שטח משולש בעזרת סינוס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

קחו שני מקלות, באורך 66 ובאורך 44, וחברו אותם בציר בקצה אחד. הקצוות האחרים נקשרים בגומייה — וזה משולש. כשפותחים את הציר המשולש משנה צורה: בזווית קטנה הוא «שטוח», ובזווית גדולה מאוד הוא שוב שטוח. באיזו זווית השטח הכי גדול?

CBAH
הצלע CB=6CB = 6 היא הבסיס. הגובה AHAH יורד מהקדקוד AA — והוא תלוי בזווית CC.

בשרטוט CA=4CA = 4 והזווית ב-CC היא γ\gamma. הביעו את הגובה AHAH באמצעות γ\gamma. ובאיזו זווית הוא הכי ארוך?

להציג את התשובה והפתרון

במשולש AHCAHC (ישר זווית ב-HH): AH=4sin⁡γAH = 4\sin\gamma. הגובה הכי ארוך כש-sin⁡γ=1\sin\gamma = 1, כלומר ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ — אז CACA עצמו עומד על הבסיס. השטח המקסימלי: 12⋅6⋅4=12\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12.

הנוסחה: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

ומה קורה כשהזווית קהה?

CBAH
כש-γ\gamma קהה, הגובה נופל מחוץ למשולש, על המשך הצלע CBCB. הזווית שבמשולש AHCAHC היא 180∘−γ180^\circ - \gamma.

במשולש ישר הזווית AHCAHC הזווית ב-CC היא עכשיו 180∘−γ180^\circ - \gamma, ולכן h=bsin⁡(180∘−γ)h = b\sin(180^\circ - \gamma). אבל sin⁡(180∘−γ)=sin⁡γ\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma — ובזה הנוסחה נשארת אותה נוסחה גם למשולש קהה זווית.

משולש אחד: צלעות 66 ו-44 והזווית ביניהן 30∘30^\circ. משולש שני: אותן צלעות והזווית ביניהן 150∘150^\circ. חשבו את שני השטחים.

להציג את התשובה והפתרון

שניהם 12⋅6⋅4⋅12=6\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\frac{1}{2} = 6, כי sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. המשולשים שונים לגמרי בצורתם — ושווי שטח.

שימושים

S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן.

S=absin⁡αS = ab\sin\alpha

מקבילית: אלכסון מחלק אותה לשני משולשים חופפים, כל אחד בשטח 12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha.

sin⁡γ=2Sab\sin\gamma = \frac{2S}{ab}

כיוון הפוך: מהשטח אל הזווית — ויש שתי זוויות אפשריות.

מתי השטח מקסימלי — בלי נגזרת

במשולש שווה שוקיים AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס שוות ל-α\alpha. הביעו את השטח באמצעות kk ו-α\alpha, ומצאו לאיזו α\alpha השטח הגדול ביותר.

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)

שתי השוקיים והזווית שביניהן

S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

כי sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

sin⁡2α≤1\sin 2\alpha \le 1

הסינוס לא עולה על 11

2α=90∘⇒α=45∘\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

שם S=12k2S = \frac{1}{2}k^2, הערך המקסימלי — וזווית הראש ישרה

משולש שצלעותיו 66 ו-88 ושטחו 1212. מהי הזווית בין שתי הצלעות?

להציג את התשובה והפתרון

12=12⋅6⋅8sin⁡γ12 = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\gamma, ולכן sin⁡γ=12\sin\gamma = \frac{1}{2}. שתי תשובות: γ=30∘\gamma = 30^\circ או γ=150∘\gamma = 150^\circ. בלי נתון נוסף — שני המשולשים אפשריים.

שלוש טעויות בנוסחת השטח.

S=12abcos⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\cos\gamma
S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

הגובה הוא bsin⁡γb\sin\gamma. קוסינוס שייך למשפט הקוסינוסים, לא לשטח.

S=12bcsin⁡βS = \tfrac{1}{2}bc\sin\beta
S=12bcsin⁡αS = \tfrac{1}{2}bc\sin\alpha

הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות שבנוסחה. α\alpha נמצאת בין bb ל-cc.

sin⁡γ=12⇒γ=30∘\begin{aligned}\sin\gamma &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow \gamma \\ &= 30^\circ\end{aligned}
γ1=30∘ γ2=150∘\begin{aligned}\gamma_1 &= 30^\circ \\ \ \gamma_2 &= 150^\circ\end{aligned}

המחשבון מחזיר רק את הזווית החדה. במשולש גם הקהה אפשרית — צריך נתון שיכריע.

תרגילים

תרגיל 1

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=7CA = 7, CB=10CB = 10 ו-∠C=40∘\angle C = 40^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.5

הפתרון:

S=12⋅7⋅10⋅sin⁡40∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot\sin 40^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

S=35sin⁡40∘≈22.50S = 35\sin 40^\circ \approx 22.50

S≈22.50S \approx 22.50. המלכודת: 35cos⁡40∘≈26.8135\cos 40^\circ \approx 26.81 — קוסינוס במקום סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=5CA = 5, CB=8CB = 8 ו-∠C=120∘\angle C = 120^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.32

הפתרון:

S=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ
sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

S=20⋅32=103≈17.32\begin{aligned}S &= 20\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3} \approx 17.32\end{aligned}

S=103≈17.32S = 10\sqrt{3} \approx 17.32. המלכודת: לחשוב שבזווית קהה הנוסחה לא עובדת, או לקחת cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} ולקבל שטח שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=CB=6CA = CB = 6 ו-∠C=150∘\angle C = 150^\circ. מהו שטח המשולש?

  1. 939\sqrt{3}
  2. 99
  3. 1818
  4. −93-9\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 99

הפתרון:

S=12⋅6⋅6⋅sin⁡150∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot\sin 150^\circ
sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}

כמו sin⁡30∘\sin 30^\circ

S=18⋅12=9\begin{aligned}S &= 18\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= 9\end{aligned}

התשובה: 99. המסיחים: 939\sqrt{3} ו-−93-9\sqrt{3} באים מקוסינוס במקום סינוס, ו-1818 משכחת ה-12\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 3030. נתון CA=10CA = 10, CB=12CB = 12, והזווית CC חדה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

30=12⋅10⋅12⋅sin⁡C30 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot\sin C

נוסחת השטח, בכיוון ההפוך

sin⁡C=3060=12\begin{aligned}\sin C &= \frac{30}{60} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
C=30∘ או C=150∘\begin{aligned}C &= 30^\circ \ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

שתי זוויות עם אותו סינוס

C=30∘C = 30^\circ

הזווית נתונה חדה

∠C=30∘\angle C = 30^\circ. בלי המילה «חדה» גם 150∘150^\circ הייתה תשובה נכונה — וזה מה ששואלים לפעמים בבגרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

CBA

נכון או לא נכון: משולש שבו שתי צלעות 55 ו-88 והזווית ביניהן 50∘50^\circ, ומשולש שבו אותן צלעות והזווית ביניהן 130∘130^\circ — שווים בשטחם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

sin⁡130∘=sin⁡(180∘−50∘)=sin⁡50∘\begin{aligned}\sin 130^\circ &= \sin(180^\circ - 50^\circ) \\ &= \sin 50^\circ\end{aligned}
S1=S2=20sin⁡50∘≈15.32\begin{aligned}S_1 &= S_2 \\ &= 20\sin 50^\circ \approx 15.32\end{aligned}

נכון. המשולשים אינם חופפים — הצלע השלישית שונה — אבל השטחים שווים. המלכודת: להניח שזווית גדולה יותר נותנת תמיד שטח גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=10AB = 10, AD=6AD = 6 ו-∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.96

הפתרון:

SABD=12⋅10⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABD} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

האלכסון BDBD מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים

S=2SABD=60sin⁡60∘=303≈51.96\begin{aligned}S &= 2S_{ABD} \\ &= 60\sin 60^\circ \\ &= 30\sqrt{3} \approx 51.96\end{aligned}

S=303≈51.96S = 30\sqrt{3} \approx 51.96. המלכודת: להשאיר את ה-12\frac{1}{2} — הוא שייך למשולש, לא למקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס ∠B=∠C=α\angle B = \angle C = \alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha
  2. 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha
  3. k2sin⁡2αk^2\sin 2\alpha
  4. 12k2cos⁡2α\frac{1}{2}k^2\cos 2\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

הפתרון:

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

הזווית שבין שתי השוקיים

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)
S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

התשובה: 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha. המלכודת: 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha — α\alpha היא זווית בסיס, והיא לא נמצאת בין שתי השוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

CBA

בכל המשולשים שבהם שתי צלעות שוות ל-99, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.5

הפתרון:

S=12⋅9⋅9⋅sin⁡γS = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 9\cdot\sin\gamma

γ\gamma הזווית בין שתי הצלעות

sin⁡γ≤1\sin\gamma \le 1
Smax=812=40.5\begin{aligned}S_{max} &= \tfrac{81}{2} \\ &= 40.5\end{aligned}

מתקבל ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ

Smax=40.5S_{max} = 40.5, במשולש ישר זווית. אין צורך בנגזרת: הסינוס חסום על ידי 1. המלכודת: לחפש את המקסימום בזווית 60∘60^\circ, של משולש שווה צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 2020. נתון CA=5CA = 5, CB=16CB = 16, והזווית CC קהה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

20=12⋅5⋅16⋅sin⁡C=40sin⁡C\begin{aligned}20 &= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 16\cdot\sin C \\ &= 40\sin C\end{aligned}
sin⁡C=12\sin C = \tfrac{1}{2}
C=180∘−30∘=150∘\begin{aligned}C &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ\end{aligned}

הזווית נתונה קהה

∠C=150∘\angle C = 150^\circ. המלכודת: לכתוב את 30∘30^\circ שהמחשבון נותן — היא חדה, והנתון דורש קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ב-△ABC\triangle ABC נתון a=4a = 4 ו-b=5b = 5, והזווית γ\gamma שביניהן משתנה. סדרו את ארבעת המקרים מהשטח הקטן לגדול.

  • γ=140∘\gamma = 140^\circ
  • γ=20∘\gamma = 20^\circ
  • γ=50∘\gamma = 50^\circ
  • γ=90∘\gamma = 90^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: γ=20∘\gamma = 20^\circ · γ=140∘\gamma = 140^\circ · γ=50∘\gamma = 50^\circ · γ=90∘\gamma = 90^\circ

הפתרון:

S=10sin⁡γS = 10\sin\gamma

אותן צלעות — השטח תלוי רק ב-sin⁡γ\sin\gamma

sin⁡20∘≈0.34 sin⁡140∘=sin⁡40∘≈0.64\begin{aligned}\sin 20^\circ \approx 0.34 \\ \ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \approx 0.64\end{aligned}
sin⁡50∘≈0.77 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin 50^\circ \approx 0.77 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

הסדר: 20∘20^\circ, 140∘140^\circ, 50∘50^\circ, 90∘90^\circ. המלכודת: לשים את 140∘140^\circ אחרון — הזווית הגדולה ביותר איננה השטח הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת