משפט הסינוסים

משולש $ABC$ חסום במעגל. מזיזים את הקדקוד $A$ לאורך הקשת, ו- $B$ ו- $C$ נשארים במקומם. הצורה של המשולש משתנה כל הזמן — אבל הצלע $BC$ לא זזה, וגם הזווית $A$ לא משתנה.

משולש חסום במעגל שרדיוסו $R$ , והזווית $A$ ישרה. מה אורך הצלע $BC$ ? ומה היחס $\frac{BC}{\sin A}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

זווית היקפית של $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $BC = 2R$ . ו- $\sin 90^\circ = 1$ , כך ש- $\frac{BC}{\sin A} = 2R$ . המשפט אומר שהיחס הזה שווה $2R$ בכל משולש, לא רק בישר זווית.

\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}

בכל משולש: צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה הוא קבוע, והקבוע הוא קוטר המעגל החוסם.

BD

קוטר של המעגל החוסם (המעגל עצמו לא מצויר).

D

ו-

A

נשענות על אותה קשת

BC

, ולכן

\angle BDC = \angle BAC

פעילות אינטראקטיבית

הוכחה: למה היחס הוא $2R$

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

לחצו «להתחיל». מעבירים קוטר מ- $B$ ומחפשים משולש ישר זווית שבו $a = BC$ היא ניצב.

בנייה

BD = 2R

מעבירים את הקוטר $BD$ של המעגל החוסם.

זווית ישרה

\angle BCD = 90^\circ

זווית היקפית שנשענת על קוטר.

אותה קשת

\angle BDC = \alpha

שתי זוויות היקפיות שנשענות על הקשת $BC$ .

סינוס

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{BC}{BD} \\ &= \frac{a}{2R}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $BCD$ : הניצב שמול $D$ חלקי היתר.

מסקנה

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

ובאותה דרך עם $b$ ועם $c$ — ולכן כל שלושת היחסים שווים.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם $\alpha$ קהה? אז $D$ נמצאת על הקשת השנייה, ו- $\angle BDC = 180^\circ - \alpha$ (מרובע חסום). אבל $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ — והמשפט נשאר כמו שהוא.

מתי משתמשים בו: צלע והזווית שמולה

משפט הסינוסים מחייב זוג ידוע: צלע והזווית שמולה. אם בנוסף ידוע עוד נתון אחד — זווית או צלע — מוצאים את כל השאר. וכשידועות שתי זוויות, השלישית מגיעה חינם: $180^\circ$ פחות השתיים.

פעילות אינטראקטיבית

שלוש צלעות משתי זוויות

במשולש $ABC$ נתון $a = BC = 12$ , $\angle A = 40^\circ$ ו- $\angle B = 65^\circ$ . מצאו את $b$ , את $c$ ואת רדיוס המעגל החוסם (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

מה הזוג הידוע?

$a = 12$ והזווית $A = 40^\circ$ שמולה.

להציג את התשובה והפתרון

כן, זה הזוג שפותח את המשפט.

$a = 12$ והזווית $B = 65^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

$B$ לא נמצאת מול $a$ . הזווית שמול $a$ היא $A$ .

\frac{12}{\sin 40^\circ} = 2R \approx 18.67

היחס הקבוע של המשולש הזה.

איך מוצאים את $b$ ?

$\frac{b}{\sin 65^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $b$ מול $B$ .

$\frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{12}{\sin 65^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

הפכתם את הזוויות. כל צלע מתחלקת בסינוס של הזווית שלה.

b = \frac{12\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 16.92

זווית גדולה יותר מ- $A$ — צלע ארוכה יותר מ- $a$ . סביר.

ואת $c$ ?

קודם $\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ = 75^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. בלי הזווית שמול $c$ אי אפשר.

$c = 180 - 12 - 16.92$ .

להציג את התשובה והפתרון

מחסרים זוויות מ- $180^\circ$ , לא צלעות.

c = \frac{12\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

הצלע הארוכה ביותר — מול הזווית הגדולה ביותר.

ומה הרדיוס?

$R = \frac{12}{2\sin 40^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. היחס הוא $2R$ , לא $R$ .

$R = \frac{12}{\sin 40^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

זה הקוטר. שכחתם לחלק ב- $2$ .

R \approx 9.33

להציג את התשובה והפתרון

$b \approx 16.92$ , $c \approx 18.03$ , $R \approx 9.33$ . בדיקת סבירות: סדר הצלעות $a < b < c$ תואם לסדר הזוויות $A < B < C$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

במשולש הזוויות $40^\circ$ , $65^\circ$ , $75^\circ$ . בלי לחשב — מול איזו זווית הצלע הקצרה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

מול $40^\circ$ . במשולש הצלע הקצרה ביותר מול הזווית הקטנה ביותר. ומשפט הסינוסים מראה זאת במספרים: $a = 2R\sin\alpha$ .

רדיוס בלי שרטוט של המעגל

במשולש צלע באורך $10$ נמצאת מול זווית של $30^\circ$ . מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

\frac{10}{\sin 30^\circ} = 2R

משפט הסינוסים, עם הזוג הידוע

\begin{aligned}\frac{10}{0.5} &= 20 \\ &= 2R\end{aligned}

R = 10

לא צריך לדעת דבר על שאר המשולש

שלוש טעויות במשפט הסינוסים.

\frac{a}{\sin\alpha} = R

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

היחס הוא הקוטר. בדיקה: במשולש ישר זווית היתר הוא קוטר, כלומר $2R$ .

\frac{a}{\sin\beta} = \frac{b}{\sin\alpha}

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

כל צלע עם הזווית שמולה. לסמן על השרטוט זוגות לפני שכותבים.

b = \frac{12\sin 65}{\sin 40} \approx 13.32

b = \frac{12\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 16.92

המחשבון במצב רדיאנים — והתוצאה אפילו נראית סבירה. לכן בודקים את מצב המחשבון לפני החישוב, ולא סומכים על «זה נראה בסדר».

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון $a = BC = 10$ , $\angle A = 50^\circ$ ו- $\angle B = 70^\circ$ . מצאו את $b = AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.27

הפתרון:

\frac{10}{\sin 50^\circ} = \frac{b}{\sin 70^\circ}

הזוג: $a$ ו- $A$ . $b$ מול $B$

b = \frac{10\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 12.27

$b \approx 12.27$ . המלכודת: $\frac{10\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8.15$ — היחס הפוך. בדיקה: $B > A$ , ולכן $b > a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הצלע $BC = 14$ והזווית שמולה $\angle A = 30^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\frac{14}{\sin 30^\circ} = 2R

\begin{aligned}28 &= 2R \Rightarrow R \\ &= 14\end{aligned}

$R = 14$ . המלכודת: לעצור ב- $28$ , שהוא הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $\angle B = 45^\circ$ , $\angle C = 75^\circ$ ו- $a = BC = 9$ . מצאו את $c = AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.04

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול הצלע הידועה

\frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 75^\circ}

c = \frac{9\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.04

$c \approx 10.04$ . המלכודת: לכתוב $\frac{9}{\sin 45^\circ}$ — הזווית $B$ איננה מול $a$ . קודם מוצאים את $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ רדיוס המעגל החוסם הוא $R$ . איזה שוויון נכון תמיד?

$a\sin\alpha = 2R$
$a = 2R\sin\alpha$
$a = 2R\cos\alpha$
$a = R\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a = 2R\sin\alpha$

הפתרון:

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

משפט הסינוסים

a = 2R\sin\alpha

כופלים ב- $\sin\alpha$

התשובה: $a = 2R\sin\alpha$ . המלכודת: $R\sin\alpha$ — שוכחים שהיחס הוא הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $8$ . נתון $\angle ACB = 30^\circ$ . מצאו את אורך המיתר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{AB}{\sin C} = 2R

$AB$ מול הזווית $C$

\begin{aligned}AB &= 2\cdot 8\cdot\sin 30^\circ \\ &= 8\end{aligned}

$AB = 8$ — שווה לרדיוס, ולכן המשולש $AOB$ שווה צלעות (הזווית המרכזית $60^\circ$ ). המלכודת: $16\cos 30^\circ \approx 13.86$ — קוסינוס במקום סינוס, או לשכוח את ה- $2$ ולקבל $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: במשולש שבו $\angle A = 2\angle B$ , הצלע $a$ ארוכה פי $2$ מהצלע $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\angle B &= 30^\circ \\ \ \angle A &= 60^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים

\sqrt{3} \ne 2

לא נכון. הצלעות פרופורציוניות לסינוסים של הזוויות, לא לזוויות עצמן. המלכודת: לחשוב שהסינוס «כופל» כמו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שתי נקודות תצפית $A$ ו- $B$ על חוף הכנרת נמצאות במרחק $500$ מטרים זו מזו. סירה $C$ נראית מ- $A$ בזווית $\angle CAB = 62^\circ$ ומ- $B$ בזווית $\angle CBA = 48^\circ$ . מהו המרחק $AC$ ? (במטרים, עגלו למספר שלם)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 395

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

הזווית שמול $AB$

\frac{AC}{\sin 48^\circ} = \frac{500}{\sin 70^\circ}

$AC$ מול הזווית $B$

AC = \frac{500\sin 48^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 395

$AC \approx 395$ מטרים. המלכודת: להתאים את $AC$ לזווית $62^\circ$ שב- $A$ — זו זווית שיוצאת מ- $A$ , לא זו שמול $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: באילו נתונים משפט הסינוסים הוא הכלי הראשון לפתרון $\triangle ABC$ ?

משפט הסינוסים
לא משפט הסינוסים

$a,\ \alpha,\ \beta$
$a,\ \beta,\ \gamma$
$a,\ b,\ \gamma$
$a,\ b,\ c$
$b,\ \beta,\ c$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a,\ \alpha,\ \beta$ — משפט הסינוסים · $a,\ \beta,\ \gamma$ — משפט הסינוסים · $b,\ \beta,\ c$ — משפט הסינוסים · $a,\ b,\ \gamma$ — לא משפט הסינוסים · $a,\ b,\ c$ — לא משפט הסינוסים

הפתרון:

a,\ \alpha

זוג צלע-זווית ידוע מיד

\begin{aligned}\beta \\ \ \gamma \Rightarrow \alpha &= 180^\circ - \beta - \gamma\end{aligned}

שתי זוויות נותנות את השלישית, ואז הזוג $a,\alpha$

b,\ \beta

זוג ידוע, ו- $c$ מוביל ל- $\sin\gamma$

a,\ b,\ \gamma

הזווית בין הצלעות — אין אף זוג. משפט הקוסינוסים

a,\ b,\ c

אין אף זווית — משפט הקוסינוסים

השאלה שמכריעה: האם יש צלע ידועה והזווית שמולה (או שתי זוויות)? אם לא — משפט הקוסינוסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות שצלעו $6$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.46

הפתרון:

\frac{6}{\sin 60^\circ} = 2R

כל הזוויות $60^\circ$

\begin{aligned}R &= \frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.46\end{aligned}

$R = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ . המלכודת: $R = 3$ , חצי הצלע — כאילו הצלע היא קוטר. זה נכון רק מול זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $R$ רדיוס המעגל החוסם. הוכיחו בעזרת משפט הסינוסים כי $R = \frac{c}{2}$ .

$\angle C = 90^\circ$
$R$ רדיוס המעגל החוסם

$R = \dfrac{c}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$ — משפט הסינוסים: $c$ מול הזווית $C$
$\sin\gamma = 1$ — $\gamma = 90^\circ$
$c = 2R$ — הצבה במשפט הסינוסים
$R = \dfrac{c}{2}$ — חילוק ב- $2$

הפתרון:

\frac{c}{\sin 90^\circ} = 2R

c = 2R

היתר הוא קוטר

זו התוצאה הידועה «מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר» — ומשפט הסינוסים נותן אותה בשורה. המלכודת: לכתוב $\sin 90^\circ = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev