טריגונומטריה בתוך צורות · טריגונומטריה במישור · כיתה י׳

עד עכשיו כל שאלה הייתה משולש אחד. בבגרות המשולש מסתתר בתוך צורה: מקבילית, מרובע חסום במעגל, משולש עם מעגל חסום. הצעד הראשון תמיד זהה — למצוא את המשולש שבו יש מספיק נתונים, ולפעמים שני משולשים שחולקים צלע.

האלכסון

BD

סוגר את הזווית

A

, והאלכסון

AC

סוגר את הזווית

B

. שתי הזוויות משלימות ל-

180^\circ

במקבילית שבשרטוט $AB = 6$ , $AD = 4$ ו- $\angle A = 60^\circ$ . חשבו את $BD^2$ ואת $AC^2$ . למה יצאו מספרים שונים, אם אותן שתי צלעות משתתפות בשני החישובים?

להציג את התשובה והפתרון

במשולש $ABD$ : $BD^2 = 36 + 16 - 48\cos 60^\circ = 28$ . במשולש $ABC$ הזווית $B$ היא $120^\circ$ : $AC^2 = 36 + 16 - 48\cos 120^\circ = 76$ . אותן צלעות, אבל $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$ — והסימן הופך.

זוויות משלימות: הסינוס נשאר, הקוסינוס מחליף סימן

\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

לכן שטח של שני המשולשים במקבילית שווה: $\tfrac{1}{2}ab\sin\alpha$ בשניהם.

\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

לכן האלכסונים שונים: בזווית החדה מחסירים, בקהה מוסיפים.

מרובע חסום במעגל: אלכסון אחד, שני משולשים

פעילות אינטראקטיבית

מרובע חסום

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \ BC &= 3 \\ \ CD &= 5 \\ \ DA &= 5 \\ \quad \angle A &= \ ? \\ \ BD &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המרובע $ABCD$ חסום במעגל. האלכסון $BD$ שייך גם למשולש $ABD$ וגם למשולש $CBD$ — נכתוב אותו פעמיים.

משולש ABD

\begin{aligned}BD^2 &= 8^2 + 5^2 - 2\cdot 8\cdot 5\cos A \\ &= 89 - 80\cos A\end{aligned}

משפט הקוסינוסים, הזווית $A$ בין $AB$ ל- $AD$ .

משולש CBD

\begin{aligned}BD^2 &= 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos C \\ &= 34 + 30\cos A\end{aligned}

במרובע חסום $C = 180^\circ - A$ , ולכן $\cos C = -\cos A$ .

משוואה

\begin{aligned}89 - 80\cos A &= 34 + 30\cos A \Rightarrow \cos A \\ &= \tfrac{55}{110} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

שני ביטויים לאותו אלכסון.

תשובה

\begin{aligned}\angle A &= 60^\circ \\ \quad BD &= \sqrt{89 - 40} \\ &= 7\end{aligned}

ובדיקה: $34 + 15 = 49$ .

שטח

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\sin 120^\circ \\ &= \tfrac{55\sqrt{3}}{4} \approx 23.82\end{aligned}

שני המשולשים, עם אותו סינוס.

שני המשולשים חולקים את $BD$ — וזה מה שנותן משוואה.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה האחרונה מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

המעגל חוסם גם את המשולש $ABD$ . לפי משפט הסינוסים: $2R = \frac{BD}{\sin A} = \frac{7}{\sqrt{3}/2}$ , ולכן $R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4.04$ .

מעגל חסום במשולש

מרכז המעגל החסום $O$ הוא נקודת החיתוך של חוצי הזוויות, והרדיוס מאונך לצלע בנקודת ההשקה. לכן ליד כל קדקוד נוצר משולש ישר זווית, למשל $AFO$ : הזווית ב- $F$ ישרה, והזווית ב- $A$ היא חצי מ- $\alpha$ .

O

מרכז המעגל החסום (המעגל עצמו לא משורטט).

OD = OE = OF = r

, והרדיוסים מאונכים לצלעות בנקודות ההשקה.

\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{AF}

במשולש $AFO$ : הרדיוס מול חצי הזווית, קטע המשיק ליד.

\begin{aligned}S &= r\cdot p \\ \quad p &= \frac{a+b+c}{2}\end{aligned}

מחלקים את המשולש לשלושה משולשים $AOB$ , $BOC$ , $COA$ . הגובה של כל אחד מהם הוא $r$ .

משולש שווה צלעות שצלעו $6$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום בשתי הדרכים.

להציג את התשובה והפתרון

דרך א: $AF = 3$ (נקודת ההשקה באמצע הצלע), $r = 3\tan 30^\circ = \sqrt{3}$ . דרך ב: $S = \tfrac{1}{2}\cdot 36\sin 60^\circ = 9\sqrt{3}$ , $p = 9$ , $r = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$ .

הביעו באמצעות $a$ ו- $\beta$

במשולש שווה שוקיים $AB = AC$ , הבסיס $BC = a$ וזווית הבסיס $\beta$ . הביעו את רדיוס המעגל החסום.

BD = \tfrac{a}{2}

נקודת ההשקה $D$ על הבסיס היא אמצע $BC$ : המרכז על הגובה, שהוא גם תיכון

\angle OBD = \tfrac{\beta}{2}

$BO$ חוצה את זווית הבסיס

\begin{aligned}r &= OD \\ &= BD\tan\tfrac{\beta}{2} \\ &= \tfrac{a}{2}\tan\tfrac{\beta}{2}\end{aligned}

במשולש $OBD$ , ישר זווית ב- $D$

\begin{aligned}a &= 10 \\ \ \beta &= 70^\circ \Rightarrow r \\ &= 5\tan 35^\circ \approx 3.50\end{aligned}

בדיקה במספרים

בשאלת «הביעו באמצעות» התשובה היא ביטוי, והמספרים באים רק בסעיף הבא. לכתוב את הביטוי עד הסוף ורק אז להציב — וכך סעיף ב מקבל נקודות גם אם בסעיף א יש טעות חישוב.

שלוש טעויות שחוזרות בשאלות משולבות.

AF = r\tan\tfrac{\alpha}{2}

AF = \dfrac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}}

הרדיוס נמצא מול חצי הזווית, ו- $AF$ לידה. $\tan = \frac{r}{AF}$ .

AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha

AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha

במקבילית האלכסון השני סוגר את הזווית $180^\circ - \alpha$ , והקוסינוס שלה שלילי.

S = r(a + b + c)

S = r\cdot\tfrac{a + b + c}{2}

כל אחד משלושת המשולשים הקטנים הוא חצי בסיס כפול גובה.

תרגילים

תרגיל 1

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 7$ , $AD = 5$ ו- $\angle BAD = 50^\circ$ . מצאו את אורך האלכסון הארוך $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.91

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות במקבילית

AC^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cos 130^\circ

משפט הקוסינוסים במשולש $ABC$ , $BC = AD = 5$

AC^2 = 74 + 70\cos 50^\circ \approx 118.99

AC \approx 10.91

$AC \approx 10.91$ . המלכודת: להשתמש ב- $50^\circ$ ולקבל $5.39$ — זה האלכסון הקצר $BD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעוין $ABCD$ הצלע $k$ והזווית החדה $\angle A = \alpha$ . הביעו באמצעות $k$ ו- $\alpha$ את האלכסון הקצר $BD$ .

$2k\sin\frac{\alpha}{2}$
$k\sin\alpha$
$2k\sin\alpha$
$2k\cos\frac{\alpha}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2k\sin\frac{\alpha}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}AO \perp BD \\ \ \angle BAO &= \tfrac{\alpha}{2}\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים, וכל אלכסון חוצה את הזוויות

BO = k\sin\tfrac{\alpha}{2}

במשולש $ABO$ , ישר זווית ב- $O$

\begin{aligned}BD &= 2BO \\ &= 2k\sin\tfrac{\alpha}{2}\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

התשובה: $2k\sin\frac{\alpha}{2}$ . המלכודת: $2k\cos\frac{\alpha}{2}$ — זה האלכסון הארוך $AC$ , הניצב שליד חצי הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הצלעות $AB = 13$ , $BC = 14$ ו- $CA = 15$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\cos B &= \frac{13^2 + 14^2 - 15^2}{2\cdot 13\cdot 14} \\ &= \frac{140}{364} \\ &= \frac{5}{13}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

\begin{aligned}\sin B &= \sqrt{1 - \tfrac{25}{169}} \\ &= \tfrac{12}{13}\end{aligned}

זווית במשולש — הסינוס חיובי

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 13\cdot 14\cdot\tfrac{12}{13} \\ &= 84\end{aligned}

\begin{aligned}p &= 21 \\ \quad r &= \tfrac{84}{21} \\ &= 4\end{aligned}

$S = r\cdot p$

$r = 4$ . המלכודת: לחלק בהיקף $42$ ולקבל $2$ — בנוסחה $S = r\cdot p$ נמצא חצי ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 60^\circ$ . המעגל החסום במשולש משיק לצלע $AB$ בנקודה $F$ , ו- $AF = 6$ . מצאו את רדיוס המעגל (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.46

הפתרון:

\angle OAF = 30^\circ

$AO$ חוצה את הזווית $A$

OF \perp AB

רדיוס לנקודת ההשקה

\begin{aligned}r &= AF\tan 30^\circ \\ &= 6\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.46\end{aligned}

$r = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ . המלכודת: לקחת את הזווית המלאה $60^\circ$ ולקבל $6\sqrt{3}$ — המרכז על חוצה הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = \alpha$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. הוכיחו כי $BC = 2k\sin\frac{\alpha}{2}$ .

$AB = AC = k$
$\angle BAC = \alpha$
$AD \perp BC$

$BC = 2k\sin\frac{\alpha}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ — במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש
$BD = DC$ — במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
$BD = k\sin\frac{\alpha}{2}$ — במשולש $ABD$ ישר הזווית: הניצב שמול הזווית שווה ליתר כפול סינוס הזווית
$BC = 2k\sin\frac{\alpha}{2}$ — $BC = BD + DC = 2BD$

הפתרון:

\angle BAD = \tfrac{\alpha}{2}

BD = k\sin\tfrac{\alpha}{2}

BC = 2BD

המלכודת: לכתוב $BC = k\sin\alpha$ , כאילו $BC$ ניצב במשולש ישר זווית. המשולש $ABC$ אינו ישר זווית — הגובה יוצר את המשולש הנכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון $AB = 7$ , $AD = 8$ , $CD = 8$ ו- $\angle BAD = 120^\circ$ . השלימו.

$BD =$ ____, $\angle BCD =$ ____ מעלות, $BC =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BD =$ 13, $\angle BCD =$ 60 מעלות, $BC =$ 15

הפתרון:

\begin{aligned}BD^2 &= 49 + 64 - 2\cdot 7\cdot 8\cos 120^\circ \\ &= 113 + 56 \\ &= 169\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

\begin{aligned}169 &= x^2 + 64 - 8x \Rightarrow x^2 - 8x - 105 \\ &= 0\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $BCD$ , $x = BC$

\begin{aligned}(x - 15)(x + 7) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 15\end{aligned}

אורך חיובי

$BD = 13$ , $\angle C = 60^\circ$ , $BC = 15$ . המלכודת: להשאיר $\cos 120^\circ$ חיובי ולקבל $BD^2 = 57$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון: בכל מקבילית, סכום הריבועים של שני האלכסונים שווה לסכום הריבועים של ארבע הצלעות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha

הזווית $\alpha$

AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha

הזווית $180^\circ - \alpha$

AC^2 + BD^2 = 2a^2 + 2b^2

האיברים עם הקוסינוס מתבטלים

נכון, והוכחה כללית, לא דוגמה: $2a^2 + 2b^2$ הוא סכום ריבועי ארבע הצלעות. המלכודת: לבדוק מקבילית אחת במספרים ולקרוא לזה הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 12$ וזוויות הבסיס $50^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.8

הפתרון:

BD = 6

נקודת ההשקה על הבסיס היא אמצעו

\angle OBD = 25^\circ

$BO$ חוצה את זווית הבסיס

r = 6\tan 25^\circ \approx 2.80

$r \approx 2.80$ . המלכודת: $r = 6\tan 50^\circ \approx 7.15$ — זה גובה המשולש $AD$ , ומעגל ברדיוס כזה לא נכנס למשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $\angle A = \alpha$ ו- $\angle B = \beta$ . הביעו את $AB$ באמצעות $R$ , $\alpha$ ו- $\beta$ .

$2R\cos(\alpha+\beta)$
$R\sin(\alpha+\beta)$
$2R\sin(\alpha+\beta)$
$2R\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2R\sin(\alpha+\beta)$

הפתרון:

\angle C = 180^\circ - \alpha - \beta

הצלע $AB$ נמצאת מול $C$

AB = 2R\sin C

משפט הסינוסים

\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)

התשובה: $2R\sin(\alpha+\beta)$ . המלכודת: $2R\sin\alpha$ — זו הצלע $BC$ , שמול $A$ . לכל צלע הזווית שמולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 6$ , $BC = 4$ ו- $\angle ABC = 120^\circ$ . תלמיד חישב את האלכסון $AC$ . מצאו את השורה השגויה.

AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2\cdot 6\cdot 4\cos 120^\circ

\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}

\begin{aligned}AC^2 &= 52 - 24 \\ &= 28\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC^2 = 52 - 24 = 28$ → $AC^2 = 52 + 24 = 76$

הפתרון:

-2\cdot 6\cdot 4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = +24

מינוס כפול מינוס

\begin{aligned}AC &= \sqrt{76} \\ &= 2\sqrt{19} \approx 8.72\end{aligned}

התוצאה הנכונה

הטעות: לשכוח את הסימן של $\cos 120^\circ$ . בדיקה מהירה: מול זווית קהה נמצאת הצלע הארוכה במשולש, ו- $\sqrt{28} \approx 5.29$ קצר מ- $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

זוויות משלימות: הסינוס נשאר, הקוסינוס מחליף סימן

מרובע חסום במעגל: אלכסון אחד, שני משולשים

מעגל חסום במשולש

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev