעגל, ומעוין עם מעגל חסום. בשאלות עם בחירה אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה, ואפשר לנסות שוב.

לפני שלוחצים: שרטטו לעצמכם את הצורה וסמנו עליה את הנתונים. בכל שאלה הצעד הראשון הוא לבחור משולש — ורק אחר כך משפט. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם», ובסוף היחידה תרגיל תאום לכל אחת.

1. משולש שווה שוקיים — הביעו באמצעות

AB = AC

BC = a

\angle B = \angle C = \beta

AD

הגובה לבסיס.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC$ , $BC = a$ ו- $\angle ABC = \beta$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. (א) הביעו באמצעות $a$ ו- $\beta$ את $AD$ ואת $AB$ . (ב) הביעו את שטח המשולש. (ג) נתון $a = 10$ ו- $\beta = 40^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

באיזה משולש מתחילים?

$ABD$ : ישר זווית ב- $D$ , ו- $BD = \frac{a}{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $BD$ ידוע.

$ABC$ , במשפט הקוסינוסים.

להציג את התשובה והפתרון

במשולש $ABC$ ידועה רק צלע אחת. אין מספיק נתונים למשפט הקוסינוסים.

$ABD$ עם $BD = a$ .

להציג את התשובה והפתרון

$D$ אמצע הבסיס, לכן $BD$ הוא חצי מ- $a$ .

\begin{aligned}AD &= \tfrac{a}{2}\tan\beta \\ \qquad AB &= \dfrac{a}{2\cos\beta}\end{aligned}

$AD$ מול $\beta$ ו- $BD$ לידה: טנגנס. $BD$ ליד $\beta$ ו- $AB$ יתר: קוסינוס.

איך מביעים את השטח?

$S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot AD = \tfrac{a^2}{4}\tan\beta$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן, בסיס כפול גובה חלקי $2$ .

$S = \tfrac{1}{2}a^2\sin\beta$ .

להציג את התשובה והפתרון

בנוסחה $\tfrac{1}{2}xy\sin\theta$ צריך שתי צלעות והזווית שביניהן. $a$ ו- $a$ אינן שתי צלעות של המשולש.

S = \tfrac{a^2}{4}\tan\beta

אפשר לבדוק: $\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot AB\sin\beta = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot\tfrac{a}{2\cos\beta}\sin\beta$ — אותו ביטוי.

ולרדיוס המעגל החוסם?

משפט הסינוסים: $2R = \dfrac{AC}{\sin\beta}$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AC$ נמצאת מול הזווית $B$ .

$2R = \dfrac{BC}{\sin\beta}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ נמצאת מול הזווית $A$ , ולא מול $\beta$ .

\begin{aligned}R &= \dfrac{a}{4\sin\beta\cos\beta} \\ &= \dfrac{10}{4\sin 40^\circ\cos 40^\circ} \approx 5.08\end{aligned}

מציבים $AC = \frac{a}{2\cos\beta}$ ומחלקים ב- $2\sin\beta$ .

להציג את התשובה והפתרון

(א) $AD = \frac{a}{2}\tan\beta$ , $AB = \frac{a}{2\cos\beta}$ . (ב) $S = \frac{a^2}{4}\tan\beta$ . (ג) $R \approx 5.08$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: בשאלה 1 נתון $a = 8$ ו- $\beta = 30^\circ$ . מצאו את $AB$ ואת $R$ . מה מיוחד בתוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

$AB = \frac{4}{\cos 30^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62$ , ו- $R = \frac{8}{4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$ . $R = AB$ : זווית הראש $120^\circ$ , והמרכז $O$ יוצר עם $A$ ו- $B$ משולש שווה צלעות.

2. חוצה זווית — בעזרת שטחים

AD

חוצה את הזווית

A

. המשולש

ABC

מתחלק לשני משולשים עם זווית

30^\circ

ליד

A

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \ AC &= 5 \\ \ \angle BAC &= 60^\circ \\ \quad BC &= \ ? \\ \ AD &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מוצאים קודם את $BC$ , ואחר כך את $AD$ בלי שום משפט חדש — רק נוסחת השטח.

\begin{aligned}BC^2 &= 64 + 25 - 2\cdot 8\cdot 5\cos 60^\circ \\ &= 49 \Rightarrow BC \\ &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים: שתי צלעות והזווית שביניהן.

שטח כולל

\begin{aligned}S_{ABC} &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

שני חלקים

\begin{aligned}S_{ABD} + S_{ADC} &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot AD\sin 30^\circ + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot AD\sin 30^\circ \\ &= \tfrac{13}{4}AD\end{aligned}

בכל חלק: צלע, $AD$ , והזווית $30^\circ$ שביניהן.

משוואה

\begin{aligned}\tfrac{13}{4}AD &= 10\sqrt{3} \Rightarrow AD \\ &= \dfrac{40\sqrt{3}}{13} \approx 5.33\end{aligned}

השטח לא משתנה כשמחלקים אותו.

המשולש הגדול שווה לסכום שני החלקים — משוואה עם נעלם אחד.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: במשולש $AB = 6$ , $AC = 3$ ו- $\angle A = 120^\circ$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

$\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin 120^\circ = \tfrac{1}{2}(6 + 3)\cdot AD\sin 60^\circ$ . הסינוסים שווים, ולכן $18 = 9\,AD$ ו- $AD = 2$ .

3. שני משולשים מאותם נתונים

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 7$ ו- $\angle ABC = 30^\circ$ . (א) כמה משולשים מקיימים את הנתונים? (ב) מצאו את כל האפשרויות ל- $BC$ . (ג) מצאו את שטח המשולש בכל אפשרות.

כמה משולשים?

שניים: $12\sin 30^\circ = 6 < 7 < 12$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AC$ ארוכה מהגובה וקצרה מ- $AB$ .

אחד: הזווית נתונה.

להציג את התשובה והפתרון

הזווית נמצאת מול הצלע הקצרה $AC$ — זה בדיוק המקרה שבו משפט החפיפה הרביעי לא חל.

\begin{aligned}AH &= 6 \\ \quad BH &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

$H$ רגל הגובה מ- $A$ אל הישר $BC$ .

איך מוצאים את $BC$ ?

$HC = \sqrt{49 - 36} = \sqrt{13}$ , ו- $BC = 6\sqrt{3} \pm \sqrt{13}$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. שתי נקודות על הישר במרחק $\sqrt{13}$ מ- $H$ .

$BC = \sqrt{144 + 49 - 168\cos 30^\circ}$ .

להציג את התשובה והפתרון

הזווית $30^\circ$ אינה בין $AB$ ל- $AC$ . במשפט הקוסינוסים הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות.

\begin{aligned}BC_1 &= 6\sqrt{3} + \sqrt{13} \approx 14.00 \\ \quad BC_2 &= 6\sqrt{3} - \sqrt{13} \approx 6.79\end{aligned}

דרך אחרת: משפט הקוסינוסים סביב $B$ נותן $BC^2 - 12\sqrt{3}\,BC + 95 = 0$ , עם אותם שני פתרונות.

והשטח?

$S = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot BC\sin 30^\circ = 3\,BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AB$ ו- $BC$ יוצרות את הזווית $30^\circ$ .

$S = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\sin 30^\circ = 21$ בשני המקרים.

להציג את התשובה והפתרון

הזווית $30^\circ$ אינה בין $12$ ל- $7$ . והשטחים שונים — המשולשים לא חופפים.

S_1 \approx 41.99,\quad S_2 \approx 20.36

להציג את התשובה והפתרון

שני משולשים. $BC = 6\sqrt{3} \pm \sqrt{13}$ , כלומר $14.00$ או $6.79$ , והשטחים $41.99$ או $20.36$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: $AB = 10$ , $AC = 8$ ו- $\angle B = 30^\circ$ . מצאו את שני הערכים של $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

$AH = 5$ , $BH = 5\sqrt{3}$ , $HC = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$ . $BC = 5\sqrt{3} \pm \sqrt{39}$ , כלומר $14.91$ או $2.42$ .

4. משולש שווה שוקיים חסום במעגל

O

מרכז המעגל,

R = 5

BC = 8

. הקדקוד

A

יכול להיות על הקשת הגדולה — או על הקטנה.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

\begin{aligned}R &= 5 \\ \ BC &= 8 \\ \ AB &= AC \\ \quad \angle A &= \ ? \\ \ S &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $5$ . מתחילים במשפט הסינוסים — ושם כבר מופיעות שתי תשובות.

סינוס

\begin{aligned}\sin A &= \dfrac{BC}{2R} \\ &= \dfrac{8}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}

משפט הסינוסים.

שתי זוויות

\angle A \approx 53.13^\circ\quad\text{או}\quad \angle A \approx 126.87^\circ

המיתר $BC$ נראה מהקשת הגדולה בזווית חדה, ומהקטנה בזווית קהה.

מרחק מהמרכז

\begin{aligned}OD &= \sqrt{5^2 - 4^2} \\ &= 3\end{aligned}

$OD \perp BC$ וחוצה אותו. הגובה $AD$ עובר דרך $O$ .

גובה

\begin{aligned}AD &= 5 + 3 \\ &= 8\quad\text{או}\quad AD \\ &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

$A$ בצד של $BC$ שבו נמצא המרכז $O$ — או בצד השני.

שטח

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8 \\ &= 32\quad\text{או}\quad S \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

שני משולשים שונים, ואותו מעגל ואותו מיתר.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: מעגל שרדיוסו $13$ , מיתר $BC = 24$ , והמשולש $ABC$ שווה שוקיים וחסום במעגל. מצאו את שני השטחים האפשריים.

להציג את התשובה והפתרון

$OD = \sqrt{169 - 144} = 5$ . $AD = 18$ או $AD = 8$ . $S = \tfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 18 = 216$ או $S = \tfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 8 = 96$ .

5. מעוין ומעגל חסום — פרמטר, מקסימום ונתון

O

מפגש האלכסונים, והוא מרכז המעגל החסום במעוין.

OE

רדיוס, מאונך לצלע

AB

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5

\begin{aligned}AB &= k \\ \ \angle A &= \alpha \\ \quad S(\alpha) &= \ ? \\ \ r(\alpha) &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». (א) הביעו את שטח המעוין ואת רדיוס המעגל החסום בו. (ב) לאיזו $\alpha$ השטח מקסימלי? (ג) נתון $k = 6$ ו- $r = 2.25$ . מצאו את $\alpha$ .

שטח

\begin{aligned}S &= 2\cdot\tfrac{1}{2}k\cdot k\sin\alpha \\ &= k^2\sin\alpha\end{aligned}

האלכסון $BD$ מחלק לשני משולשים חופפים.

גובה

h = k\sin\alpha

המרחק בין שתי צלעות נגדיות.

רדיוס

\begin{aligned}r &= \tfrac{h}{2} \\ &= \tfrac{k\sin\alpha}{2}\end{aligned}

המרכז $O$ באמצע בין שתי הצלעות הנגדיות, ובמרחק שווה מכולן.

מקסימום

\begin{aligned}\sin\alpha \le 1 \Rightarrow S \le k^2 \\ \ \ S &= k^2 \iff \alpha \\ &= 90^\circ\end{aligned}

בלי נגזרת: הסינוס לא עולה על $1$ . המעוין הגדול ביותר הוא ריבוע.

נתון

\begin{aligned}\tfrac{6\sin\alpha}{2} &= 2.25 \Rightarrow \sin\alpha \\ &= 0.75 \Rightarrow \alpha \approx 48.59^\circ\end{aligned}

הזווית החדה; הקהה במעוין היא $131.41^\circ$ .

הפרמטר קודם, המספרים אחר כך.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: מעוין שצלעו $10$ ושטחו $50$ . מצאו את הזווית החדה ואת רדיוס המעגל החסום.

להציג את התשובה והפתרון

$100\sin\alpha = 50$ , ולכן $\sin\alpha = 0.5$ ו- $\alpha = 30^\circ$ . $r = \frac{10\cdot 0.5}{2} = 2.5$ .

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC$ , $BC = 12$ ו- $\angle ABC = 35^\circ$ . מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.21

הפתרון:

BD = 6

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD = 6\tan 35^\circ

במשולש $ABD$

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 6\tan 35^\circ \\ &= 36\tan 35^\circ \approx 25.21\end{aligned}

$S \approx 25.21$ . המלכודת: לקחת $BD = 12$ ולקבל שטח גדול פי $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 6$ ו- $\angle BAC = 90^\circ$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $AD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.3

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6 \\ &= 30\end{aligned}

\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot AD\sin 45^\circ + \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\sin 45^\circ = 4\sqrt{2}\,AD

שני החלקים, זווית $45^\circ$ בכל אחד

\begin{aligned}AD &= \dfrac{30}{4\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{15\sqrt{2}}{4} \approx 5.30\end{aligned}

$AD \approx 5.30$ . המלכודת: להציב $\sin 90^\circ$ בחלקים — כל חלק מקבל רק חצי מהזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = 14$ , $AC = 10$ ו- $\angle ABC = 30^\circ$ . יש שני משולשים אפשריים. מצאו את שני הערכים של $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

$BC$ הארוך $=$ ____, $BC$ הקצר $=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BC$ הארוך $=$ 19.27, $BC$ הקצר $=$ 4.98

הפתרון:

\begin{aligned}AH &= 14\sin 30^\circ \\ &= 7 \\ \quad BH &= 7\sqrt{3}\end{aligned}

7 < 10 < 14

שני משולשים

\begin{aligned}HC &= \sqrt{100 - 49} \\ &= \sqrt{51}\end{aligned}

\begin{aligned}BC &= 7\sqrt{3} \pm \sqrt{51} \approx 19.27 \\ \ 4.98\end{aligned}

$BC \approx 19.27$ או $BC \approx 4.98$ . המלכודת: להפעיל את משפט הקוסינוסים עם הזווית $30^\circ$ כאילו היא בין $14$ ל- $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $10$ . נתון $BC = 12$ , $AB = AC$ , והזווית $A$ קהה. מהו שטח המשולש?

$48$
$12$
$60$
$108$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $12$

הפתרון:

\begin{aligned}OD &= \sqrt{100 - 36} \\ &= 8\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}AD &= 10 - 8 \\ &= 2\end{aligned}

זווית קהה: $A$ על הקשת הקטנה, בצד של $BC$ שבו אין את המרכז $O$

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 2 \\ &= 12\end{aligned}

התשובה: $12$ . המלכודת: $108$ — זה המשולש שבו $A$ על הקשת הגדולה והזווית חדה. ו- $48$ מתקבל כשלוקחים את $OD$ כגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במעוין שצלעו $8$ חסום מעגל שרדיוסו $3.2$ . מצאו את הזווית החדה של המעוין במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

\begin{aligned}h &= 2r \\ &= 6.4\end{aligned}

המעגל משיק לשתי צלעות נגדיות

\begin{aligned}8\sin\alpha &= 6.4 \Rightarrow \sin\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}

\alpha \approx 53.13^\circ

הזווית החדה

$\alpha \approx 53.13^\circ$ . המלכודת: $h = r$ , כלומר $\sin\alpha = 0.4$ — הרדיוס הוא חצי מהמרחק בין הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1. משולש שווה שוקיים — הביעו באמצעות

2. חוצה זווית — בעזרת שטחים

3. שני משולשים מאותם נתונים

4. משולש שווה שוקיים חסום במעגל

5. מעוין ומעגל חסום — פרמטר, מקסימום ונתון

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev