המקרה הדו-משמעי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

נתונה צלע AB=10AB = 10, והזווית ∠B=30∘\angle B = 30^\circ — כלומר קרן שיוצאת מ-BB. עכשיו אומרים: הצלע ACAC שווה ל-66. איפה נמצא CC? פותחים מחוגה ברדיוס 66 סביב AA, ומסתכלים איפה הקשת פוגשת את הקרן.

BAEHCC'
הקשת שמרכזה AA ורדיוסה 66 חותכת את הקרן פעמיים: ב-CC וב-C′C'. AC=AC′=6AC = AC' = 6 — ושני המשולשים ABCABC ו-ABC′ABC' מקיימים את כל הנתונים.

בשרטוט AB=10AB = 10 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. מה אורך הגובה AHAH? ולמה הקשת ברדיוס 66 חותכת את הקרן פעמיים, וקשת ברדיוס 44 לא חותכת אותה בכלל?

להציג את התשובה והפתרון

AH=10sin⁡30∘=5AH = 10\sin 30^\circ = 5. זה המרחק הקצר ביותר מ-AA לקרן. רדיוס 6>56 > 5 מגיע לקרן משני צדי HH; רדיוס 4<54 < 5 לא מגיע אליה — אין משולש.

מה אומר משפט הסינוסים

נסו לפתור במשפט הסינוסים: 6sin⁡30∘=10sin⁡γ\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin\gamma}, ולכן sin⁡γ=10⋅0.56=56\sin\gamma = \frac{10\cdot 0.5}{6} = \frac{5}{6}. המחשבון נותן γ≈56.4∘\gamma \approx 56.4^\circ. אבל גם γ≈123.6∘\gamma \approx 123.6^\circ מקיימת את אותה משוואה — וזו בדיוק הזווית ב-C′C'.

בשני המשולשים של השרטוט: מה הזווית ∠BAC\angle BAC? ומה ∠BAC′\angle BAC'?

להציג את התשובה והפתרון

במשולש ABCABC (עם γ≈56.4∘\gamma \approx 56.4^\circ): ∠A≈180∘−30∘−56.4∘=93.6∘\angle A \approx 180^\circ - 30^\circ - 56.4^\circ = 93.6^\circ. במשולש ABC′ABC' (עם γ≈123.6∘\gamma \approx 123.6^\circ): ∠A≈26.4∘\angle A \approx 26.4^\circ. שני משולשים שונים לגמרי מאותם שלושה נתונים.

כמה משולשים? להשוות לגובה

נתונים c=ABc = AB, הזווית β\beta שליד BB, והצלע b=ACb = AC שמול β\beta. הגובה מ-AA אל הקרן הוא h=csin⁡βh = c\sin\beta (כש-β\beta חדה).

b<csin⁡βb < c\sin\beta

אין משולש — הקשת לא מגיעה לקרן.

b=csin⁡βb = c\sin\beta

משולש אחד, ישר זווית ב-CC.

csin⁡β<b<cc\sin\beta < b < c

שני משולשים — המקרה הדו-משמעי.

b≥cb \ge c

משולש אחד — החיתוך השני נופל מאחורי BB.

הקשר למשפט החפיפה הרביעי (צ.צ.ז). שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן קובעות משולש אחד — זה המקרה b≥cb \ge c. כשהזווית מול הצלע הקטנה, יש שני משולשים שאינם חופפים, והם בדיוק הדוגמה הנגדית שמראה למה המשפט דורש «מול הגדולה».

פותרים את שני המשולשים

בשאלה האחרונה ההפרש בין שני הערכים של BCBC הוא 66. הסבירו את המספר הזה מהשרטוט.

להציג את התשובה והפתרון

שתי נקודות החיתוך סימטריות סביב רגל הגובה HH. במשולש AHCAHC: HC=52−42=3HC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3. לכן BC=BH±3BC = BH \pm 3, וההפרש הוא 2⋅3=62\cdot 3 = 6.

כשהזווית מול הצלע הגדולה

במשולש AB=8AB = 8, AC=10AC = 10 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. כמה משולשים יש?

sin⁡C=8sin⁡30∘10=0.4\begin{aligned}\sin C &= \frac{8\sin 30^\circ}{10} \\ &= 0.4\end{aligned}

משפט הסינוסים

γ1≈23.58∘,γ2≈156.42∘\gamma_1 \approx 23.58^\circ,\quad \gamma_2 \approx 156.42^\circ

שני פתרונות למשוואה

30∘+156.42∘>180∘30^\circ + 156.42^\circ > 180^\circ

הזווית הקהה לא נכנסת למשולש

γ≈23.58∘\gamma \approx 23.58^\circ

משולש אחד — כמו שמשפט החפיפה הרביעי מבטיח

למה משפט הקוסינוסים, כשמשתמשים בו כדי למצוא זווית, אף פעם לא נותן שתי תשובות?

להציג את התשובה והפתרון

כי הקוסינוס מבחין בין זווית חדה (חיובי) לזווית קהה (שלילי): לכל ערך בין −1-1 ל-11 יש זווית אחת בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ. הסינוס חיובי בשתיהן — ולכן רק הוא דו-משמעי.

שלוש טעויות במקרה הדו-משמעי.

sin⁡γ=56⇒γ=56.4∘\begin{aligned}\sin\gamma &= \tfrac{5}{6} \Rightarrow \gamma \\ &= 56.4^\circ\end{aligned}
γ1≈56.4∘, γ2≈123.6∘\gamma_1 \approx 56.4^\circ,\ \gamma_2 \approx 123.6^\circ

המחשבון נותן רק את הזווית החדה. תמיד לבדוק גם את 180∘−γ180^\circ - \gamma.

γ2=180∘−23.58∘ ✓\gamma_2 = 180^\circ - 23.58^\circ \ \checkmark
30∘+156.42∘>180∘30^\circ + 156.42^\circ > 180^\circ

לא כל זווית שנייה נכנסת למשולש. בודקים שסכומה עם הזווית הנתונה קטן מ-180∘180^\circ.

γ2=90∘+γ1\gamma_2 = 90^\circ + \gamma_1
γ2=180∘−γ1\gamma_2 = 180^\circ - \gamma_1

הזווית השנייה משלימה ל-180∘180^\circ, לא ל-90∘90^\circ.

תרגילים

תרגיל 1

BAEH

נתון AB=10AB = 10 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. הקדקוד CC נמצא על הקרן BEBE, ו-AC=7AC = 7. כמה משולשים ABCABC שונים מקיימים את הנתונים?

  1. אין אף משולש
  2. שניים
  3. אינסוף
  4. אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שניים

הפתרון:

h=10sin⁡30∘=5\begin{aligned}h &= 10\sin 30^\circ \\ &= 5\end{aligned}

המרחק מ-AA לקרן

5<7<105 < 7 < 10

ארוך מהגובה, קצר מ-ABAB

התשובה: «שניים». המלכודת: «אחד» — שלושה נתונים לא תמיד קובעים משולש כשהזווית מול הצלע הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

BAEH

נתון AB=10AB = 10 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. הקדקוד CC נמצא על הקרן BEBE, ו-AC=4AC = 4. כמה משולשים ABCABC מקיימים את הנתונים?

  1. אין אף משולש
  2. שניים
  3. אחד
  4. אינסוף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אין אף משולש

הפתרון:

h=10sin⁡30∘=5\begin{aligned}h &= 10\sin 30^\circ \\ &= 5\end{aligned}
4<54 < 5

הצלע קצרה מהמרחק הקצר ביותר לקרן

sin⁡C=10⋅0.54=1.25>1\begin{aligned}\sin C &= \frac{10\cdot 0.5}{4} \\ &= 1.25 > 1\end{aligned}

ובמשפט הסינוסים: אין זווית כזאת

התשובה: «אין אף משולש». סינוס גדול מ-11 הוא הסימן האלגברי לכך שהקשת לא מגיעה לקרן. המלכודת: לחשב sin⁡−1(1.25)\sin^{-1}(1.25) ולקבל שגיאה במחשבון בלי להבין אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

BAEH

נתון AB=10AB = 10, ∠B=30∘\angle B = 30^\circ ו-AC=5AC = 5. כמה משולשים ABCABC שונים מקיימים את הנתונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

h=10sin⁡30∘=5=AC\begin{aligned}h &= 10\sin 30^\circ \\ &= 5 \\ &= AC\end{aligned}
sin⁡C=10⋅0.55=1⇒C=90∘\begin{aligned}\sin C &= \frac{10\cdot 0.5}{5} \\ &= 1 \Rightarrow C \\ &= 90^\circ\end{aligned}

משולש אחד, ישר זווית ב-CC. CC הוא רגל הגובה. המלכודת: לענות «שניים» כי «בדרך כלל יש שתי זוויות» — ל-sin⁡C=1\sin C = 1 יש רק 90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

BAEHCC'

במשולש ABCABC נתון AB=8AB = 8, AC=6AC = 6 ו-∠B=40∘\angle B = 40^\circ, והזווית CC קהה. מצאו את ∠C\angle C במעלות (עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 121

הפתרון:

sin⁡C=8sin⁡40∘6≈0.857\sin C = \frac{8\sin 40^\circ}{6} \approx 0.857

משפט הסינוסים

C1≈59.0∘C_1 \approx 59.0^\circ

מה שהמחשבון נותן

C2=180∘−59.0∘=121.0∘\begin{aligned}C_2 &= 180^\circ - 59.0^\circ \\ &= 121.0^\circ\end{aligned}

הזווית הקהה

40∘+121.0∘<180∘40^\circ + 121.0^\circ < 180^\circ

היא נכנסת למשולש

∠C≈121.0∘\angle C \approx 121.0^\circ. המלכודת: לכתוב 59.0∘59.0^\circ — המחשבון לא יודע שהזווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

BAEH

נכון או לא נכון: קיימים שני משולשים שונים שבהם AB=8AB = 8, AC=12AC = 12 ו-∠B=35∘\angle B = 35^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

sin⁡C=8sin⁡35∘12≈0.382\sin C = \frac{8\sin 35^\circ}{12} \approx 0.382
C1≈22.5∘,C2≈157.5∘C_1 \approx 22.5^\circ,\quad C_2 \approx 157.5^\circ
35∘+157.5∘>180∘35^\circ + 157.5^\circ > 180^\circ

הזווית השנייה לא אפשרית

לא נכון — יש משולש אחד. הזווית הנתונה מול הצלע הגדולה (AC>ABAC > AB), וזה בדיוק משפט החפיפה הרביעי. המלכודת: לענות «שניים» בכל פעם שמשתמשים במשפט הסינוסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

BAEHCC'

נתון AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. יש שני משולשים אפשריים. מצאו את האורך הקצר מבין שני הערכים של BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.34

הפתרון:

BH=10cos⁡30∘=53\begin{aligned}BH &= 10\cos 30^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

HH רגל הגובה מ-AA

AH=5HC=62−52=11\begin{aligned}AH &= 5 \\ \quad HC &= \sqrt{6^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}

פיתגורס במשולש AHCAHC

BC′=53−11≈5.34BC' = 5\sqrt{3} - \sqrt{11} \approx 5.34

החיתוך הקרוב ל-BB

BC′≈5.34BC' \approx 5.34 (והארוך: 53+11≈11.985\sqrt{3} + \sqrt{11} \approx 11.98). אפשר גם במשפט הקוסינוסים: BC2−103 BC+64=0BC^2 - 10\sqrt{3}\,BC + 64 = 0. המלכודת: לפתור רק עם הזווית החדה ולקבל רק את הארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בכל שורה נתון ABAB, הזווית BB והצלע ACAC שמולה. מיינו: כמה △ABC\triangle ABC שונים אפשר לבנות?

  • משולש אחד בדיוק
  • שני משולשים
  • AB=12, ∠B=45∘, AC=10AB = 12,\ \angle B = 45^\circ,\ AC = 10
  • AB=5, ∠B=60∘, AC=5AB = 5,\ \angle B = 60^\circ,\ AC = 5
  • AB=6, ∠B=30∘, AC=3AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 3
  • AB=6, ∠B=30∘, AC=4AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 4
  • AB=6, ∠B=30∘, AC=8AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=6, ∠B=30∘, AC=8AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 8 — משולש אחד בדיוק · AB=6, ∠B=30∘, AC=3AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 3 — משולש אחד בדיוק · AB=6, ∠B=30∘, AC=4AB = 6,\ \angle B = 30^\circ,\ AC = 4 — שני משולשים · AB=12, ∠B=45∘, AC=10AB = 12,\ \angle B = 45^\circ,\ AC = 10 — שני משולשים · AB=5, ∠B=60∘, AC=5AB = 5,\ \angle B = 60^\circ,\ AC = 5 — משולש אחד בדיוק

הפתרון:

6sin⁡30∘=36\sin 30^\circ = 3

הגובה בשלוש השורות הראשונות

AC=8≥6AC = 8 \ge 6

מול הצלע הגדולה — אחד

AC=3=h\begin{aligned}AC &= 3 \\ &= h\end{aligned}

ישר זווית — אחד

3<4<63 < 4 < 6

שניים

12sin⁡45∘≈8.49<10<1212\sin 45^\circ \approx 8.49 < 10 < 12

שניים

AC=AB=5\begin{aligned}AC &= AB \\ &= 5\end{aligned}

b≥cb \ge c — אחד (שווה צלעות)

השיטה: לחשב את הגובה csin⁡βc\sin\beta ולהשוות. המלכודת: המקרה AC=ABAC = AB — החיתוך השני נופל בדיוק על BB, ואינו משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

BAEHCC'

במשולש ABCABC נתון AB=9AB = 9, AC=7.5AC = 7.5 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. מצאו את שתי האפשרויות לזווית CC (במעלות, שתי ספרות אחרי הנקודה).

γ1=\gamma_1 = ____, γ2=\gamma_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: γ1=\gamma_1 = 36.87, γ2=\gamma_2 = 143.13

הפתרון:

sin⁡C=9sin⁡30∘7.5=4.57.5=0.6\begin{aligned}\sin C &= \frac{9\sin 30^\circ}{7.5} \\ &= \frac{4.5}{7.5} \\ &= 0.6\end{aligned}
γ1=sin⁡−1(0.6)≈36.87∘\gamma_1 = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87^\circ
γ2=180∘−36.87∘=143.13∘\begin{aligned}\gamma_2 &= 180^\circ - 36.87^\circ \\ &= 143.13^\circ\end{aligned}
30∘+143.13∘=173.13∘<180∘30^\circ + 143.13^\circ = 173.13^\circ < 180^\circ

גם השנייה אפשרית

שתי הזוויות אפשריות, אף שהשנייה משאירה לזווית AA רק 6.87∘6.87^\circ. המלכודת: לפסול אותה כי המשולש «נראה מוזר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש ABCABC נתונים AB=cAB = c, AC=bAC = b והזווית ∠B=β\angle B = \beta, ו-b≥cb \ge c. הוכיחו כי הזווית CC נקבעת באופן יחיד.

  • AB=c, AC=b, ∠B=βAB = c,\ AC = b,\ \angle B = \beta
  • b≥cb \ge c

∠C\angle C נקבעת באופן יחיד

להציג את התשובה והפתרון
  1. β≥γ\beta \ge \gamma — במשולש, מול צלע גדולה יותר נמצאת זווית גדולה יותר (bb מול β\beta, cc מול γ\gamma)
  2. β+γ<180∘\beta + \gamma < 180^\circ — סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ
  3. γ<90∘\gamma < 90^\circ — 2γ≤β+γ<180∘2\gamma \le \beta + \gamma < 180^\circ
  4. sin⁡γ=csin⁡βb\sin\gamma = \dfrac{c\sin\beta}{b} — משפט הסינוסים
  5. ∠C\angle C נקבעת באופן יחיד — לכל ערך של סינוס יש זווית חדה אחת בלבד

הפתרון:

b≥c⇒β≥γb \ge c \Rightarrow \beta \ge \gamma
γ<90∘\gamma < 90^\circ

הזווית CC חייבת להיות חדה

sin⁡γ=csin⁡βb\sin\gamma = \frac{c\sin\beta}{b}

ולסינוס בתחום החד יש זווית אחת

זה הלב של משפט החפיפה הרביעי: כשהזווית מול הצלע הגדולה, הזווית הקהה 180∘−γ180^\circ - \gamma לא יכולה להיכנס למשולש. המלכודת: להסתפק במשפט הסינוסים — הוא לבד נותן שתי זוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

BAEHCC'

נתון AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. תלמיד מצא את שתי האפשרויות לזווית CC. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

sin⁡C=10sin⁡30∘6=56\begin{aligned}\sin C &= \frac{10\sin 30^\circ}{6} \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}
C1≈56.44∘C_1 \approx 56.44^\circ
C2=90∘+56.44∘=146.44∘\begin{aligned}C_2 &= 90^\circ + 56.44^\circ \\ &= 146.44^\circ\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: C2=90∘+56.44∘=146.44∘C_2 = 90^\circ + 56.44^\circ = 146.44^\circ → C2=180∘−56.44∘=123.56∘C_2 = 180^\circ - 56.44^\circ = 123.56^\circ

הפתרון:

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

הזווית השנייה עם אותו סינוס

sin⁡146.44∘≈0.553≠56\sin 146.44^\circ \approx 0.553 \ne \tfrac{5}{6}

בדיקה: 146.44∘146.44^\circ לא מקיימת את המשוואה

הטעות: להשלים ל-90∘90^\circ במקום ל-180∘180^\circ. בדיקה מהירה בכל שאלה כזאת: להציב את הזווית השנייה בחזרה ב-sin⁡\sin.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת