משפט הקוסינוסים — ואיזה משפט מתי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מחוץ למשולש ישר זווית פיתגורס אינו עובד. אבל הוא לא נעלם — הוא מקבל תיקון. הזיזו את הזווית בשרטוט וראו מה קורה לצלע שמולה.

בשרטוט b=8b = 8 ו-c=6c = 6. מה אורך aa כש-α=90∘\alpha = 90^\circ? ומה הוא כש-α=60∘\alpha = 60^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

ב-90∘90^\circ: a=64+36=10a = \sqrt{64+36} = 10, פיתגורס. ב-60∘60^\circ: a2=64+36−2⋅8⋅6⋅12=52a^2 = 64 + 36 - 2\cdot 8\cdot 6\cdot\frac{1}{2} = 52, ולכן a=52≈7.21a = \sqrt{52} \approx 7.21 — קצר מ-1010, כי הזווית נסגרה.

משפט הקוסינוסים

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

הצלע שמול הזווית, בריבוע, שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות שיוצרות את הזווית, פחות התיקון.

שני שימושים: צלע, או זווית

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

צלע: נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן (צ.ז.צ).

cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

זווית: נתונות שלוש הצלעות (צ.צ.צ). אותו משפט, מבודדים את cos⁡α\cos\alpha.

זווית משלוש צלעות

במשולש הצלעות 55, 77 ו-88. מצאו את הזווית שמול הצלע 77.

72=52+82−2⋅5⋅8cos⁡θ7^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cos\theta

הצלע שמול הזווית — באגף השמאלי

cos⁡θ=25+64−4980=4080=12\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{25 + 64 - 49}{80} \\ &= \frac{40}{80} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=60∘\theta = 60^\circ

ערך מדויק, בלי מחשבון

במשולש הצלעות 44, 55 ו-88. האם המשולש חד זווית, ישר זווית או קהה זווית? היעזרו רק בסימן של הקוסינוס.

להציג את התשובה והפתרון

בודקים את הזווית שמול הצלע הארוכה: cos⁡θ=16+25−6440=−2340<0\cos\theta = \frac{16+25-64}{40} = -\frac{23}{40} < 0. קוסינוס שלילי — הזווית קהה (θ≈125.1∘\theta \approx 125.1^\circ). ובקיצור: 42+52=41<64=824^2 + 5^2 = 41 < 64 = 8^2.

מדוע במשולש קהה זווית הצלע שמול הזווית הקהה יוצאת ארוכה במיוחד?

להציג את התשובה והפתרון

כי cos⁡α\cos\alpha שלילי בזווית קהה, והאיבר −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha הופך לחיבור. הצלע יוצאת ארוכה מ-b2+c2\sqrt{b^2+c^2}.

איזה משפט מתי

משפט הקוסינוסים, משפט הסינוסים ונוסחת השטח עונים על שאלות שונות, ומילה אחת בשאלה מחליטה.

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

סינוסים — כשנתונה צלע והזווית שמולה.

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

קוסינוסים — כשנתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות.

S=12bcsin⁡αS = \tfrac{1}{2}bc\sin\alpha

שטח — אותם נתונים כמו בקוסינוסים, נוסחה אחרת.

«שביניהן» ⇐ קוסינוסים. «שמולה» ⇐ סינוסים. ובמשולש עם שלוש צלעות ידועות: קודם זווית בקוסינוסים, ורק אחר כך שטח או רדיוס.

שלוש הטעויות של המשולש הכללי.

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

פיתגורס תקף רק במשולש ישר זווית. במשולש כללי הוא נותן תשובה שגויה, בלי שום סימן אזהרה.

a2=(b2+c2−2bc)cos⁡αa^2 = (b^2 + c^2 - 2bc)\cos\alpha
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

הקוסינוס כופל רק את 2bc2bc. ב-α=90∘\alpha = 90^\circ הגרסה השגויה נותנת a=0a = 0.

cos⁡θ=−0.575⇒θ=−54.9∘\begin{aligned}\cos\theta &= -0.575 \Rightarrow \theta \\ &= -54.9^\circ\end{aligned}
θ≈125.1∘\theta \approx 125.1^\circ

זווית של משולש לא יכולה להיות שלילית. cos⁡−1\cos^{-1} של מספר שלילי נותן זווית קהה — אם המחשבון במצב מעלות.

תרגילים

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=7AC = 7, AB=5AB = 5 ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.24

הפתרון:

BC2=72+52−2⋅7⋅5cos⁡60∘BC^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cos 60^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

BC2=49+25−35=39\begin{aligned}BC^2 &= 49 + 25 - 35 \\ &= 39\end{aligned}
BC=39≈6.24BC = \sqrt{39} \approx 6.24

BC=39≈6.24BC = \sqrt{39} \approx 6.24. המלכודת: 49+25≈8.60\sqrt{49+25} \approx 8.60 — פיתגורס בלי התיקון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC

נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן. באיזה משפט משתמשים למציאת הצלע השלישית?

  1. פיתגורס
  2. נוסחת השטח
  3. משפט הסינוסים
  4. משפט הקוסינוסים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משפט הקוסינוסים

הפתרון:

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha

הזווית α\alpha נמצאת בין bb ל-cc — בדיוק מה שהנוסחה צריכה

asin⁡α\frac{a}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים דורש זוג צלע-זווית שמולה, ואין כזה

התשובה: «משפט הקוסינוסים». המילה «שביניהן» מכריעה. המלכודת: פיתגורס — הזווית לא נתונה כישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABC

נתונה צלע והזווית שמולה, ועוד זווית. באיזה משפט משתמשים?

  1. אף אחד
  2. משפט הסינוסים
  3. משפט הקוסינוסים
  4. פיתגורס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב משפט הסינוסים

הפתרון:

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

הזוג a,αa,\alpha ידוע, ועם β\beta מוצאים את bb

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

ומשם גם cc

התשובה: «משפט הסינוסים». «שמולה» ⇐ סינוסים. המלכודת: «אף אחד» — מספיקים שלושה נתונים שאחד מהם צלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=10AC = 10, AB=6AB = 6 ו-∠A=120∘\angle A = 120^\circ. מצאו את BCBC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

BC2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘BC^2 = 10^2 + 6^2 - 2\cdot 10\cdot 6\cos 120^\circ
cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}

זווית קהה — קוסינוס שלילי

BC2=100+36+60=196\begin{aligned}BC^2 &= 100 + 36 + 60 \\ &= 196\end{aligned}

המינוס כפול מינוס נותן חיבור

BC=14BC = 14

BC=14BC = 14. המלכודת: 100+36−60=76100 + 36 - 60 = 76 — לשכוח שהקוסינוס שלילי. בדיקה: מול זווית קהה הצלע ארוכה מ-136≈11.7\sqrt{136} \approx 11.7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABC

במשולש הצלעות 77, 88 ו-99. מצאו את הזווית שמול הצלע 99 במעלות (עגלו למספר שלם).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 73

הפתרון:

cos⁡γ=72+82−922⋅7⋅8\cos\gamma = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}

משפט הקוסינוסים בכיוון ההפוך: הצלע שמול הזווית היא זו שמחסירים

=32112=27≈0.286= \frac{32}{112} = \frac{2}{7} \approx 0.286
γ≈73∘\gamma \approx 73^\circ

שלוש צלעות תמיד מספיקות למצוא כל זווית. המלכודת: להחסיר את 727^2 במקום 929^2 — ואז מקבלים את הזווית שמול 77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABC

במשולש הזווית α\alpha קהה. מה נכון על cos⁡α\cos\alpha?

  1. תלוי בצלעות
  2. הוא חיובי
  3. הוא אפס
  4. הוא שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא שלילי

הפתרון:

90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ

רביע שני במעגל היחידה: שיעור xx שלילי

cos⁡α<0⇒−2bccos⁡α>0\cos\alpha < 0 \Rightarrow -2bc\cos\alpha > 0

בנוסחה התיקון מתחבר

התשובה: «הוא שלילי». לכן הצלע שמול הזווית הקהה ארוכה מ-b2+c2\sqrt{b^2+c^2}. המלכודת: «תלוי בצלעות» — הסימן תלוי רק בזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABC

במשולש b=AC=5b = AC = 5, c=AB=12c = AB = 12, והזווית ביניהן α=90∘\alpha = 90^\circ. מצאו את a=BCa = BC בעזרת משפט הקוסינוסים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

a2=25+144−2⋅5⋅12cos⁡90∘a^2 = 25 + 144 - 2\cdot 5\cdot 12\cos 90^\circ
cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0

האיבר האחרון נעלם

a2=169⇒a=13\begin{aligned}a^2 &= 169 \Rightarrow a \\ &= 13\end{aligned}

זה בדיוק פיתגורס — המקרה הפרטי של משפט הקוסינוסים. המלכודת: לחשוב שיש כאן שני משפטים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC

במשולש הצלעות 33, 55 ו-77. מצאו את הזווית הגדולה ביותר במשולש, במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

72=32+52−2⋅3⋅5cos⁡θ7^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos\theta

הזווית הגדולה ביותר נמצאת מול הצלע הארוכה ביותר, 77

cos⁡θ=9+25−4930=−12\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{9 + 25 - 49}{30} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=120∘\theta = 120^\circ

קוסינוס שלילי — זווית קהה

θ=120∘\theta = 120^\circ. המלכודת: לבחור זווית שמול צלע אחרת, או לכתוב 60∘60^\circ ולהתעלם מהסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל סוג נתונים את הכלי שפותח את הפתרון.

  • שתי צלעות והזווית שביניהן — מה הצלע השלישית?
  • שלוש צלעות — מה הזווית?
  • צלע, הזווית שמולה וזווית נוספת
  • שתי צלעות והזווית שביניהן — מה השטח?
  • cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
  • S=12bcsin⁡αS = \frac{1}{2}bc\sin\alpha
  • משפט הסינוסים
  • משפט הקוסינוסים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי צלעות והזווית שביניהן — מה הצלע השלישית? — משפט הקוסינוסים · שלוש צלעות — מה הזווית? — cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} · צלע, הזווית שמולה וזווית נוספת — משפט הסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן — מה השטח? — S=12bcsin⁡αS = \frac{1}{2}bc\sin\alpha

הפתרון:

צ.ז.צ\text{צ.ז.צ}

צלע שלישית — קוסינוסים; שטח — סינוס בנוסחת השטח

צ.צ.צ\text{צ.צ.צ}

קוסינוסים בכיוון ההפוך

ז.ז.צ\text{ז.ז.צ}

זוג צלע-זווית שמולה — סינוסים

אותם נתונים (צ.ז.צ) משרתים שתי שאלות שונות: הצלע השלישית בקוסינוסים, השטח בסינוס. המלכודת: לחשוב שכל שאלה על צ.ז.צ היא «קוסינוסים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

נכון או לא נכון: משולש שצלעותיו 55, 66 ו-99 הוא משולש קהה זווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

cos⁡θ=25+36−8160=−13\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{25 + 36 - 81}{60} \\ &= -\tfrac{1}{3}\end{aligned}

הזווית שמול הצלע הארוכה

cos⁡θ<0⇒θ>90∘\cos\theta < 0 \Rightarrow \theta > 90^\circ

θ≈109.5∘\theta \approx 109.5^\circ

נכון. מספיק לבדוק את הזווית שמול הצלע הארוכה: 52+62=61<815^2 + 6^2 = 61 < 81. המלכודת: לבדוק זווית שמול צלע קצרה, שתמיד חדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת